2023高考数学复习讲义 一 第5讲 函数的极值、最值

第5讲函数的极值、最值

[考情分析J利用导数研究函数的极值、最值是重点考查内容，多在选择题、填空题靠后的

位置考查，或以解答题的形式出现，难度中等偏上，属综合性问题.

考点一利用导数研究函数的极值

I核心提炼】

判断函数的极值点，主要有两点

(1)导函数/(X)的变号零点，即为函数人X)的极值点.

(2)利用函数/(X)的单调性可得函数的极值点.

例1已知函数y(x)=αlnx+gχ2-(α+l)x+1.

(1)当α=0时，求曲线y=∕(x)在点(2,12))处的切线方程；

(2)若函数於)在x=l处取得极小值，求实数”的取值范围.

解(1)当4=0时，/(x)=]*—x+l.

所以∕'(x)=χ-l,

所以k=/(2)=1,

因为12)=£乂22—2+1=1,

所以切线方程为y=x-∖.

(2)函数7U)的定义域为(0,+∞).

因为y(x)=alnJC÷^X2-(«+l)x÷1,

所以/(X)=提+x-α-l=——.

令/(x)=0,即χ2-3+i)χ+α=o,解得X=I或X=°.

①当“W0时，当X变化时，f(x),7U)的变化情况如表所示：

X(0,1)1(1，+o0)

f(X)一O+

於)极小值Z

所以当X=I时，KX)取得极小值.所以αW0成立.

②当0<〃<1时，当X变化时，f(x),式x)的变化情况如表所示.

X(O,a)a3,1)1(1,+°o)

∕'(X)+O一O+

於)/极大值极小值Z

所以当X=I时，火x)取得极小值.所以O<α<l成立.

③当α=l时，，(x)2O在(0,+8)上恒成立，

所以函数火X)在(0,+8)上单调递增，没有极小值，不成立.

④当α>l时，当X变化时，fl(x),./(X)的变化情况如表所示.

X(0,1)1(1，。)a(m+o0)

f,ω+O一O+

於)/极大值极小值/

所以当X=I时，/(x)取得极大值.所以α>l不成立.

综上所述，α<l.

易错提醒(1)不能忽略函数的定义域.

(2/(沏)=0是可导函数/(x)在X=XO处取得极值的必要不充分条件，即/(X)的变号零点才

是大X)的极值点，所以判断灭处的极值点时，除了找(X)=O的实数根Xo外，还需判断於)

在Xo左侧和右侧的单调性.

(3)函数的极小值不一定比极大值小.

跟踪演练1(1)(2021•全国乙卷)设αW0,若x="为函数./U)=α(χ-a)?。-6)的极大值点，则

()

A.a<bB.a>h

C.ab<a2D.ab>cr

答案D

解析方法一(分类与整合法)因为函数危)=a(χ-6),所以f'(x)=2a(χ-d)(χ-b)

aI2b

÷a(x-a)2=a(x~a)∖3χ-a-2⅛).令/(X)=0,结合a≠0可得x=a或X=Jj一,

(1)当〃>0时，

①若父产>4,即6>a,此时易知函数Kr)在(一8,a)上单调递增，在Q,3”)上单调递减，

所以X=a为函数兀t)的极大值点，满足题意；

②若T-=a,即b=a,此时函数yu)=〃(x—a)3在R上单调递增，无极值点，不满足题意；

③若生产<〃，即Xa,此时易知函数y(x)在仲F，J上单调递减，在3,+8)上单调递增，

所以x=a为函数y(x)的极小值点，不满足题意.

(2)当a<0时，

Iɔ1

-

①若区W>a,即&>〃，此时易知函数/(x)在(一8,〃)上单调递减，在上单调递增,

所以X=”为函数兀V)的极小值点，不满足题意；

Iɔ1

②若匕~=α,即6=α,此时函数兀0="(χ-α)3在R上单调递减，无极值点，不满足题意;

③若生产<〃，即Xa,此时易知函数"r)在停展，，上单调递增，在(4,+8)上单调递减,

所以X="为函数/(x)的极大值点，满足题意.

综上，a>O且人>α满足题意，“<0且6<α也满足题意.因此，可知必有αb>∕成立.

