正余弦定理的应用举例

正余弦定理的应用举例

正、余弦定理的应用举例

知识梳理

一、解斜三角形应用题的一般步骤：

分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图

建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型

求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解

检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解

二．测量的主要内容是求角和距离，教学中要注意让学生分清仰角、俯角、张角、视角和方位角及坡度、经纬度等概念，将实际问题转化为解三角形问题.

三．解决有关测量、航海等问题时，首先要搞清题中有关术语的准确含义，再用数学语言表示已知条件、未知条件及其关系，最后用正弦定理、余弦定理予以解决.

典例剖析

题型一距离问题

例1.如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？

解：如图，连结，由已知，

又，是等边三角形，

由已知，，，

在中，由余弦定理，．．

因此，乙船的速度的大小为．答：乙船每小时航行海里．

题型二高度问题

例2、在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30，至点c处测得顶端A的仰角为2，再继续前进10至D点，测得顶端A的仰角为4，求的大小和建筑物AE的高。

解法一：由已知可得在AcD中，

Ac=Bc=30，AD=Dc=10，ADc=180-4，

=。sin4=2sin2cos2

cos2=,得2=30=15，在RtADE中，AE=ADsin60=15

答：所求角为15，建筑物高度为15

解法二：设DE=x，AE=h

在RtAcE中,+h=30在RtADE中,x+h=

两式相减，得x=5,h=15在RtAcE中,tan2==

=30,=15

答：所求角为15，建筑物高度为15

解法三：设建筑物高为AE=x，由题意，得

BAc=，cAD=2，Ac=Bc=30,AD=cD=10

在RtAcE中，sin2=------①在RtADE中，sin4=,----②

②①得cos2=,2=30,=15，AE=ADsin60=15

答：所求角为15，建筑物高度为15

评析：根据题意正确画出图形是解题的关键，同时要把题意中的数据在图形中体现出来。

备选题角度问题

例3．如图1-3-2，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在处获悉后，测出该渔轮在方位角为，距离为的处，并测得渔轮正沿方位角为的方向，以的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以的速度前去营救.求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间.

解：设舰艇收到信号后在处靠拢渔轮，则，，又，.

由余弦定理，得

即

化简，得

解得.

由正弦定理，得

所以，方位角为.

答舰艇应沿着方向角的方向航行，经过就可靠近渔轮.

评析：本例是正弦定理、余弦定理在航海问题中的综合应用.解本题的关键是根据实际，找出等量关系，在画示意图时，要注意方向角的画法。

点击双基

一.选择题：

．在△ABc中，下列各式正确的是

A.ab＝sinBsinAB.asinc＝csinB

c.asin＝csinAD.c2＝a2＋b2－2abcos

解：根据正弦定理得,又sinc=sin,asin＝csinA

答案：c

．海上有A、B两个小岛相距10nile，从A岛望B岛和c岛成60°的视角，从B岛望A岛和c岛成75°角的视角，则B、c间的距离是

A.52nileB.103nilec.1036nileD.56nile

解：根据题意知：AB=10，A=60°,B=75°则c=45°,

a===56

答案：D

．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为

A.米B.米c.200米D.200米

解：如图，设塔高AB为h，

Rt△cDB中，cD＝200，∠BcD＝90°-60°＝30°

在△ABc中，∠ABc＝∠BcD＝30°，∠AcB＝60°-30°＝30°

∴∠BAc＝120°

∴

∴

答案：A

．某人以时速a向东行走，此时正刮着时速a的南风，那么此人感到的风向为，风速为.

答案：东南2a

．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行30nile后看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是.

解：103

课后作业

．已知三角形的三边长分别为a、b、a2＋ab＋b2，则这个三角形的最大角是

A.135°B.120°c.60°D.90°

解：根据三角形中大边对大角，可知a2＋ab＋b2所对的角为最大角，设为，则

cos==-,120°

答案：B

．如下图，为了测量隧道AB的长度，给定下列四组数据，测量应当用数据

A.、a、bB.、β、a

c.a、b、γD.α、β、γ

解：根据正弦定理和余弦定理知，测量a、b、γ，利用余弦定理

可求AB的长度。

答案：c

海上有A、B、c三个小岛，已知A、B之间相距8nile，A、c之间相距5nile，在A岛测得B岛和c岛的视角为60°，则B岛与c岛相距的nile数为

A.7B.6c.5D.4

解：根据题意知：AB=8，Ac=5,∠A=60°,根据余弦定理有Bc=8=49，Bc=7

答案：A

．在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30至点c处测得顶端A的仰角为2，再继续前进10至D点，测得顶端A的仰角为4，则等于

A．15°B．10°

c．5°D．20°

解：如图，Bc＝cA，cD＝DA，

设AE＝h，则

∴2cos2＝，∴cos2＝

∴2＝30°，∴＝15°．

答案：A

某人朝正东方向走x后，向左转150°，然后朝新方向走3，结果他离出发点正好是，那么x的值为

A.B.2c.2或D.3

解：如图，设出发点为A，则由已知可得

AB＝x千米，Bc＝3千米

∠ABc＝180°-150°＝30°

Ac＝，∴，

∴，

∴∠cAB＝60°或∠cAB＝120°

当∠cAB＝60°时，∠AcB＝180°-30°-60°＝90°

x＝2千米

当∠cAB＝120°，∠AcB＝180°-120°-30°＝30°

∴x＝Ac＝千米

答案：c

已知一塔高80，分别在塔底和塔顶测得一山的山顶的仰角分别是60°和30°，则山高为

A.240B.180c.140D.120

解：D

如图,建造一幢宽为,房顶横截面为等腰三角形的住房,则∠ABc=,则等于时,可使雨水从房顶最快流下.

A.300B.450c.600D.任意角

解：根据题意知s=AB=，加速度a=gsin.

由s=得t=,=45时t最小

答案：B

一艘船以4/h的速度沿着与水流方向成120的方向航行,已知河水流速为2/h,则经过,该船的实际航程为

A.B.c.D.

解：船的实际速度是v==2,则经过,该船的实际航程为2=6

答案：B

二．填空题

．一蜘蛛沿东北方向爬行xc捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10c捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，那么x＝________．

解：如图，

∠ABc＝180°-105°＝75°

∠BcA＝180°-135°＝45°，

Bc＝10c

∴∠A＝180°-75°-45°＝60°

∴

0．坡度为45°的斜坡长为100，现在要把坡度改为30°，则坡底要伸长________．

解：如图，DB＝100

∠BDA＝45°，∠BcA＝30°

设cD＝x

∴•tan30°＝DA•tan45°

又DA＝BD•cos45°＝100×

∴x＝-DA

＝50

＝50

答案：50

1．如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在

同一水平面内的两个测点与．测得∠BcD＝15°，

∠BDc＝30°，cD＝30米，并在点测得塔顶的

仰角为60°,则Bc=米,塔高AB=米。

解：在，，

∵

∴

在中，

∴

答案：，

三．解答题

如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里c处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援？

解：连接Bc,由余弦定理得Bc2=202+102－2×20×10cos120°=700.

于是,Bc=10。∵，∴sin∠AcB=，

∵∠AcB<90°，∴∠AcB=41°。

∴乙船应朝北偏东41°方向沿直线前往B处救援。

3．如图，某海岛上一观察哨在上午时测得一轮船在海岛北偏东的处，时分测得轮船在海岛北偏西的处，时分轮船到达海岛正西方的港口.如果轮船始终匀速前进，求船速.

解：设，船的速度为，则，.

在中，，.

在中，，

在中，，

船的速度.

如图，A,B,c,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座