第四章-矩阵的特征值和特征向量

第四章矩阵的特征值和特征向量§4.1相似矩阵

§4.2

§4.3§4.4

法国数学家柯西:

给出了特征方程的术语,证明了任意阶实对称矩阵都有实特征值给出了相似矩阵的概念,证明了相似矩阵有相同的特征值英国数学家凯莱:

方阵的特征方程和特征根(特征值)的一些结论

德国数学家克莱伯施,布克海姆(A.Buchheim)等:

证明了对称矩阵的特征根性质

泰伯(H.Taber):

引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论

1854年,法国数学家约当

矩阵化为标准型的问题第四章矩阵的特征值和特征向量§4.1相似矩阵

一.问题习题1(B).23

求A11.设P

1AP=,P=,

=14111002,A=P

P

1

A11=(P

P

1)(P

P

1)(P

P

1)…(P

P

1)

11=100211=P

11P

1

第四章矩阵的特征值和特征向量§4.1相似矩阵

二.相似矩阵的定义A与B相似(similar):

P,s.t.P

1AP=B.记为A~B.易见,矩阵间的相似关系满足(1)反身性:A~A;(2)对称性:A~B

B~A;(3)传递性:A~B,B~C

A~C.

性质1.设A~B,f是一个多项式,

则f(A)~f(B).证明:设P

1AP=B,f(x)=anxn+…+a1x+a0,则P

1f(A)P=anP

1AnP+…+a1P

1AP+a0P

1EP

=an(P

1AP)n+…+a1P

1AP+a0E

=P

1(anAn+…+a1A+a0E)P

=anBn+…+a1B+a0E

=f(B).三.相似矩阵的性质第四章矩阵的特征值和特征向量§4.1相似矩阵

性质2.设A~B,则|A|=|B|.证明:P

1AP=B|P

1AP|=|B|第四章矩阵的特征值和特征向量§4.1相似矩阵|P

1|

|A|

|P|=|P|

1

|A|

|P|=|A|=性质3.设A~B,则r(A)

=r(B).证明:P

1AP=B

r(A)

=r(B).

第四章矩阵的特征值和特征向量§4.1相似矩阵A=a11

a12…a1na21

a22…a2n…………an1

an2…a1nA的迹(trace):tr(A)=

a11+a22+…+a1n(1)tr(A+B)=tr(A)+tr(B);(2)tr(kA)=ktr(A);(3)tr(AB)=tr(BA).

性质4.设A~B,则tr(A)=tr(B).证明:P

1AP=B第四章矩阵的特征值和特征向量§4.1相似矩阵tr(B)=tr(P

1AP)=tr(APP

1)=tr(A).

四.相似对角化(diagonalize)第四章矩阵的特征值和特征向量§4.1相似矩阵定理4.1.An

n

~

对角矩阵

1,…,

n和线性无关的

1,…,

n,s.t.A

i=

i

i

(i=1,…,n).P=(

1,…,

n),

=diag(

1,…,

n),在此条件下,令则P

1AP=

.

定义4.2:若A相似于对角阵

，则称A可以相似对角化，

称为A的相似标准形。§4.2特征值与特征向量一.定义第四章矩阵的特征值和特征向量§4.2特征值与特征向量

A

=

n阶方阵

非零向量

特征值(eigenvalue)

特征向量(eigenvector)

对应

“Eigen”isGermanfor“characteristicof”or“peculiarto”;someauthorscallthesecharacteristicvaluesandvectors.Noauthorscallthem“peculiar”.第四章矩阵的特征值和特征向量§4.2特征值与特征向量

A

=

(

E–A)

=0|

E–A|=0

特征方程(characteristicequation)

|

E–A|=

–a11–a12…–a1n

–a21

–a22…–a2n…………–an1–an2…

–ann

特征多项式(characteristicpolynomial)

E–A

特征矩阵

特征值

特征向量

二.计算第四章矩阵的特征值和特征向量§4.2特征值与特征向量

定理4.2.(1)

0为A的特征值

|

0E–A|=0.(2)

为A的对应于

0特征向量

(

0E–A)

=0.1.理论依据2.步骤计算|

E–A|

求|

E–A|=0的根

i

求(

iE–A)x=0的基础解系

例1.求A=的特征值和特征向量.解:所以A的特征值为

1=2,

2=4.解之得A的对应于

1=2的特征向量为对于

1=2,(2E–A)x=0

即3113|

E–A|=

–311

–3=(

–2)(

–4).

x1+x2=0x1

x2=0x1x2=k

11(0

kR).kk(0

kR).第四章矩阵的特征值和特征向量§4.2特征值与特征向量

例1.求A=的特征值和特征向量.解:所以A的特征值为

1=2,

2=4.解之得A的对应于

2=4的特征向量为对于

2=4,(4E–A)x=0

即3113|

E–A|=

–311

–3=(

–2)(

–4).x1+x2=0x1+x2=0x1x2=k

1

1(0

kR).k

k(0

kR).第四章矩阵的特征值和特征向量§4.2特征值与特征向量

解:|

E–A|=(

–2)(

–1)2.