方法二当a=l,6=2时，函数兀V)=(X-1)2∙(X-2),画出该函数的图象如图1所示，可知

x=l为函数式x)的极大值点，满足题意.从而，根据α=l,匕=2可判断选项B,C错误；当

a=~∖,6=—2时，函数犬X)=-(X+l)2(x+2),画出该函数的图象如图2所示，可知x=一

1为函数,/(x)的极大值点，满足题意.从而，根据。=-1,。=一2可判断选项A错误.

方法三当”>O时，根据题意画出函数./U)的大致图象，如图3所示，观察可知b>”.

当α<O时，根据题意画出函数兀r)的大致图象，如图4所示，观察可知”>A

综上，可知必有而>必成立.

⑵(2021・湘潭模拟)已知函数y(x)=er—加+20V有两个极值点，则”的取值范围是()

A.(e,+∞)+8)

C.(e2,+∞)D.信，+∞)

答案D

解析因为/U)=CΛ-αr2+20r有两个极值点，所以，。)=0有两个不同实数根，所以e“一

2ax+2a=0有两个不同实数根，

所以e*=2α(χ-1)有两个不同实数根，显然。#0,

所以古=*有两个不同实数根，

r—12—X

记g(x)=R-'g'(X)=-^—，

当x∈(-8,2)时，g'(x)>0;当x∈(2,+8)时,g'(χ)<0,

所以g(x)在(-8,2)上单调递增，在(2,+8)上单调递减，所以g(x)max=g(2)=《，

又因为当x∈(-8,I］时，g(χ)W0;当χG(l,2)时，g(x)d(θ,卜)；当x∈［2,+8)时，

g(x)c(θ,目，

所以当I=VI有两个不同实数根时,⅛efo-白，

x»C*CN>t∕∖C∕

所以24>e?,所以a>y.

考点二利用导数研究函数的最值

【核心提炼】

1.求函数7(x)在［“，6］上的最大值和最小值的步骤

(1)求函数在(α,加内的极值.

(2)求函数在区间端点处的函数值大。)，Kb).

(3)将函数/(x)的各极值与大。)，犬份比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

2.若函数含有参数或区间含有参数，则需对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函

数的最值.

例2(1)函数y(x)=θr3-60r2+Z>在区间［-1,2］上的最大值为3,最小值为一29(〃>0),则α,

b的值为()

A.α=2,b=-29B.α=3,b=2

C.α=2,b=3D.以上都不对

答案C

解析函数√(x)的导数∕'(x)=3αγ2-12Or=3αr(χ-4),

因为a>0,所以由/(x)<0,计算得出04<4,此时函数单调递减，

由，(x)>0,计算得出x>4或x<0,此时函数单调递增，

即函数在［—1,0］上单调递增，在［0,2］上单调递减，

即函数在X=O处取得极大值同时也是最大值，

则<0)=b=3,

则/U)=/-60x2+3,

艮—1)=-7α+3,7(2)=-16α+3,

则式一D/2),

即函数的最小值为12)=-16"+3=—29,

计算得出α=2,b—3.

(2)(2021.新高考全国I)函数外)=∣2χ-l∣—21nx的最小值为.

答案1

解析函数√(X)=∣2Λ-1∣—21nx的定义域为(0,+∞).

122(X—1)1

①当x>2时，7(x)=2χ-1—2InX,所以∕'(X)=—，当时，，(X)<0,当x>l

时，/'(x)>0,所以7(x)min=∕U)=2-l-21n1=1；

②当(KXWT时，贝X)=I—2x-2InX在(0,I上单调递减，所以兀v)min=fG)=—21n；=21n2

=ln4>lne=l.综上，Xx)m,n=I.

易错提醒(1)求函数最值时，不可想当然地认为极值就是最值，要通过比较大小才能下结论.

(2)求函数无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值，还需研究单调性，结合单调性

和极值情况，画出函数图象，借助图象得到函数的最值.

跟踪演练2(1)(2021•重庆联考)函数/)=x+2COSX在［0,句上的最大值为()

π

A.π-2B%

C.2D.∣+√3

答案D

解析由题意得，f(x)=l-2sinX,

当OwSinx≤^,即X在［θ,袭］和愕,兀］上时,f'(x)5=0,/)单调递增;

当/<sinxWl,即X在电，周上时，f'(x)<0,火x)单调递减；

；孙)有极大值/(*)=*+小，有极小值/管)=知一小，而端点值的)=2,则)=兀一2,则

尼)/°)>加>/传)，

・,&)在［0,兀］上的最大值为看+5.

