北京青年政治学院附属中学高二数学理摸底试卷含解析

北京青年政治学院附属中学高二数学理摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知等比数列{an}满足a1=，a3a5=4（a4﹣1），则a2=（）A．2 B．1 C． D．参考答案：C【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，∵，a3a5=4（a4﹣1），∴=4，化为q3=8，解得q=2则a2==．故选：C．2.已知x，y满足不等式组若当且仅当时，z=ax+y（a＞0）取得最大值，则a的取值范围是(

)A．（0，） B．（，+∞） C．（0，） D．（，+∞）参考答案：D【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；数形结合法；不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由z=ax+y（a＞0）得y=﹣ax+z（a＞0）直线y=﹣ax+z（a＞0）是斜率为﹣a＜0，y轴上的截距为z的直线，要使（3，0）是目标函数z=ax+y（a＞0）取最大值的唯一的最优解，则满足﹣a＜kAB=﹣，解得a＞．故选：D．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法，要熟练掌握目标函数的几何意义．3.下列命题中的假命题是（

）.A.

B.

C.

D.参考答案：C4.若则向量的关系是（

）A．平行

B．重合

C．垂直

D．不确定参考答案：C5.小明在玩投石子游戏，第一次走1米放2颗石子，第二次走2米放4颗石子…第次走米放颗石子，当小明一共走了36米时，他投放石子的总数是（

）A．36

B．254

C．510

D．512参考答案：C6.已知P是抛物线y2=4x上一动点，则点P到直线l：2x﹣y+3=0和y轴的距离之和的最小值是（）A． B． C．2 D．﹣1参考答案：D【考点】抛物线的简单性质．【分析】作图，化点P到直线l：2x﹣y+3=0和y轴的距离之和为PF+PA﹣1，从而求最小值．【解答】解：由题意作图如右图，点P到直线l：2x﹣y+3=0为PA；点P到y轴的距离为PB﹣1；而由抛物线的定义知，PB=PF；故点P到直线l：2x﹣y+3=0和y轴的距离之和为PF+PA﹣1；而点F（1，0）到直线l：2x﹣y+3=0的距离为=；故点P到直线l：2x﹣y+3=0和y轴的距离之和的最小值为﹣1；故选D．7.已知x、y满足以下约束条件

，使z=x+ay

(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（

）A－3

B

3

C

－1

D

1参考答案：D略8.已知命题p：对于x∈R恒有2x+2﹣x≥2成立；命题q：奇函数f（x）的图象必过原点，则下列结论正确的是（）A．p∧q为真 B．￢pⅤq为真 C．p∧（￢q）为真 D．￢q为假参考答案：C【考点】复合命题的真假．【分析】由基本不等式可判命题p为真命题，奇函数f（x）只有当x=0有意义时，才有图象必过原点，故q假，由复合命题的真假可得答案．【解答】解：由基本不等式可得，2x+2﹣x=，当且仅当，即x=0时，取等号，即对于x∈R恒有2x+2﹣x≥2成立，故命题p为真命题．奇函数f（x）只有当x=0有意义时，才有图象必过原点．如y=，为奇函数，但不过原点．故命题q为假命题，￢q为真命题．由复合命题的真假，可知，p∧q为假，￢pⅤq为假，故选项A、C、D都错误，只有C选为正确．故选C．9.是首项，公差的等差数列，如果，则序号n等于（

） A．667 B．668 C．669 D．670参考答案：C略10.如图，在平行六面体中，为与的交点．若，，则下列向量中与相等的向量是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知曲线（为参数）与曲线（为参数）的交点为A，B，，则＝

参考答案：略12.如图,在三棱柱中,分别是的中点,设三棱锥的体积为,三棱柱的体积为,则____________.参考答案：1：2413.如图，点P在正方体的面对角线上运动，则下列四个命题：①三棱锥的体积不变；②∥面；③；④面面。其中正确的命题的序号是_______________（写出所有你认为正确结论的序号）参考答案：①

