2023高考数学复习练40　洛必达法则

微专题40洛必达法则

5知识拓展

洛必达法则

⑴盟

若函数7U)和g(x)满足下列条件：

①IiEI於)=0及1叫g(χ)=0;

②在点a的某去心邻域内，y(x)与g(x)可导且g，(X)W0；

f()_∣∙f∣fCx)

③ι∙四标Xh=4那么y［1⅛K(X)=四∙标L=A

OO

⑵口型

若函数/U)和g(χ)满足下列条件：

①1ipι∕(x)=8及1i?1g(x)=∞；

②在点a的某去心邻域内，√U)与g(x)可导且g，(X)W0;

③「J"im⅛/T(%h)=4那Rrr么/ΓU⅛/E(%)=⅛I-⅛fF(X=)A

注意：高中阶段能使用洛必达法则的题目一般都能使用分类讨论，但分类讨论难

度较大，所以可采用分参求最值的方式，一般大题中对使用洛必达法则的赋分可

能因标准不同而不同.

题型聚焦分类突破研题型求突破

I核心归纳

近些年高考函数与导数经常考查利用不等式恒成立求参数范围，此类问题主要采

用分类讨论求最值和参变分离求最值，由于含参讨论比较困难，因此学生更多选

择参变分离来处理.但有时分离后的函数的最值会在无意义点处或者趋近于无穷

大，此时利用洛必达法则可达到事半功倍的效果.

例I已知函数/U)=岩"十%如果当χ>o且XWl时，yu)>罟+§,求A的取值

范围.

解法一(参变量分离、洛必达法则)

InYk

当Λ>0且X≠l时，f(x)>-----r+~,

χ-lX

ttrtInX,1∖nxtk

x+1XX—1X

l,xlnX,‹xlnx2x∖nx,.

⅛gp^+l--=7≡7+l,

L2xlnx-,

t己乃(z尢)=[f+，χ>o且XW1,

2(x2+l)lnx+2(1-Λ2)2(√+l)(,∖-χ2}

则r11g3=--------------ΓΓ=7P-----------=F=THInHR7)

1一%2

记/?(%)=In7+T,

ɪ—4χ(1—)2

则"(X)=L(1+f)2=χ(l+02>0,

从而〃(犬)在(0,+8)上单调递增，

且∕ι(l)=0,

因此当x∈(0,1)时,h(x)<O,当x∈(l,+8)时，ft(x)>0,

故当x∈(0,1)时，g'(x)<O,当x∈(l,+∞)0t,g'(x)>O,

所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增.

Iim/、_Iimpxinxɔ

由洛必达法则有ZfIg(X)—工—fJ

_HT112Λ-lnΛIi∏i21nA÷2

T十χ-lΓ≡√-1+LI-2X一°，

即当Xfl时，g(x)f0,

即当x>0且XWl时，g(x)>O.

因为Z<g(x)恒成立，所以ZWO.

综上所述，Z的取值范围为(-8,0].

法二(分类讨论、反证法)

由於尸节+下

侍F/U)—“仁nX+IQj

1Γ,(k—1)(Λ2-1)

12∣21nx+-----------------------

1-JTLɪ

(k—1)(Λ2-1)

令h(x)=2lnx-i

x(Λ>0),

Qk—1)(/+I)+2x

则h,(x)=

①当⅛≤O时,

k(ɪ2+1)—(X—1)2

由h'(x)=X2一知,

当XWl时，∕z,(x)<O.

因为Λ(1)=O,

所以当x∈(0,1)时,⅛(x)>0,

可得］」ʌʃ力(X)>0;

当x∈(l,+8)时，⅛(χ)<0,

可得］J,F)(X)>0,

‘InX+?

从而当且时，式）一

x>Ox≠lX.x—1七

InXlk

即/

U)>∙χ-1X

②当O<A<1时，由于g(©=(Z—1)Q2+D+2Λ=(A-l)f+2x+左-1的图象开口向

下，

且/=4—4(Z-l)2>0,

对称轴X=T⅛7>1,g(l)=2fc>0,

1K

所以当χ∈(l,告)时，

(*-1)(Λ2+1)+2Λ>0,

故I(X)>0,而Zz(I)=O,

故当χe［i’±)时，O(X)>0，

可得ILv2∙%(x)<0,与题设矛盾.

③当IcE时，h'(x)>O,而A(I)=O,

故当x∈(l,+8)时,h(x)>0,

可得]1χ2∙∕?(X)<0,与题设矛盾.

综上可得，攵的取值范围为(-8,0].