(2)(2021•芜湖模拟)已知关于尤的不等式x3—0r221nx恒成立，则实数。的取值范围为()

A.(一8,1］B.(0,1］

c∙(0-iD.(-∞,0]

答案A

解析因为不等式炉一混》InX恒成立，

所以不等式aWx一华在(0,+8)上恒成立,

,InXr,,Λ3-^1÷21nx

令g(x)=χ--p-,则g'(X)=----P----,

,、2

令A(X)=X3-1+21nX,则∕ι'(x)=3x2÷~>0,

所以∕7(x)在(0,+8)上单调递增，又力(I)=0,

所以当Oa<1时，A(X)<0,即g'(x)<0,

当Ql时，Λ(x)>O,即g'(x)>0,

所以当X=I时，g(x)取得最小值g(l)=l,所以αWl.

考点三导数的简单应用

I核心提炼】

构造函数解方程、不等式的解题策略

观察题设，化简变形所给的条件，构造函数使化简变形后的代数式为所构造新函数的函数值,

再利用新函数的单调性解方程或不等式.

例3(1)(2021・威海模拟)若关于X的方程Inx—oT=X2在(0,+8)上有两个不等的实数根，

则实数0的取值范围为()

A.(―∞,—I]B.(—8,—1)

C.[-1,+∞)D.(-1,+∞)

答案B

解析因为InX-αx=x2,所以X,

设兀V)=乎一X，

2

rl.cl-∣nxl-lnχ-χ

则/----P—；

设g(x)=1—∣nχ-χ2,x>0,

贝∣Jg'(X)=--^-2Λ<0,

所以g(x)=1—Inx—%2在(0,+8)上单调递减，g(i)=o.

故当x∈(O,l)时，g(x)>O,即(x)>0;

当x∈(l,+8)时，g(χ)<0,即/(χ)<0.

故Tu)=I1v∏r'一X在(0,1)上单调递增，在(I,+8)上单调递减.

Λχ)≡χ=J(I)=-1,

且X-O时，/U)f—8;χf+8时，"χ)f-8,

y=α与大X)=乎一X的图象有两个交点，

则〃的取值范围为(-8,-1).

(2)(2021•包头检测)若「劝+枭-1)2=屋。+看23-1)2,则()

A.a>2hB.a=2h

C.a<2bD.a>b2

答案B

解析设Xx)=∣(χ-1)2—ev,

Qx--ɪ

则，(X)=X—l+eT设g(x)=χ-l+e「,则g，(χ)=l-e-∙t=--τ-,

g，(x)>0nx>0≠∕(X)在(0,+8)上单调递增；

g'(x)<O=x<O可'(X)在(-8,0)上单调递减，

所以/(x)min=/(0)=0,即/'(X)NO恒成立，

又因为犬X)=/χ-l)2-e=不是常函数，

所以负X)=T(X—1)2—er在(-8,+8)上单调递增，

屋2〃+3(°—l)2=e-"+；(2b—1)2化为/a—1)2一屋"=3(2匕-Ip—e-2fe,

即人")=Λ2b)n4=2A

易错提醒(1)分离参数时，等式或不等式两边符号变化、以及除数能否等于0,易忽视.

⑵作图时，端点值的变化趋势易忽视.

跟踪演练3(2021•晋中模拟)若存在实数X,y满足InX—x+32e∙v+eT则x+y等于()

A.-1B.OC.1D.e

答案C

解析令函数J(X)=In%—x+3,

11-X

可付zet/f(χ)=--l=-

当x∈(O,l)时，f'(Λ)>0,式力单调递增;

当x∈(l,+8)时，f'(x)<0,火x)单调递减，

所以当X=I时，可得兀v)maχ=7U)=ln1—1+3=2,

令函数g(y)=e''+e"

则e>'+eF>2,当且仅当y=0时取等号，

又由Inχ-x+3≥ev÷ej,

所以Inχ-x÷3=ey+eɔ-2,

所以x=l,y=0,所以x+y=l.

专题强化练

一、单项选择题

/+2X

1.若函数负幻=—的极大值点与极小值点分别为小b,则〃十%等于（）

A.-4B.√2

C.0D.2

答案C

2—ɪ2

解析/（幻=一^，当一啦＜χv啦时，f,（x）＞0;

当XV一啦或XT5时，f,（X）＜0.

T2+2X

故兀0=一≠^的极大值点与极小值点分别为陋，-√2,

则α=啦，b=-y∣2,所以α+∕＞=0.

