第27讲　正弦定理和余弦定理的应用（解析版）

第27讲正弦定理和余弦定理的应用基础知识1.仰角和俯角:与目标线在同一铅垂平面内的和目标视线的夹角,目标视线在水平视线的叫仰角,目标视线在水平视线的叫俯角,如图4-27-1(a)所示.

图4-27-12.方位角:指从顺时针转到目标方向线的水平角,如图4-27-1(b)中B点的方位角为α.

3.方向角:相对于某正方向的,如北偏东α,即由正北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图4-27-1(c)),其他方向角类似.

4.坡角:坡面与所成的二面角的度数(如图4-27-1(d)所示,坡角为θ).

坡比:坡面的铅直高度与之比(如图4-27-1(d)所示,i为坡比).

1.水平视线上方下方2.正北方向3.水平角4.水平面水平长度分类探究探究点一测量距离问题例1某快递公司在我市的三个门店A,B,C分别位于一个三角形的三个顶点处,其中门店A,B与门店C都相距akm,而门店A位于门店C的北偏东50°的方向,门店B位于门店C的北偏西70°的方向,则门店A,B间的距离为 ()A.akm B.2akm C.3akm D.2akm例1[思路点拨]根据题意作出图形,结合图形利用正弦定理即可求解.C[解析]如图所示,依题意知CA=CB=akm,∠ACB=50°+70°=120°,所以∠A=∠B=30°,由正弦定理得ABsin120°=asin30°,则AB=a·sin120°sin30°=3akm[总结反思]测量距离问题实质是求一条线段的长度.求解时,恰当地画出(找出)适合解决问题的三角形,将已知线段长度和角度转化为要解的三角形的边长和角,使用正弦定理或者余弦定理求长度.变式题(1)如图4-27-8,A,B两点分别在河的两侧,为了测量A,B两点之间的距离,在点A的同侧选取点C,测得∠ACB=45°,∠BAC=105°,AC=100米,则A,B两点之间的距离为 ()图4-27-8A.1002米 B.1003米C.50(6+2)米 D.200米(2)某炮兵阵地位于A点,两个观察所分别位于C,D两点,已知△ACD为等边三角形,且DC=3km,当目标出现在B点(A,B两点位于CD两侧)时,测得∠CDB=45°,∠BCD=75°,则炮兵阵地与目标间的距离约为 ()A.1.1km B.2.2kmC.2.9km D.3.5km变式题(1)A(2)C[解析](1)因为∠ACB=45°,∠BAC=105°,AC=100米,所以∠CBA=180°-45°-105°=30°,利用正弦定理得ABsin∠ACB=ACsin∠CBA,所以AB=AC·sin45°sin30°=100×2212(2)如图所示,∠CBD=180°-∠CDB-∠BCD=180°-45°-75°=60°,在△BCD中,由正弦定理,得332=BDsin75°,故BD=2sin75°=6+22.在△ABD中,∠ADB=45°+60°=105°,由余弦定理,得AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos105°,∴AB=5+23≈2.9(km),故炮兵阵地与目标间的距离约为探究点二测量高度问题例22020年5月27日中国珠穆朗玛峰高程测量登山队顺利登顶,他们在峰顶竖立觇标,安装GNSS(全球导航卫星系统)天线,对这座世界最高峰的高度进行测量.如在水平面上的A处测得峰顶H的仰角是45°,然后在另一点B处测得峰顶H的仰角是60°,若H在水平面的射影为O(如图4-27-9),且∠AOB=150°,AB=a,则珠穆朗玛峰的最新高度OH=.

