2023-2024学年柳州市重点中学数学八年级第一学期期末达标测试试题(含解析)

2023-2024学年柳州市重点中学数学八年级第一学期期末达标

测试试题

测试试题

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷

及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔

在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题（每小题3分,共30分）

1.某商场对上周末某品牌运动服的销售情况进行了统计，如下表所示:

颜色黄色绿色白色紫色红色

数量（件）12015023075430

经理决定本周进货时多进一些红色的，可用来解释这一现象的统计知识是（）

A.平均数B.中位数C.众数D.平均数与中位

数

II122

2.关于X的方程x+-=α+—的两个解为％=",Λ⅛=—；%+—=。+—的两个解为

Xa

2333

x1=tz,x2="；x+—=。+—的两个解为％=。,工2=一，则关于X的方程

x+-----=α+的两个解为（

x-1

IO

x1=a,x2x1=a,x2=

xi=a,x2=xi=a,x2=

3.如图，将正方形A5C0的一角折叠，折痕为AE,点B落在点B'处,NBZAD比

Nfi4E大48。,设NS4E和ZBfAD的度数分别为尢。和V。，那么X和满足的方程组

是（）

y-x=48y-x=48x-y=4S∖y-x=48

B.ŋ[y+2x=90

y+x=90y=2xy+2x=9Q

4.如图，NMON=60。，且OA平分NMoN,P是射线OA上的一个点，且OP=4,若Q

是射线OM上的一个动点，则PQ的最小值为（）.

A.1B.2C.3D.4

5.甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间

与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做X个零件，下列方程正确的是（）

120150120150120150120150

A.--------------B.--------------C.--------------D.一=----

Xx-Sx÷8Xx-SXXx+8

6.若代数式K万在实数范围内有意义，则X的取值范围是（)

A.x<lB.x<lC.x>lD.x>l

7.用反证法证明“加为正数”时，应先假设（）.

A.为负数B.加为整数C.加为负数或零D.加为非负数

8.某射击小组有20人，教练根据他们某次射击命中环数的数据绘制成如图的统计图,

则这组数据的众数和极差分别是（）

D.7、5

9.如图，在aABC中，A8=AC,N84C=45。，BDLAC,垂足为。点，AE平分NR4C,

交BD于点F交BC于点E,点G为48的中点，连接OG,交AE于点”，下列结论

A.AH=IDFB.HE=BEC.AF=ICED.DH=DF

10.在实数范围内，下列多项式：（I）V-9；（2）/一6；（3）/一3；划（*+1）2-（x-l）2，

其中能用平方差公式进行分解因式的个数为()

A.1B.2C.3D.4

二、填空题(每小题3分,共24分)

11.如图，以平行四边形ABCD的边CD为斜边向内作等腰直角ACDE,使

AD=DE=CE,ZDEC=90o,且点E在平行四边形内部,连接AE、BE,则NAEB的度数是

()

13.计算：(-2)0∙2^3=,(8β6⅛3)2÷(-2a2⅛)=.

14.甲.乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价10%,乙商品提

价40%,调价后两种商品的单价和比原来的单价和提高了20%.若设甲.乙两种商品原

来的单价分别为X元∙y元，则可列方程组为;

15.分解因式：(χ2+4)2-16x2=.

16.若/〃一〃=一1,贝!∣(m-")-“的值为.

17.如图，等腰三角形A8C的底边BC长为6,面积是18,腰AC的垂直平分线E尸分

别交AC,A5于E,尸点，若点。为BC边的中点，点M为线段E尸上一动点，贝IJAC。M

的周长的最小值为.

18.如图，在AABC中，NA=90°,AB=2√5,AC=√5,以BC为斜边作等腰

Rt∆BCD,连接AD,则线段AD的长为

三、解答题(共66分)

19.(10分)如图，A,B分别为CD,CE的中点，AE_LCD于点A,BDJ_CE于点B.求

ZAEC的度数.

20.（6分）如图，已知在AABC中，CE是外角NACD的平分线，BE是NABC的平

分线.

（1）求证：ZA=2ZE,以下是小明的证明过程，请在括号里填写理由.

证明：TNACD是AABC的一个外角，N2是ABCE的一个外角，（已知）

二NACD=NABC+NA,N2=N1+NE（）

/.ZA=ZACD-ZABC,NE=N2-Nl（等式的性质）

VCE是外角ZACD的平分线，BE是NABC的平分线（已知）

ΛZACD=2Z2,ZABC=IZK）

二ZA=2Z2-2/1（）

=2（Z2-Zl）（）

=2NE（等量代换）

（2）如果NA=NABC,求证：CE/7AB.

21.（6分）为厉行节能减排，倡导绿色出行，我市推行“共享单车”公益活动.某公

司在小区分别投放A、8两种不同款型的共享单车，其中A型车的投放量是5型车的投

放量的*倍，8型车的成本单价比A型车高20元，A型、B型单车投放总成本分别为

4

30000元和26400元，求A型共享单车的成本单价是多少元？

22.（8分）已知y是X的一次函数，当X=T时，y=9；当χ=6时，丁=一1,求：

（1）这个一次函数的表达式和自变量X的取值范围

（2）当y=7时，自变量X的值

（3）当y>ι时，自变量X的取值范围.