2.已知函数./U）的定义域为R,其导函数为，（X）,，（X）的部分图象如图所示，则（）

A.段）在区间（0,1）上单调递减

B../U）的一个单调递增区间为（一1,1）

c.TU）的一个极大值为人一I）

D.危）的最大值为人1）

答案B

解析由/（X）的部分图象可得，

在上，/（x）＞0,所以y（x）单调递增，所以A不正确，B正确；

由，（-1）=0，导函数在X=-I左右两侧的函数值异号，所以/（一1）是火χ）的-•个极小值，

所以C不正确；

同理可知火I）是y（x）的一个极大值，并不一定是最大值，所以D不正确.

3.（2021•南昌检测）已知函数/）=2InX+αx2-3x在x=2处取得极小值，则兀V）在［；,31上的

最大值为（）

A.B.21n3-∣C.-1D.21n2-4

答案B

解析∙.√(x)=2InX+加―3x,

2

则/(x)=f+2办-3,

由题意可得，(2)=4α-2=0,解得a=；,

则∕x)=21nX÷5∙V2-^3X,

2,X2~3X+2

(X)=力―3=---

令/'(x)=0,可得X=I或x=2.当X变化时，fU),/(x)的变化情况如表所示.

X性1)1(1,2)2(2,3]

--

f'(X)+0—0+

式X)7极大值极小值Z

，函数段)的极大值为式1)=一|,极小值为/(2)=21n2-4,

∏9

-

X,,/82

o5

Λ3)-∕O=21n3-2÷2=21n3-2=2(ln3-1)>0,则川)<√(3),

9

∙g)max=/(3)=21n3—2∙

4.(2021•蚌埠模拟)已知函数y(x)=e，-αsinx在区间(0,§上有极值，则实数”的取值范围是

()

A.(0,1)B.(1,e)

π

C.(l,2e)D.(l,2e“

答案D

解析f'(x)=el-acosx,由题意知e,—“CoSX=O在(0,穿上有解，即α=盛在上

有解，

eʌ(eosx+sinx)

记g(x)=，则g'(X)=

COSXCOS2Λ

当X∈(O,号时，g'(χ)>0,g(x)单调递增,

g(O)=l,U=-^=2标，

cos—

3

π

所以l<α<2eɪ.

5.函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的高等数学与数学分析教材中，对

“初等函数”给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次

的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的，如函数式x)=x'(x>0),我们可以作变形：危)

=Xr=e=e*Mχ=e"=χlnx),所以Kt)可看作是由函数y(f)=d和g(x)=x1nx复合而成的，

ɪ

f

即TW=X(QO)为初等函数.根据以上材料，对于初等函数6(X)=X&x>0),Z1(X)的极值点为

()

A.(e,0)B.(1,0)C.eD.1

答案C

1,ɪIhA.

解析根据材料知林V)=X*=e∣nx=e',

所以(x)=e3n*｛LlnX｝=eJ*｛--+斗)

1LnX

=—ex(I-Inx),

X

令h'(x)=0,得尤=e.

当04<e时，hf(x)>0,此时函数∕z(x)单调递增；

当x>e时，h,(x)<0,此时函数A(x)单调递减，

ɪ

所以做工)有极大值且为∕z(e)=ee,无极小值.

6.(2021・绍兴模拟)函数段)=犬+2Sinx(x>0)的所有极小值点从小到大排列成数列｛斯｝,设Sn

是｛〃“｝的前〃项和，则SinS2021等于()

A.1B卷C.0D.—2

答案B

解析f,(x)=l+2cosx(x>0),f(x)是周期为2兀的周期函数，

令/(ɪ)=1÷2cosx=0,得COSX=­］,

在区间(0,2用上，由CoSX=-3，解得X="或X=号,

4兀

画出/(X)在(0,2n］上的图象如图所示，由图可知7U)在区间(0,2兀］上的极小值点为X=9.

所以｛斯｝是首项为0=专，公差为2π的等差数列,

”,4π2021X2020(,πλ2021π

所以S2021=2021Xy+-------〜--------×2π=2021*(兀+于+2021×2020π=2021π+—ʒ—

+2021×2020π=20212π+673π+y,

所以sinS202ι=sin（202/兀+673π+号）=sin,=坐.

