第15讲 等差数列【秋季讲义】（人教A版2019选择性必修第二册）（解析版）

第15讲等差数列【人教A版2019】·模块一等差数列的概念·模块二等差数列的前n项和公式·模块三课后作业模块一模块一等差数列的概念1．等差数列的概念一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d表示.2．等差中项由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，则有2A=a+b.反之，若2A=a+b，则a,A,b三个数成等差数列.3．等差数列的通项公式(1)等差数列的通项公式等差数列的通项公式为=+(n-1)d，其中为首项，d为公差.(2)等差数列通项公式的变形已知等差数列{}中的任意两项，(n,m,m≠n)，则

-=(n-m)d4．等差数列的单调性由等差数列的通项公式和一次函数的关系可知等差数列的单调性受公差d影响.

①当d>0时，数列为递增数列，如图①所示；

②当d<0时，数列为递减数列，如图②所示；

③当d=0时，数列为常数列，如图③所示.

因此，无论公差为何值，等差数列都不会是摆动数列.5．等差数列的性质设{}为等差数列，公差为d，则

(1)若m+n=p+q(m,n,p,q)，则+=+.

(2)数列{+b}(,b是常数)是公差为d的等差数列.

(3)若{}是公差为d'的等差数列，{}与{}的项数一致，则数列{+(,为常数)是公差为d+d'的等差数列.

(4)下标成等差数列且公差为m的项,,,(k,m)组成公差为md的等差数列.

(5)在等差数列{}中，若=m，=n，m≠n，则有=0.【考点1等差数列的基本量的求解】【例1.1】（2023秋·福建龙岩·高二校考阶段练习）在数列an中，a1=1，an+1-3=anA．675 B．674 C．673 D．672【解题思路】首先判断数列为等差数列，再代入通项公式，即可求解.【解答过程】由题意可知，an+1-an=3an=1+n-1故选：A.【例1.2】（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列an中，a12=22，a1+A．2 B．52 C．3 D．【解题思路】利用等差中项性质得a3=4，根据d=【解答过程】根据等差数列性质可得a1+a3+a5∴d=a故选：A.【变式1.1】（2023春·云南曲靖·高二校考阶段练习）已知等差数列an满足a1+a4+aA．25 B．35 C．40 D．50【解题思路】根据等差数列的通项公式以及性质求得答案即可.【解答过程】设等差数列的公差为d.由a1+a4+a由a3+a6+a由①②得a1则a8故选：A.【变式1.2】（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列an的首项与公差d均为正数，且lga1，lga3，lga6成等差数列，则lgA．lgd B．lg23 C．lg【解题思路】根据lga1，lga3，lga6【解答过程】因为an是公差为d的等差数列，所以a因为lga1,所以a32=a1又因为d>0，所以a1则lga故选：C.【考点2等差数列的通项公式的求解】【例2.1】（2023春·河南郑州·高二校考期中）数列an中，a1=1，an+1=2aA．n+12 B．2n+1 C．2nn+1【解题思路】由递推式证明数列1an为等差数列，利用等差数列通项公式求数列1an【解答过程】因为an+1=2又a1=1，可得所以数列1an为首项为1，公差为所以1a所以an故选：B.【例2.2】（2023·四川·校联考模拟预测）在数列an中，a1=1，an+A．an=n BC．an=n,n【解题思路】由数列递推式可得an+1+an+2=2(n+1)和an【解答过程】由a1=1，an+a两式相减得an+2-an=2，当此时{a2k-1}是以a则a2k-1=1+k-1×2=2k-1k∈当n=2k,k∈N*时,此时{a2k}是以a则a2k=1+k-1×2=2k-1k∈综合上述可得数列an的通项公式为a故选：B.【变式2.1】（2023春·广东深圳·高二校考期中）已知等差数列an的首项a1=1，公差d=10，在an中每相邻两项之间都插入4个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列bnA．4043 B．4044 C．4045 D．4046【解题思路】根据等差数列的性质求出bn=2n-1【解答过程】设数列bn的公差为d1，由题意可知，b1=a故d1=2，故则b2023故选：C.【变式2.2】（2023·全国·高三专题练习）已知数列an的前n项和为Sn，且Sn-2=2aA．n+1⋅2n+1 B．2n C．n⋅【解题思路】首先令n=1求出数列首项，再根据Sn-2=2an-2n得Sn+1-2=2a【解答过程】令n=1⇒a由Sn-2=2a两式作差可得：an+1化简整理可得：an+1所以数列an2n是首项为1所以an2n故选：D．【考点3利用等差数列的性质解题】【例3.1】（2023春·海南儋州·高二校考期末）已知数列an是等差数列，若a1-a9A．7 B．21 C．14 D．17【解题思路】由条件结合等差数列的性质可求a9，再结合等差数列性质求a【解答过程】由等差数列性质，数列bn为等差数列，若m+n=p+q，m,n,p,q∈则bm因为数列an为等差数列，1+17=9+9所以a1+a所以a9因为数列an为等差数列，3+15=9+9所以a3故选：C.【例3.2】（2023·全国·高三专题练习）已知数列{an}满足2an=an﹣1+an+1(n≥2),a2+a4+a6=12,a1+a3+a5=9,则a3+a4=（