P-Eγ—1e-2

例2设函数TU)=H•(常数α∈R),在X=O处取得极小值，g(x)=v-+^Γ^(e

XIciInʌN

为自然对数的底数).

(1)求人无)在(1,y∏))处的切线方程；

(2)求证:对VXW(L÷o°),yU)>g(x).

._eλ(X+〃)-e”(X+。一］)

⑴解/(X)=(")2

(X+α)2

由题意/(0)=g=0,

e"xe"ce

.∙.α=ι,/(X)=(χ+D2,TO)=］，/(i)=W'

.∙√U)在(1,,1))处的切线方程为

y-f=⅜χ-i).即尸*+1).

⑵证明令∕z(x)=*7—永x+l),%>1,

xeve(Λ2+1)ev

“3=(x+1)2一不h"(χ)=(χ+ι)3>0,

所以勿(X)在(1,+8)上单调递增，h'(x)>h'(l)=O,

所以〃(九)在(1,+8)上单调递增，Λ(χ)>Λ(l)=O,

故胃T*x+D∙

e尤—1e—2

再令"X)=WaX£(1,+8),

InX+1一1

eX

，⑴=厂(InX)2

e(In%)2—4(lnx+；-1)

4(Inx)2,

令〃z(x)=e(lnx)2-4(InX+:一1),x∈(l,+∞),

I(Il)2e%lnχ-4x÷4

则rtl加(X)=2elnx4∣J-W=--------ʒ----------

令〃(X)=2exlnχ-4x+4,x∈(l,÷∞),

贝(]∕ι,(Λ)=2e(lnx+1)—4=2elnx+2e-4>0,

则〃(X)在(1,+8)上单调递增，"(χ)>"(l)=O,

Λm,(x)>0,则Zn(X)在(1,+8)上单调递增，机(X)>m(1)=0.

Λf(x)>O,则f(x)在(1,+8)上单调递增，

∙L(1)不存在，由洛必达法则，得

IirnXIim(Ll)Iiml=

LlInX一工-1(InX)，一/_1[一，

X

Λz(l)-*∙O,β.∙z(x)>r(1),Λr(x)>O,

py—1p—ɔ

.∙q(x+l)>~^y+2•

综上，对Vx∈(l,+∞),fix)>g(x).

X

训练1设函数«X)=1—eX,当x20时，yU)W.r+],求α的取值范围.

解(1)若X=O,α∈R;

1Y

⑵若尤>0,当QVo时，若%>一>则丁7<0,

ciax+1

Y

Aχ)≤—工T不成立.

Jax+∖

X

当时，由yu)W广,

/日IXeA-e"+l

传二一

QWX—(e—1rτ)^,

XeX—e'+1

设g(χ)=77?F(Q°)，

e2”一χ2e"-2e"+1

则g'(x)=

x2Cex-1)2

令/?(x)=e2x—x2ex—2ex+1,

则h∖x)=2elx-2xe-χ1ex-2e=ex(2e-2χ-χ1-2).

再令m(x)=2ex-2χ-X2—2,

则mf(x)=2eA—2—2x=2(eλ—χ-1),

易得当x>0时，Wa)>0,即"2(x)在(0,+8)上单调递增,

.∙.m(x)>"?(O)=O,

.∙.A,(x)>O,即〃(X)在(O,+8)上单调递增,

ΛA(x)>A(O)=O,

/.g,(x)>O,即g(x)在(0,+8)上单调递增,

连续两次使用洛必达法则，得

limzrx=Iim__=Iirn=1

Ifogl'ZfOXe*+e'—1Z^*0jce*+2e*2'

故g(x)>T(x>O)∙

1Y

故当<外工20时，1—erW=γ恒成立，

2ax-r1

综上，α的取值范围是0,ɪ.

训练2若不等式SinX>x—0x3对于XW(0,罗恒成立，求α的取值范围.

解当χ∈(θ,§时，原不等式等价于0>匚泻，

J%-sinx

记∕ω=F-，

-3sinχ-χcosχ-2x

则/㈤=------^4------------，

iEg(%)=3sinχ-χcosx—2x,

贝IJg'(x)=2cosx+xsinχ-2,

∙.∙g"(x)=_2sinx+sinx+xcosX=XCOSx-sinx9

g(x)=-xsinx<0,

且g"(χ)Vg"(0)=0,

所以g%x)在(0,9上单调递减，且g<x)<g<O)=O.

(兀、P(X)

因此g(x)在(0,于上单调递减，且gα)Vg,(O)=0,故/(尤)=\—VO,

因此外)=匚詈在(0,上单调递减，

由洛必达法则有:

χ-smXIjI-COSX]∖sinxlɪnɪeosʃ1

物∕ω=Iimmnι

x-*0V=Zfo3X2-二-*06x66,

即当XfO时，KX)七,即有y(χ)<∣,

故当时，不等式Sin尤，无一以3对于Xe(0,&恒成立.