图4-27-9例2[思路点拨]设OH=h,依据题意可得AO,BO,然后使用余弦定理AB2=AO2+BO2-2AO·BO·cos∠AOB,简单计算即可得结果.217a[解析]设OH=h,由题可知∠OAH=45°,∠OBH=60°,则AO=h,BO=33h.在△AOB中,有AB2=AO2+BO2-2AO·BO·cos∠AOB,又AB=a,∠AOB=150°,所以a2=h2+h23-2h·3h3·cos150°,则h2[总结反思]求解高度问题的注意点:(1)在处理有关高度问题时,理解仰角、俯角、方向(位)角是关键;(2)在实际问题中,可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题,这时最好画两个图形,一个空间图形,一个平面图形,这样处理起来既清楚又不容易搞错;(3)注意山或塔垂直于地面或海平面,把空间问题转化为平面问题.变式题(1)在《周髀算经》中,把圆及其内接正方形称为圆方图,把正方形及其内切圆称为方圆图.圆方图和方圆图在我国古代的设计和建筑领域有着广泛的应用.山西应县木塔是我国现存最古老、最高大的纯木结构楼阁式建筑,它的正面图如图4-27-10所示.以该木塔底层的边AB为一边作正方形,以点A或点B为圆心,以这个正方形的对角线长为半径作圆,会发现塔的高度正好跟此对角线的长度相等.以该木塔底层的边AB为一边所作的正方形与其内切圆的一个切点D正好位于塔身和塔顶的分界线上.经测量发现,木塔底层的边AB的长度不少于47.5米,塔顶C到点D的距离不超过19.9米,则该木塔的高度可能是(参考数据:2≈1.414) ()图4-27-10A.66.1米 B.67.3米C.68.5米 D.69.0米(2)如图4-27-11,为测量某公园内湖岸边A,B两处的距离,一无人机在空中P点处测得A,B的俯角分别为α,β,此时无人机的高度为h,则A,B间的距离为 ()图4-27-11A.h1B.h1C.h1D.h1变式题(1)B(2)A[解析](1)设木塔的高度为h,由图可知,h=2AB≥2×47.5≈1.414×47.5=67.165(米),同时CDh=2-12,所以h=2CD2-1=CD1-22≤19.91-22≈19.91-1.4142≈67.918(米),即木塔的高度应在67(2)如图所示,设点P在AB上的投影为O,在Rt△POB中,可得PB=hsinβ,在△PAB中,由正弦定理得ABsin(α-β)=PBsinα,所以AB=PBh·sin2αcoh1-sin2αsih·1sin2α+1si探究点三测量角度问题例3如图4-27-12所示,某渔船在航行中不幸遇险,发出呼救信号,某舰艇在A处获悉后,立即测出该渔船在方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为40°,距离为15海里的C处,并测得渔船正沿方位角为100°的方向,以15海里/时的速度航行,该舰艇立即以153海里/时的速度沿直线前去营救,若舰艇与渔船恰好在B处相遇,求舰艇与渔船相遇所需的时间和舰艇的航向.图4-27-12例3[思路点拨]设所需时间为t小时,利用余弦定理列出含有t的方程,再解方程得到t的值,然后求出∠CAB的值,即可求得舰艇航行的方位角.解:设所需时间为t小时,则AB=153t,CB=15t.由题可知∠ACB=120°.在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB,可得(153t)2=152+(15t)2-2×15×15tcos120°,整理得2t2-t-1=0,解得t=1或t=-12(舍去),即舰艇与渔船相遇需要1小时.在△ABC中,AB=153,BC=15,AC=15,∠ACB=120°,所以∠CAB=30°,所以舰艇航行的方位角为70°[总结反思]测量“角度”即是求一个角的大小,把该角看作某个三角形的内角,根据已知条件求出该三角形的一些元素后,使用正弦定理或者余弦定理解三角形即可.变式题如图4-27-13所示,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°的方向、相距20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援,求cosθ的值.