所以A的特征值为

1=2,

2=

3=1.

对于

1=2,

求得(2E–A)x=0

的基础解系:p1=(0,0,1)T.

对应于

1=2的特征向量为kp1(0

kR).

对于

2=

3=1,

求得(E–A)x=0

的基础解系:p2=(–1,–2,1)T.

对应于

2=

3=1的特征向量为kp2(0

kR).例2.求的特征值和特征向量.

第四章矩阵的特征值和特征向量§4.2特征值与特征向量

解:|

E–A|=(

+1)(

–2)2.

所以A的特征值为

1=–1,

2=

3=2.

(–E–A)x=0的基础解系:p1=(1,0,1)T.

对应于

1=–1的特征向量为kp1(0

kR).

(2E–A)x=0的基础解系:

p2=(0,1,–1)T,p3=(1,0,4)T.

对应于

2=

3=2的特征向量为k2p2+k3p3

(k2,k3不同时为零).例3.求的特征值和特征向量.

第四章矩阵的特征值和特征向量§4.2特征值与特征向量

第四章矩阵的特征值和特征向量§4.2特征值与特征向量三.性质性质5.设A~B,则|

E–A|=|

E–B|.反之未必.因此相似矩阵有相同的特征值。性质6.设A=(aij)n

n的特征值为

1,…,

n,则

(1)

1+…+

n=tr(A).(2)

1…

n=|A|.推论.A

可逆

1,…,

n全不为零.性质7.|

E–A|=|

E–AT|.

例4.设

为方阵A的特征值,证明

2为A2的特征值.证明:因为

为A的特征值,即有非零向量x使Ax=x,

于是(A2)x=A(Ax)

=A(x)

=

(Ax)=

2x,

所以

2为A2的特征值.例5.设

为方阵A的特征值,证明

(

)=2

2–3

+4.

为

(A)=2A2–3A+4E的特征值.证明:因为

为A的特征值,即有非零向量x使Ax=x,

于是

(A)x=(2A2–3A+4E)x

=2(A2)x–3Ax

+4x

=2

2x–3x

+4x

=(2

2–3

+4)x

=

(

)x,

所以

(

)为

(A)的特征值.第四章矩阵的特征值和特征向量§4.2特征值与特征向量

第五章特征值与特征向量§5.1矩阵的特征值与特征向量A

=

特征值

特征向量

①An

=

n

,

(A)

=

(

)

A

n

=

n

A*

=

1|A|

②

A可逆

A1

=

1

(

)=0,即特征值必为

的根,③若

(A)=O，则

就称为是A的化零多项式,

反之未必.推论3.

第四章特征值与特征向量§4.2矩阵的特征值与特征向量例7.若A33的特征值为1,1,2,求|A+A1|.

解：A*的特征值为

1|A|,又|A|=2.

例6.若A33的特征值为1,1,2,求tr(A*).解：A+A1的特征值为

+

1.例8.设

1,

2,…,

m为方阵A的m个不同的特征值,

p1,p2,…,pm为依次对应于这些特征值的特征向量,证明p1,p2,…,pm线性无关.证明:若k1p1+k2p2+…+kmpm=0,则由此可得(k1p1,k2p2,…,kmpm)=O.(k1p1,k2p2,…,kmpm)=O.因而k1

=k2

=…=km

=0.

这就证明了p1,p2,…,pm是线性无关的.

第四章矩阵的特征值和特征向量§4.3矩阵可相似对角化的条件§4.3矩阵可相似对角化的条件定理4.3.An

n

~

对角矩阵

有n个线性无关的

特征向量.

定理4.4.

1

1,…,

s

1,…,

r

2

A

线性无关线性无关

{

1,…,

s,

1,…,

r}线性无关

第四章矩阵的特征值和特征向量§4.3矩阵可相似对角化的条件定理4.5.推论.An

n有n个不同的特征值A~

.

例1,

例2,

例3

定理4.4.

1

1,…,

s

1,…,

r

2

A

1,

2,…,

m

{

11,…,

1r

,

21,…,

2r

,

…,

m1,…,

mr

}12

m

第四章特征值与特征向量§4.3相似矩阵定理4.6.A相似于对角矩阵k重特征值对应k个线性无关的特征向量.注2:

所对应的线性无关的特征向量的个数

=

n

r(

E

A).