）A．6 B．7 C．8 D．9【解题思路】由条件2an【解答过程】∵   ∴{a由等差数列性质可得a2a1∴a故选：B.【变式3.1】（2023·全国·高三专题练习）等差数列an中，若a4+A．14 B．15 C．16 D．17【解题思路】先由等差数列的性质a4+a6【解答过程】解：依题意，由a4+a6+所以a9故选C.【变式3.2】（2023·全国·高三专题练习）非零实数a，b，c，若bca，cab，abcA．b≤ac B．b≤a+c【解题思路】由等差数列的性质得2a2c2＝(a2+c2)b2≥2b2|ac|，推导出|b|≤|a|+|c|2，进而得到a12【解答过程】∵由题意得bca+abc=2cab，即2a2c2＝（a2+c2）b2∴b2≤|ac|，∴b2≤|ac|≤(|a|+|c|2)又2b2c2＝(a2+c2)b2．∴2b∴a12≤即a2≤b2≤c2，或c2≤b2≤a2．只有B确定正确．故选：B．【考点4等差数列的判定与证明】【例4.1】（2023·全国·高三专题练习）已知数列an满足a1=-12【解题思路】利用数列的递推式推得1an+1+1-1a【解答过程】因为an+1=1则1an+1+1又a1=-1所以11+an是首项为2所以11+【例4.2】（2023春·高二课时练习）是否存在数列an（1）an是等差数列，且公差不为0（2）1a若存在，求出其通项公式；若不存在，请说明理由．【解题思路】首先假设存在这样的数列an，则可知an=a1+【解答过程】假设存在数列an同时满足（1）（2不妨设数列an的首项为a1，公差为则an若1a则需满足1a显然当d=0时，式子-da1但这与公差不为0矛盾，所以这样的数列an不存在【变式4.1】（2023·全国·高三专题练习）已知数列an满足，a1=3，(1)求证数列bn(2)求数列an【解题思路】（1）利用等差数列的定义证明；（2）由（1）的结论求得bn即可【解答过程】（1）解：因为bn所以bn+1所以b又因为an+1所以bn+1=1=a=a所以数列bn是公差为1（2）由（1）知：b1=所以1a所以anan【变式4.2】（2023秋·江苏苏州·高二校考开学考试）已知数列an中，a1=2(1)证明数列1an-1(2)若对任意n∈N*，都有a1【解题思路】（1）根据已知可推出1an+1-1-1（2）经化简可得，k≥n+122n.令bn=n+122【解答过程】（1）证明：由已知可得an≠1，1a又a1=2，所以1a1-1=1，所以数列1所以1an-1=1+n-1（2）由（1）知，an所以a1a2则由a12⋅a22令bn=n+122n，假设数列当r≥2时则，有br≥br-1b解得2≤r≤2+1因为r∈N*，所以r=2，又b1=2，所以数列bn中第2项最大，即bn所以由k≥n+122n对任意模块二模块二等差数列的前n项和公式1．等差数列的前n项和公式等差数列的前n项和公式=(公式一).