图4-27-13变式题解:在△ABC中,AB=40,AC=20,∠BAC=120°,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos120°=2800,解得BC=207.由正弦定理得ABsin∠ACB=BCsin∠BAC,即sin∠ACB=ABBC·sin∠BAC=217.由∠BAC=120°,知∠ACB为锐角,则cos∠ACB=277.由θ=∠ACB+30°,得cosθ=cos(∠ACB+30°)=cos∠ACBcos30°同步作业1.以观测者的位置作为原点,正东、正南、正西、正北四条方向线把平面分成四部分,以正北方向线为始边,按顺时针方向旋转280°到目标方向线,则目标方向线的位置在观测者的 ()A.北偏东80°方向上 B.南偏东80°方向上C.北偏西80°方向上 D.南偏西80°方向上1.C[解析]注意旋转的方向是顺时针方向,作出相应的图形(图略),分析可得C正确.2.广场上有一盏路灯挂在高9m的电线杆顶上,记电线杆的底部为A,把路灯看作一个点光源,身高1.5m的女孩站在离A点5m的点B处,女孩以5m为半径绕着电线杆走一个圆圈,人影扫过的面积约是(π取3.14) ()A.30.16m2 B.31.4m2C.34.54m2 D.35.56m22.C[解析]设女孩在点B处时,影子的长度为xm,根据题意得xx+5=1.59=16,解得x=1,∴人影扫过的面积S=π×(62-52)≈3.14×11=34.54(m2)3.在学习了“解三角形的应用”之后,同学们到野外进行实际操作,测量鱼塘两侧的两棵大榕树A,B之间的距离.如图K27-1,现测得∠BAC=15°,∠ABC=30°,BC=100m,则AB= ()图K27-1A.50(6-2)m B.50(6+2)mC.100(3-1)m D.100(3+1)m3.D[解析]依题意得∠ACB=135°,由正弦定理得ABsin135°=BCsin15°,所以AB=100sin135°sin(45°-30°)=100×2264.泉城广场上矗立着的“泉标”成为“泉城”济南的标志和象征.为了测量“泉标”的高度,某同学在“泉标”的正西方向的点A处测得“泉标”顶端的仰角为45°,沿点A向北偏东30°方向前进76m到达点B,在点B处测得“泉标”顶端的仰角为30°,则“泉标”的高度为 ()A.38m B.76m C.80m D.114m4.A[解析]设“泉标”的顶端为D,底端为C,则由题意得AB=76m,∠BAC=60°,∠DBC=30°,∠DAC=45°,设DC=xm,则AC=xm,BC=3xm,在△ABC中,利用余弦定理,得(3x)2=x2+762-2×x×76×12,解得x=38.故选A5.如图K27-2,一艘海轮从A处出发,以每小时24海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是()图K27-2A.62海里 B.63海里C.82海里 D.83海里5.A[解析]由题意可知∠BAC=70°-40°=30°,∠ABC=40°+65°=105°,∴∠ACB=45°,又AB=24×0.5=12,在△ABC中,由正弦定理得ABsin45°=BCsin30°,即1222=BC12,∴BC=62,∴B,C两点间的距离为626.如图K27-3,为测得河对岸的铁塔AB的高度,先在河岸上选一点C,使C在铁塔底B的正东方向上,测得点A的仰角为60°,再由点C沿北偏东30°方向走10m到位置D,测得∠BDC=45°,则铁塔AB的高度为 ()图K27-3A.(30+103)m B.(30-103)mC.10+1033m D.10-1033m6.A[解析]由题意知,△BCD中,∠BDC=45°,∠DBC=15°,CD=10,由正弦定理得BCsin∠BDC=CDsin∠DBC,所以BC=CD·sin∠BDCsin∠DBC=10(3+1).在Rt△ABC中,∠ACB=60°,所以AB=BC·tan60°=7.如图K27-4所示,一艘海轮从A处出发,测得灯塔在海轮的北偏东15°的方向,与海轮相距20海里的B处,海轮沿北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C处,此时测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向上,则海轮航行的速度为海里/分钟.