高分训练对接高考重落实迎高考

一、基本技能练

1.已知函数.*X)=e*—l—x—公2,当Xeo时，恒成立，求实数α的取值

范围.

解当X=O时，yu)=o,对任意实数。都有人幻》0；

e'—1—X

当x>0时，由/U)No得，α≤—p—,

e'-1—X

设g(x)=_M-(x>0),

JCeX-2e*+x+2

则r11g。)=-----p--------，

令Λ(x)=xev-2ev+x+2(x>0),

则h∖x)=xex-ex+1,

记(P(X)=h'(x),则8%X)=XeX>0,

・•・勿(%)在(0,+8)上为增函数,且当X-O时，"(X)-O,ΛAr(x)>O,

.∙.∕z(x)在(0,+8)上为增函数,且当九fO时，∕z(x)-O,Λh(x)>O9

.∙.g'(x)>O,g(x)在(0,+8)上为增函数.

e"—X*—1pʌ—1pʃ1

m

由洛必达法则知Ii-----2----=Ii-m万一=IinTy=5，

χ~*oXrχ*oILX1->OL2

故g(x)>；,故tz≤∣.

综上，实数α的取值范围是(一8,ɪ.

2.已知函数.*X)=MeJC—1)一加.当XNO时，/(x)N0,求实数4的取值范围.

解当x≥0时，∕x)≥0,即x(et-l)-α√^0.

①当X=O时，α∈R;

已”—1

②当x>0时，尢(ev-1)—ox22。等价于e'—1》以，也即αW—：-

记g(x)=tl,x∈(0,+∞),

√v

.(χ-1)ev÷1

则rlg'(χ)=p•

记〃(元)=。-l)e"+l,x∈(0,÷o°),

则厅(X)=JCCΛ>O,

因此∕z(x)在(0,+8)上单调递增，

且∕z(x)>A(O)=O,

h(X)

所以g'(χ)=—J->0，

er—1

从而g(x)=1—在(0,+8)上单调递增.

ʌ

由洛必达法则有

HmO()=Iim^-----=liniγ=\,

工-08Λ/HfoXj→01

即当XfO时,g(x)→1,

所以g(x)>l,即有&Wl.

综上所述，实数α的取值范围是(-8,1].

3.已知函数/(x)=(x+l)ln(x+l).若对任意x>0都有"r)>αr成立，求实数α的

取值范围.

解法一令9(x)=y(x)-αx=(X+1)In(X+l)-tu(x>0),

则⅞7,(x)=ln(x÷1)÷1—a,

VΛ->0,

Λln(x+l)>0.

⑴当1—“20,即αWl时，”(x)〉0,

，夕(X)在(0,+8)上单调递增，

又w(0)=0,

.∙.S(x)>0恒成立,故。这1满足题意.

(2)当1—α<0,即a>∖时，

令9'(X)=0,得尤=e。l-1,

Λ%∈(0,尸—1)时，"(x)<0;

x∈(et,^l-l,+8)时，“(九)>0,

.∙.g(x)在(0,1一1一1)上单调递减，

在(e"T—1,+8)上单调递增，

.∙.8(x)min=s(e"i—l)<s(0)=0与s(x)>0恒成立矛盾，故α>l不满足题意.

综上，实数”的取值范围是(一8,1].

法二x∈(0,十8)时，(X+1)In(X+l)>αx恒成立，

(%÷1)In(x÷1)

即α<恒成立.

X

人(X+1)In(X+1)

令g(x)=---------------------------(A->0),

%-ln(X+1)

∙∙∙g'(χ)=

令k(x)=χ-ln(x÷1)(x>0),

.∙."(x)=ι-干=^ψ7>0'

.∙.Z(x)在(0,+8)上单调递增,

.,.A(x)>⅛(O)=O,

当x>0时,X—In(X+1)>0怛成立,

.∙.g'(x)>0,故g(x)在(0,+8)上单调递增，由洛必达法则知

IimL(x+l)

l⅛(χ)==Hm[ln(x+l)+l]=l,Λg(x)>l,/.α≤l,

X

故实数α的取值范围是(-8,i].

二、创新拓展练

4.已知函数兀X)=X2Inχ-α(%2一l),α∈R.若当时，/(x)20恒成立，求实数

a的取值范围.

解法一由"x)=flnX—1)20,

当x=l时，不等式成立,

W-LjX2InX

⅛%>1时，6Z≤-一^,

V—