二、多项选择题

7.（2021•湛江模拟）已知函数4r）=x3-31nχ-l,则（）

A.段）的极大值为O

B.曲线＞=/5）在（1,.穴1））处的切线为X轴

C.兀V）的最小值为O

D.yu）在定义域内单调

答案BC

解析∕x)=x3-31nχ-1的定义域为(O,+o°),/(x)=3x2-3=:(χ3-i),

33

令/。）=3/一工=最（r一I）=0，得X=1,

当X变化时，ra）,yu）的变化情况如表所示.

X(0,1)1(1,+∞)

fω—0+

-

於）单调递减0单调递增

所以兀V）的极小值，也是最小值为犬I）=0,无极大值，在定义域内不单调，故C正确，A,D

错误；

对于B,由11）=0及，（1）=0,所以y=∕（x）在（1,犬1））处的切线方程为y—0=O（X-1）,即y

=0,故B正确.

8.已知函数√（x）=e"（e是自然对数的底数），g（x）=f的图象在（0,16］上有两个交点，则实数4

的值可能是（）

In2

答案AB

解析由函数y(x)=eajt,g(x)=x2的图象在(0,16］上有两个交点,

可转化为方程eat=x2在(0』6］上有两个不等的实数根，

即方程“x=2Inx在(0,16］上有两个不等实根，

即方程Ta=牛在(0,16］上有两个不等实根.

InX„.,ITnx

设∕ι(x)=q-,x∈(0,16］,则∕z(X)=-J-,

当O<x<e时，〃(X)>0,/J(X)单调递增;

当e<xW16时，h'(x)<0,〃(x)单调递减，

所以A(x)≤⅛(e)≈∣,

又由∕J(16)=皆，且当Xfo"时，Λ(x)—-∞,

故可由此作出∕z(x)的大致图象，如图所示，则由图象可知殍解得竽Wα<∣,结合

选项可知A,B符合题意.

三、填空题

9.写出一个存在极值的奇函数兀0=.

答案Sinx(答案不唯一)

解析正弦函数KX)=SinX为奇函数，且存在极值.

10.已知函数段)=f+αlnx的图象在(1,川))处的切线经过坐标原点，则函数y=∕(x)的最小

值为.

答案∣+∣ln2

解析函数y(x)=x2+αlnx,则式1)=P+Hn1=1,

且/'(x)=2x+*所以，(l)=2+α,

所以，(1)=窄茅=1=2+。，解得。=-1,

所以∕x)=x2-InX(X>0),

f(X)=Ir-匕

令/(x)20,即2χ->0,解得

令，(x)<O,即Zc-%O,解得

所以函数兀O在区间［，乎)上单调递减，在区间［乎，+8)上单调递增.

所以y(x)min=/停)=G^}τn∙^=∣-In∙^=∣+∣ln2.

11.(2021・南宁模拟)函数式X)=X3+尔+公+/在X=I处取得极值］0,则〃+/>=

答案一7

解析由题意知，函数yU)=Λ3+αr2+法+〃2,可得，(χ)=3f+20r+A,

因为7U)在工=1处取得极值10,

J/(1)=3+2.+/,=0,

［ʌl)=1+α+⅛+<22=10,

。=4,a——3,

解得,或

⅛f=-llb=3,

检脸知，当α=-3,6=3时，可得/(X)=3X2-6X+3=3(X-1)220,

此时函数4X)单调递增，函数无极值点，不符合题意，舍去；

当α=4,b=-ll时，可得/，(X)=3X2+8X-∏=(3X+11)(X-1),

当x<一日■或X>1时，f'(x)>0,/)单调递增;

当一号<Λ∙<1时，f'(x)<0,«¥)单调递减,

当x=ι时，函数y(x)取得极小值，符合题意.

所以α+∕j=-7.

Inχ9x21,

12.已知函数yu)={1

ι若X2>X↑且於1)=加2)，则Xi-X2的最大值是

1(x+5),x<],

答案31n3-8

InX,x≥l,

解析因为/U)=jιι作出函数/U)的图象如图所示:

β(x+5),x<∖9

设兀卬=於2)=九则0Wr<2,

由/U∣)=∕xι+5)=i,可得加=31—5,

由fixι)=InX2=?,可得Λ⅛=e'.

令g(r)=x∣-X2=3f—e'—5,其中0Wf<2,g'(f)=3—e'=0,可得f=ln3.

当OWyIn3时，g'(∕)>0,此时函数g(f