②

④

14.在平面直角坐标系中，已知点、，是平面内一动点，直线、的斜率之积为．则动点的轨迹的方程

。参考答案：（）15.某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝．甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷．根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是．参考答案：甲【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】此题可以采用假设法进行讨论推理，即可得出结论．【解答】解：假如甲：我没有偷是真的，乙：丙是小偷、丙：丁是小偷是假的，丁：我没有偷就是真的，与他们四人中只有一人说真话矛盾，假如甲：我没有偷是假的，那么丁：我没有偷就是真的，乙：丙是小偷、丙：丁是小偷是假的，成立，故答案为：甲．16.不等式组所表示的平面区域的面积等于____参考答案：17.等比数列中,则的公比的值为______________。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某科研所对新研发的一种产品进行合理定价，该产品按事先拟定的价格试销得统计数据．单价x（万元）88.28.48.88.69销量y（件）908483758068（1）①求线性回归方程y=x+；②谈谈商品定价对市场的影响；（2）估计在以后的销售中，销量与单价服从回归直线，若该产品的成本为4.5元/件，为使科研所获利最大，该产品定价应为多少？（附：=，=﹣，=8.5，=80）参考答案：【考点】线性回归方程．【分析】（1）①根据公式求出和的值，求出回归方程即可；②根据b的值判断即可；（2）求出关于w的表达式，结合二次函数的性质求出w的最大值即可．【解答】解：（1）①依题意：==﹣20，=﹣=80+20×8.5=250，∴回归直线的方程为y=﹣20x+250；②由于=﹣20＜0，则x，y负相关，故随定价的增加，销量不断降低．（2）设科研所所得利润为w，设定价为x，∴w=（x﹣4.5）（﹣20x+250）=﹣20x2+340x﹣1125，∴当时，wmax=320，故当定价为8.5元时，w取得最大值．19.椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=．过F1的直线交椭圆于A，B两点，且△ABF2的周长为8．（1）求椭圆E的方程．（2）在椭圆E上，是否存在点M（m，n）使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点P，Q，且△POQ的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应的△POQ的面积；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由已知得e=，4a=8，由此能求出椭圆E的方程．（2）当∠POQ=90°时，S△POQ有最大值，求出点O到直线AB的距离，从而得到m2+n2=2，又，两式联立，无解，故在椭圆E上，不存在点M（m，n）使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点P，Q，且△POQ的面积最大．【解答】（本小题满分12分）解：（1）∵椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=，∴，e=，∴3a2=4b2，∵△ABF2的周长为8，∴4a=8，解得a=2，b=，c=1，∴椭圆E的方程为：．…（2）不存在，理由如下：在△POQ中，|OP|=|OQ|=1，S△POQ=|OP|×|OQ|×sin∠POQ当且仅当∠POQ=90°时，S△POQ有最大值，当∠POQ=90°时，点O到直线AB的距离为d=，∴d==，∴m2+n2=2，又，两式联立，解得：无解，故在椭圆E上，不存在点M（m，n）使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点P，Q，且△POQ的面积最大．…【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、点到直线距离公式的合理运用．20.（12分）某普通高中为了了解学生的视力状况，随机抽查了100名高二年级学生和

100名高三年级学生，对这些学生配戴眼镜的度数（简称：近视度数）进行统计，得到高二学生的频数分布表和高三学生频率分布直方图如下：近视度数0–100100–200200–300300–400400以上学生频数304020100

将近视程度由低到高分为4个等级：当近视度数在0-100时，称为不近视，记作0；当近视度数在100-200时，称为轻度近视，记作1；当近视度数在200-400时，称为中度近视，记作2；当近视度数在400以上时，称为高度近视，记作3.（Ⅰ）从该校任选1名高二学生，估计该生近视程度未达到中度及以上的概率；（Ⅱ）设，从该校任选1名高三学生，估计该生近视程度达到中度或中度以上的概率；（Ⅲ）把频率近似地看成概率，用随机变量分别表示高二、高三年级学生的近视程度,若,求.参考答案：（Ⅰ）设该生近视程度未达到中度及中度以上为事件………………1分则 ………………3分（Ⅱ）设该生近视程度达到中度或中度以上为事件

………………4分则

………………7分

法2：设该生近视程度未达到中度及中度以上为事件

………………4分∵,

∴,∴,

………………6分∴

………………7分(Ⅲ)

………………9分………11分∵,

∴,∴.

………………12分21.在平面直角坐标系中，设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为。(1）求实数的取值范围；(2）求圆

的方程；(3）问圆是否经过某定点（其坐标与

无关）？请证明你的结论。参考答案：解:(1)令,得抛物线与轴的交点令由题意知:且△>0得

(2)设圆A:令得:这与是同一个方程.∴D=,

F=令得

此方程有一个解.∴

得∴圆A:

(3)由得由

得或∴圆A必过定点和

22.(本题满分