=(公式二).2．等差数列前n项和的性质等差数列{an}的前n项和Sn的常用性质性质1等差数列中依次k项之和Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…组成公差为k2d的等差数列性质2若等差数列的项数为2n(n∈N*)，则，，；

若等差数列的项数为2n-1(n∈N*)，则(an是数列的中间项)，，性质3{an}为等差数列为等差数列性质4若{an},{bn}都为等差数列，Sn,Tn分别为它们的前n项和，则【考点5等差数列前n项和的性质】【例5.1】（2023·全国·高二专题练习）等差数列an的前n项和Sn，若Sn=1,SA．10 B．20 C．30 D．15【解题思路】由等差数列性质得，Sn,S2n-Sn【解答过程】由等差数列an有Sn,则S3n故S4n故选：A.【例5.2】（2023·全国·高二专题练习）在等差数列an中，其前n项和为Sn，若S21:SA．16:1 B．6:1 C．12:1 D．10:3【解题思路】根据等差数列前n项和的性质求解即可【解答过程】由等差数列前n项和的性质可得，S7,S14-S7,S21-S14,S28-S21成等差数列，设S故选：D.【变式5.1】（2023·高二课时练习）已知等差数列an的项数为奇数，且奇数项的和为40，偶数项的和为32，则a5=A．8 B．9 C．10 D．11【解题思路】设等差数列{an}有2k+1，(k∈N*)项．公差为d．由于奇数项和为40，偶数项和为【解答过程】解：设等差数列{an}有奇数项2k+1，(k∈∵奇数项和为40，偶数项和为32，∴40=a32=a∴72=(2k+1)(a1∴9=2k+1，即等差数列{an}共∴故选：A．【变式5.2】（2023·高二课时练习）已知等差数列an的前n项和为Sn，则（A．若S9>S8，S9>S10，则S17>0，C．若S17>0，S18<0，则a17>0，a18<0 D【解题思路】根据等差数列前n项和、通项公式的知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.【解答过程】设等差数列an的公差为dA选项，若S9>S8，S9>SS17=aS18=a1B选项，S17=a所以S8+aS18=a所以S9>S9+aC选项，若S17>0，S18S17=aS18=a则a1>0,d<0，aD选项，若a17>0，a18当1≤n≤17,n∈N但S18=a1故选：B.【考点6求等差数列的前n项和】【例6.1】（2023春·河南开封·高三校考阶段练习）已知等差数列an为递增数列，Sn为其前n项和，a3+aA．516 B．440 C．258 D．220【解题思路】根据给定条件，利用等差数列性质求出a4,a6【解答过程】等差数列an为递增数列，则a4<a6，由a解得a4=14,a故选：D.【例6.2】（2023秋·内蒙古包头·高三统考开学考试）已知Tn为数列an的前n项积，若1an+2Tn=1A．n2+2n B．-n2+2n C【解题思路】利用an与Tn的关系可得{Tn}是以【解答过程】因为Tn为数列{an}的前因为1an+即Tn-1+2=T又1a1+2T故{Tn}是以3Sn故选：A.【变式6.1】（2023·全国·高三专题练习）已知数列an为等差数列，首项a1>0，若a1012a1013<-1A．2020 B．2022 C．2024 D．2025【解题思路】根据等差数列的首项和性质,结合a1012a1013<-1可判断出d<0,a1012>0,a1013<0【解答过程】因为数列an为等差数列，a1012a1013<-1又首项a1>0,则公差d<0，所以a1012>0,a1013由等差数列前n项和公式及等差数列性质可得S2024=2024所以使得Sn>0的n故选：C.【变式6.2】（2023春·山西晋中·高二校考阶段练习）已知数列an是等差数列，Sn为数列an的前n项和，a1+a2A．