图K27-47.63[解析]由已知得∠ACB=180°-75°-60°=45°,∠ABC=180°-45°-60°-15°=60°,在△ABC中,由正弦定理得ACsin∠ABC=ABsin∠ACB,所以AC=AB·sin∠ABCsin∠ACB=20×sin60°sin45°=106(海里),8.小华想测出操场上旗杆OA的高度(O为旗杆底部),在操场上选取了一条基线BC,请从数据①BC=10m;②B处的仰角为60°;③C处的仰角为45°;④cos∠BAC=368;⑤∠BOC=30°中选取合适的数据,计算出旗杆的高度为 (A.93m B.10mC.102m D.103m8.D[解析]设旗杆的高度OA=hm.若选①②③⑤,则OC=h,OB=h3,在△BOC中,由余弦定理得BC2=OB2+OC2-2OB·OC·cos∠BOC,即102=h2+（h3）2-2·h·h3·32,解得若选①②③④,则AB=23h,AC=2h在△BAC中,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC,即102=(2h)2+（2h3）2-2·2h·2h3·368,解得h=109.珠穆朗玛峰是印度洋板块和亚欧板块碰撞挤压形成的.这种挤压一直在进行,珠穆朗玛峰的高度也一直在变化.由于地势险峻,气候恶劣,通常采用人工攀登的方式为珠峰“量身高”.攀登者们肩负高精度测量仪器,采用了分段测量的方法,从山脚开始,直到到达山顶,再把所有的高度差累加,就会得到珠峰的高度.2020年5月,中国珠峰高程测量登山队8名队员开始新一轮的珠峰测量工作.如图K27-5,在测量过程中,已知竖立在B点处的测量觇标高10米,攀登者们在A处测得到觇标底点B和顶点C的仰角分别为70°,80°,则A,B的高度差约为 ()图K27-5A.10米 B.9.72米C.9.40米 D.8.62米9.C[解析]根据题意画出如图所示的模型,作AO⊥BC于点O,则CB=10米,∠OAB=70°,∠OAC=80°,所以∠CAB=10°,∠ACB=10°,所以AB=10米,所以在Rt△AOB中,BO=10sin70°≈9.4(米),故选C.10.一艘游轮航行到A处时,测得灯塔B在A的北偏东75°方向,距离为126海里,灯塔C在A的北偏西30°方向,距离为123海里,该游轮由A沿正北方向继续航行到D处时,测得灯塔B在其南偏东60°方向,则此时灯塔C位于游轮的 ()A.正西方向 B.南偏西75°方向C.南偏西60°方向 D.南偏西45°方向10.C[解析]如图所示,AB=126,AC=123.在△ABD中,∠ABC=180°-60°-75°=45°,在△ABD中,由正弦定理得ADsin45°=ABsin60°=12632=242,所以AD=24.在△ACD中,由余弦定理得CD2=AC2+AD2-2AC·AD·cos30°,因为AC=123,AD=24,所以CD=12.由正弦定理得CDsin30°=ACsin∠CDA,所以sin∠CDA=32,故∠CDA=60°或∠CDA=120°.因为AD>AC,所以∠CDA为锐角,所以∠CDA=60°,11.春秋以前中国已有“抱瓮而出灌”的原始提灌方式,使用提水吊杆——桔槔,后发展成辘轳.19世纪末,由于电动机的发明,离心泵得到了广泛应用,为发展机械提水灌溉提供了条件.如图K27-6所示为灌溉抽水管道在等高图上的垂直投影,在A处测得B处的仰角为37°,在A处测得C处的仰角为45°,在B处测得C处的仰角为53°,A点所在等高线的值为20米,若BC管道的长度为50米,则B点所在等高线的值为参考数据:sin37°≈35 ()图K27-6A.30米 B.50米 C.60米 D.70米11.B[解析]由题意,作出示意图如图所示,由已知,BC=50,∠CAE=45°,∠BAE=37°,∠CBF=53°,设BD=x,则AD=BDtan37°=BDcos37°sin37°≈43x,CF=BCsin53°=50cos37°≈50×45=40,BF=BCcos53°≈50sin37°=50×35=30,所以由AE=CE,得43x+30=x+40,解得x=30,又A点所在等高线的值为20米,故B点所在等高线的值为20+30=12.上世纪末河南出土的以鹤的尺骨(翅骨)制成的“骨笛”(图K27-7①)充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平,也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图②为骨笛测量“春(秋)分”“夏(冬)至”的日影的示意图,图③是某骨笛的部分测量数据(骨笛的弯曲忽略不计),夏至(或冬至)日光(当日正午太阳光线)与春(秋)分日光(当日正午太阳光线)的夹角等于黄赤交角.图K27-7由历法理论知,黄赤交角近1万年持续减小,其正切值及对应的年代如下表:黄赤交角23°41'23°57'24°13'24°28'24°44'正切值0.4390.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根据以上信息,通过计算黄赤交角,可估计该骨笛的大致年代是 ()A.公元前2000年到公元元年B.公元前4000年到公元前2000年C.公元前6000年到公元前4000年D.公元前8000年到公元前6000年12.D[解析]由题意,可设冬至日光与垂直线的夹角为α,春(秋)分日光与垂直线的夹角为β,则α-β即为冬至日光与春(秋)分日光的夹角,即黄赤交角,由题图③近似画出如图所示的平面几何图形,则tanα=1610=1.6,tanβ=16-9.410=0.66,tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanα·tanβ=1.6-0.661+1.6×0.66≈0.457.∵0.455<0.457<0.461,13.小王骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向行驶,在点A处望见电视塔S在北偏东30°的方向上,20min后到点B处望见电视塔S在北偏东75°的方向上,则小王在点B处时与电视塔S的距离是km.

13.42[解析]依题意有AB=24×2060=8(km),∠BAS=30°,∠ABS=180°-75°=105°,故∠ASB=45°,由正弦定理得BSsin30°=ABsin45°,解得BS=414.甲、乙两艘救助船所在位置分别为B,C,且B,C相距1海里,经测量求救信号发出的位置A与这两船构成的角度为α(顶点为A),救助