高三数学联赛初赛试卷

高三数学联赛初赛试卷本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分，共150分第Ⅰ卷（选择题共36分）一、选择题：本大题共6小题，每小题6分，共36分。在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知数列﹛an﹜的通项公式，则﹛an﹜的最大项是（）(A)a1(B)a2(C)a3(D)a4o11xo11xyo11xy(A)(B)oo11xyo11xy(C)(D)3.已知抛物线y2=2px，o是坐标原点，F是焦点，P是抛物线上的点，使得△POF是直角三角形，则如此的点P共有()(A)0个(B)2个(C)4个(D)6个4.设f（x）是定义在R上单调递减的奇函数．若x1+x2>O，x2+x3>O，x3十x1>O，则()(A)f(x1)+f(x2)+f(x3)>0(B)f(x1)+f(x2)+f(x3)<O(C)f(x1)+f(x2)+f(x3)=0(D)f(x1)+f(x2)>f(x3)5．过空间一定点P的直线中，与长方体ABCD一A1B1C1D1的12条棱所在直线成等角的直线共有()(A)0条(B)1条(C)4条(D)许多多条6．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若△ABC最长的边为1，则最短边的长为（）A． B． C． D．二．填空题：本大题共6小题，每小题9分，共54分.7．集合A={x∣x=3n，n∈N，0<n<10}，B={y∣y=5m，m∈N，O≤m≤6},则集合AUB的所有元素之和为8．设COS2θ=，则COS4θ+sin4θ的值是9．(x-3x2)3的展开式中，x5的系数为≥≥0≥0≥010.已知,则x2+y2的最大值是11．等比数列的首项为，公比．设表示该数列的前n项的积，则当n=时，有最大值．12．长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB1=4，AD1=3，则对角线AC1的取值范畴为三、解答题（第13题、14题各12分，15题16分，16题20分）13．设集合A=，B=，若A∩B≠，求实数a的取值范畴。14．椭圆的右焦点为F，P1，P2，…，P24为24个依逆时针顺序排列在椭圆上的点，其中P1是椭圆的右顶点，同时∠P1FP2=∠P2FP3=∠P3FP4=…=∠P24FP1.若这24个点到右准线的距离的倒数和为S，求S2的值．15.△ABC中,AB<AC,AD,AE分别是BC边上的高和中线,且∠BAD=∠EAC,证明∠BAC是直角.16.设p是质数，且p2+71的不同正因数的个数不超过10个，求p答案1.B2.A3.B4.B5.C6.D7.2258.9.2710.911.n=1212.AC1∈(4,5)13.a∈(-1,0)∪(0,3)14.18015.略16.质数p为2或36．解：由知B为锐角. 故由（1）知，故c边最长，即c=1，又，故b边最短 由正弦定理得 即最短边的长为.11．解 ，∵，∴当n≤10时，＞1，∴|f(11)|＞|f(10)|＞…＞|f(1)|；当n≥11时，＜1，∴|f(11)|＞|f(12)|＞…∵，∴的最大值为或中的最大者．∵，∴当n=12时，有最大值为．16.解：当p=2时，p2+71=75=52×3，现在共有正因数(2+1)(1+1)=6个，故p=2满足要求．当p=3时，p2+71=80=24×5，现在共有正因数(4+1)(1+1)=10个，故p=3满足条件．当p>3时，p2+71=p2-1+72=(p-1)(p+1)+72.质数p必为3k±1型的奇数p-1、p+1是相邻的两个偶数，且其中必有一个是3的倍数.因此，(p—1)(p+1)是24的倍数，从而p2+71是24的倍数．设p2+71=24×m，m≥4．若m有不同于2、3的质因数，则，p2+71的正因数个数≥(3+1)(1+1)(1+1)>l0；若m中含有质因