10 B．15 C．20 D．30【解题思路】利用等差数列性质“若m+n=p+q则am+an=【解答过程】因为a1+a所以a=4a可得a1则S故选：D.【考点7等差数列前n项和的最值】【例7.1】（2023·海南·校联考模拟预测）已知等差数列an是递减数列，设其前n项和为Sn，且满足a1(1)求an(2)设数列Snn+9的前n项和为Tn，求【解题思路】（1）利用数列前n项和的定义及等差数列的通项公式，结合等差数列的性质即可求解；（2）根据（1）的结论及等差数列的前n项和公式，结合等差数列的性质即可求解.【解答过程】（1）设等差数列an公差为dd<0由S2⋅S将a1=1代入上式解得d=-5或所以an的通项公式为a（2）由（1）得Sn所以Sn故数列Snn+9是以10令-52n+故Tn即当n=4或5时，Tn取得最大值25【例7.2】（2023春·江苏连云港·高二校考阶段练习）记数列an的前n项和为Sn，对任意n∈N(1)证明：an(2)若当且仅当n=7时，Sn取得最大值，求a【解题思路】（1）利用数列an=S（2）由条件转化为S7>【解答过程】（1）因为Sn=nan①－②可得a⇔a故an（2）若当且仅当n=7时，Sn则有S7>S6S7>S故a1的取值范围为12,14【变式7.1】（2023春·北京·高二校考期中）已知an是等差数列，其前n项和为Sn，a4=-3再从条件(1)数列an(2)Sn的最小值，并求Sn取得最小值时条件①：S4=-24；条件②：【解题思路】（1）根据等差数列定义，设出公差d利用所选条件分别解得a1和d，即可写出数列的通项公式；（2）根据通项公式可得前n项和为Sn【解答过程】（1）若选择条件①：设等差数列an的公差为d，由a4=-3又S4=-24，得4a解得a1所以an即数列an的通项公式为a若选择条件②：设等差数列an的公差为d，由a4=-3又a1=2a3，即解得a1所以an即数列an的通项公式为a（2）若选择条件①：由an=2n-11,n∈N根据二次函数的性质可得当n=5时，Sn即n=5时，Sn取最小值，且最小值为S若选择条件②：由an=3n-15,n∈N根据二次函数的性质可得当n=4或n=5时，Sn即n=4或n=5时，Sn取最小值，且最小值为S【变式7.2】（2023·高二课时练习）如果有穷数列a1，a2，a3，…，an（n为正整数）满足条件a1=an，a2=an-1，…，an=a1，即a(1)设是bn项数为7的“对称数列”，其中b1，b2，b3，b4是等差数列，且b(2)设cn是项数为2k-1（正整数k>1）的“对称数列”，其中ck，ck+1，…，c2k-1是首项为50，公差为-4的等差数列.记cn各项的和为S2k-1，当k【解题思路】（1）根据等差数列通常公式得b4=2+3d=11，解出d即可得到数列（2）首先求出ck+ck+1【解答过程】（1）设bn的前4项公差为d,则b解得d=3,∴数列bn为（2）∵ck,ck+1,…,∴c∴=2=-4=-4∴当k=13时,S2k-1取得最大值，其最大值为模块三模块三课后作业1．（2023春·广东潮州·高二统考期末）在数列an中，a1=1，an+1=anA．673 B．674 C．675 D．676【解题思路】定义法判断数列为等差数列，从而由等差数列基本量的计算求解.【解答过程】由题意可得，an+1-a则an=1+3(n-1)=3n-2，令故选：C.2．（2023·全国·高三专题练习）已知an为数列Sn的前n项积，若1Sn-2aA．3-2n B．3+2n C．1+2n D．1-2n【解题思路】先将等式化为an,a【解答过程】当n=1时，1a1-2a1=1⇒a1=-1；当n≥2时，1故选：D.3．（2023·山东·烟台二中校考模拟预测）记数列{an}的前n项和为Sn，S5=98，数列A．-2 B．-1516 C．