=

(

E

A)x=0的基础解系中解向量的个数注1:一重特征值不需要看(只有一个)，只需要看k重特征值，k

>1.

第四章矩阵的特征值和特征向量§4.3矩阵可相似对角化的条件例9.A=12

31431a5有一个2重特征值.(1)a=?(2)A

是否可以相似对角化?解:|E

A|=

1

231

431a

5=(

2)(

28

+18+3a).

第四章矩阵的特征值和特征向量§4.3矩阵可相似对角化的条件例10.A=20000101xB=2000y0001~(1)x=____,y=____.(2)P=__________满足P1AP=B.01100011011

第四章矩阵的特征值和特征向量§4.4实对称矩阵的相似对角化§4.4实对称矩阵的相似对角化一.实对称矩阵的特征值和特征向量定理4.7.实对称矩阵的特征值均为实数.事实上,

1p1T=(Ap1)T

=p1TAT

=p1TA,定理4.8.设

1,

2是实对称矩阵A的两个不同的特征值,p1,p2是对应与它们的特征向量,则p1与p2正交.于是(

1–

2)p1Tp2=0,但是

1

2,故p1Tp2=0.从而

1p1Tp2=p1TAp2

=p1T(

2p2)=

2p1Tp2.

第四章矩阵的特征值和特征向量§4.4实对称矩阵的相似对角化二.实对称矩阵正交相似于对角矩阵定理4.9.对于任意n阶实对称矩阵A,存在正交矩阵Q,使得

Q–1AQ=

=diag(

1,

2,…,

n),

其中

1,

2,…,

n为A的全部特征值,Q=(q1,q2,…,qn)的列向量组是A

的对应于

1,

2,…,

n的标准正交特征向量.

第四章特征值与特征向量§4.4实对称矩阵的相似对角化例11.把A=正交相似对角化.解:|

E

A|=

2(

3).

所以A的特征值为

1=

2=0,

3=3.(0E

A)x=

的基础解系:

1=(

1,1,0)T,

2=(1,0,1)T.

(3E

A)x=

的基础解系:

3=(1,1,1)T.111111111二.实对称矩阵正交相似对角化的计算

第四章特征值与特征向量§4.4实对称矩阵的相似对角化

1=(

1,1,0)T,

2=(1,0,1)T,

3=(1,1,1)T.

p2=

2

2,

1

1,

1

1

,

=1/2

1/2

1再令q1=

p1||p1||,

=1/2

1/2

0q2=p2

||p2||,

=1/6

1/6

2/6q3=

p3||p3||,

=1/3

1/3

1/3令Q=(q1,q2,q3),令p1=

1,

p3=

3.

则Q

1AQ=QTAQ=.300000000实对称矩阵正交相似对角化的步骤(

E

A)x=

|

E

A|=0特征值特征向量正交化单位化Q

第四章特征值与特征向量§4.4实对称矩阵的相似对角化例12.把A=正交相似对角化.另解:由于A是3阶实对称矩阵,111111111又因为r(A)=1,所以

1,

2,

3中有两个为零,一个非零.根据

1+

2+

3=tr(A)=3,可设

1=3,

2=

3=0.

1000

2000

3

.故A~(3E

A)x=

的基础解系:

1=(1,1,1)T.

第四章特征值与特征向量§4.4实对称矩阵的相似对角化(0E

A)x=

的一个非零解为:

2=(

1,1,0)T,(3E

A)x=

的基础解系:

1=(1,1,1)T.x1+x2+x3=0

3=(

1,

1,2)T.,

1/2

1/2

0q2=,

1/6

1/6

2/6q3=令q1=,

1/3

1/3

1/3Q=(q1,q2,q3),则Q

1AQ=QTAQ=.300000000

设

3=(x1,x2,x3)T，

x1+x2=0

第四章特征值与特征向量§4.4实对称矩阵的相似对角化例13.AT=A

M3(R),|

E–A|=(

–1)2(

–10),

3=(1,2,2)T,A

3=10

3,求A.(1)由性质5.2可知:A

=1

(

)

3;因而

=k1

1+k2

2反之,设

3,(

1,

2是A的对应于1的线性无关的特征向量).且

=k1

1+k2

2+k3

3

则=0.

,

3

k3||

3||2=k1

1,

3+k2

2,

3+k3

3,

3

=综上所述,A

=1

(

)

3.故k3=0,是对应于1的特征向量.

第四章特征值与特征向量§4.4实对称矩阵的相似对角化(2)x1+2x22x3=0的基础解系:将正交向量组

1,

2,

3单位化得正交矩阵

1=(2,1,2)T,

2=(

2,2,1)T,