-1 D【解题思路】根据给定条件，求出数列{2nSn【解答过程】依题意，25S5=32×98=36因此Sn=7n+12n，当n≥2当n≥2时，an+1-an=于是当n≥3时，数列{an}是递增的，而a2=-所以{an}故选：C.4．（2023·全国·高三专题练习）中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现．如图是某古建筑物的剖面图，DD1，CC1，BB1，AAA．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4【解题思路】根据题意将题目转化为等差数列，按照等差数列性质计算即可.【解答过程】不妨设OD1由题意知DD1设数列公差为d，∵∴0.114×4+6d解得d=0.2.故选：B.5．（2023秋·贵州贵阳·高三统考开学考试）已知等差数列an的前n项和为Sn．若S1=3，S2A．21 B．48 C．75 D．83【解题思路】设等差数列an的公差为d，利用等差数列的求和公式求出d的值，再利用等差数列的求和公式可求得S5【解答过程】设等差数列an的公差为d，则S又因为a1=S1=3因此，S5故选：C.6．（2023春·江苏连云港·高三校考阶段练习）已知数列an的前n项和为Sn，且满足a1=1，anan+1=2Sn，设bnA．p=1 B．p=2 C．p=3 D．p=4【解题思路】根据数列的递推公式得出bn=【解答过程】数列an满足a1=1当n=1时，a1a2当n≥2时，2a因为an≠0，所以an+1-an-1=2所以an=1+(n-1)=n，若存在正整数p,qp<q，使得b1，bp则2bp=b因为数列{b当p=1时，由23=1当2≤p<q时，则13≥p-1当3≤p时，13≥p-13p-1≥2p所以p=2，则有49=1故选：B.7．（2023·高二课时练习）已知数列an是等差数列，Sn为数列an的前n项和，a1+a2A．10 B．15 C．20 D．40【解题思路】根据等差数列性质得到S20-S16,S16-S12,S【解答过程】数列an是等差数列，Sn为数列an的前根据等差数列的性质得到：S20记S4=aS12-SS20S20计算可得到结果为：20.故选：C.8．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三校考阶段练习）已知等差数列an的前n项和为Sn有最小值，且-1<a9a10<0A．9 B．10 C．17 D．18【解题思路】根据题意可得a1<0且d>0，结合等差数列的单调性可得a9<0,【解答过程】由题意可知：等差数列an的前n项和为Sn有最小值，则a1所以数列an是递增数列，可得S因为a9a10<0又因为a9a10>-1，可得所以使Sn>0成立的正整数n故选：D.9．（2023秋·湖南邵阳·高三校考阶段练习）已知等差数列an的前n项和为Sn，若S2023A．数列an是递增数列 B．C．当Sn取得最大值时，n=1013 D．【解题思路】根据等差数列求和公式及等差数列性质计算出a1012>0,a1013<0，且a1012<a1013，从而得到公差小于0，n=1012时，【解答过程】ABC选项，S2023∴2023a2024a∴a1012∴a1012>0,a1013<0∴公差d<0，等差数列an是递减数列，An=1012时，Sn取得最大值，CD选项，S1013=S1010故选：B．10．（2023秋·福建宁德·高二校考阶段练习）在等差数列an中，Sn是an的前n项和，满足S20<0，S21>0，则有限项数列S1a1，A．S21a21；S20a20 B．S21a21；S11【解题思路】先判断出a10>0,a11【解答过程】因为an为等差数列，故S20=10故a10+a11<0，aS10<S而a1故-S10>--由不等式性质可得0<-S同理-S11a而0<S故S1a1，S2a2，…，S20故选：C.11．（2023·全国·高三专题练习）已知两个等差数列an、bn的前n项和分别为Sn和Tn，且【