23.(8分)在综合与实践课上，同学们以“一个含30的直角三角尺和两条平行线”为

背景开展数学活动，如图，已知两直线。为且α/必和直角三角形ABC,∕8C4=90°,

ZBAC=30,ZABC=60■

操作发现：

(1)在如图1中，/1=46,求N2的度数;

(2)如图2,创新小组的同学把直线。向上平移，并把N2的位置改变，发现

N2—Nl=120，说明理由;

实践探究：

(3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将如图中的图形继续变化得到如图，AC

平分Nfi4",此时发现Nl与N2又存在新的数量关系，请直接写出Nl与N2的数量

关系.

24.(8分)如图，已知AB=DC,AC=BD,求证：NB=Nc

25.(10分)如图，在ΔA5C中，45=4,8C=8,AC的垂直平分线交AC于点O,

交BC于点E,CE=3,连接4E.

(1)求证：&$£是直角三角形；

(2)求AACE的面积.

D

B

26.（10分）甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定甲服装按50%

的利润标价，乙服装按40%的利润标价出售.在实际出售时，应顾客要求，两件服装均

按标价9折出售，这样商店共获利157元，求两件服装的成本各是多少元?

参考答案

一、选择题（每小题3分,共30分）

1、C

【分析】商场经理最值得关注的应该是爱买哪种颜色运动装的人数最多，即众数.

【详解】由于销售最多的颜色为红色，且远远多于其他颜色，

所以选择多进红色运动装的主要根据是：众数.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义.反映数据集

中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的

选择和恰当的运用.

2、D

H/7/7

【分析】根据题意可得：X+—=。+—的两个解为X=〃,％=—，然后把所求的方程

Xaa

变形为：*-1+里=。-1+」匕的形式，再根据上述规律求解即可.

X-Ia-∖

/7HH

【详解】解：根据题意，得：尤+—=。+一的两个解为玉=〃,/=一，

Xaa

.方程x+至=4+也即为:IOIO

∙∙X—1+=Q-1+

x-1a-1x≡la-1

.∖x+------=a+----的解为：x-l=α-l或X-I=--------,

x-1a-∖a-∖

a„α+9

解得：xx=a,X,=——

G-I

故选：D.

【点睛】

本题考查了分式方程的解法，解题时要注意给出的例子中的方程与解的规律，还要注意

套用例子中的规律时，要保证所求方程与例子中的方程的形式一致.

3、D

【分析】根据由将正方形ABCD的一角折叠，折痕为AE,NlrAD比NBAE大48°的

等量关系即可列出方程组.

【详解】解：.设NBAE和N34)的度数分别为x°和

y-x=48

由题意可得:

y+2x=90

故答案为D.

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的应用，根据翻折变换的性质以及正方形的四个角都是直角

寻找等量关系是解答本题的关键.

4、B

【分析】根据垂线段最短得出当PQjLOM时，PQ的值最小，然后利用3()。角对应的直

角边等于斜边的一半进一步求解即可.

【详解】当PQLOM时，PQ的值最小，

YOP平分NMON,ZMON=60o

ZAOQ=30o

VPQ±OM,OP=4,

ΛOP=2PQ,

ΛPQ=2,

所以答案为B选项.

【点睛】

本题主要考查了垂线段以及30。角对应的直角边的相关性质，熟练掌握相关概念是解题

关键.

5、D

【分析】首先用X表示甲和乙每小时做的零件个数，再根据甲做120个所用的时间与乙

做150个所用的时间相等即可列出一元一次方程.

【详解】解：：甲每小时做X个零件，•••乙每小时做（x+8）个零件，

V甲做120个所用的时间与乙做15（）个所用的时间相等，J.图=空，

Xx+8

故选D.

【点睛】

本题考查了分式方程的实际应用，熟练掌握是解题的关键.

6,D

【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于X的不等式，求出X的取值范围即可.

【详解】由题意得，χ-l>0,解得XNl.故选D.

【点睛】

本题主要考查二次根式有意义的条件，要使二次根式有意义，其被开方数应为非负数.

7、C

【分析】根据反证法的性质分析，即可得到答案.

【详解】用反证法证明“机为正数”时，应先假设，"为负数或零

故选：C.

【点睛】

本题考查了反证法的知识，解题的关键是熟练掌握反证法的性质，从而完成求解.

8、D

【分析】根据众数的定义找出出现次数最多的数，再根据极差的定义用最大值减去最小

值即可得出答案.

【详解】解：由条形统计图可知7出现的次数最多，则众数是7（环）；

这组数据的最大值是10,最小值是5,则极差是10-5=5；

故选O.

【点睛】

本题考查众数和极差,众数是一组数据中出现次数最多的数;极差是最大值减去最小值.

9,A

【分析】通过证明a4OFg45OC,可得Af=BC=2CE,由等腰直角三角形的性质可

AG=BG,DGLAB,由余角的性质可得NoRl=NA”G=NO//尸，可得OH=OF,

由线段垂直平分线的性质可得A"=可求NE"5=NEBH=45°,可得HE=BE,

即可求解.

【详解】解：*.∙ZBAC=45o,BOJLAC,

ΛZCAB=ZABD=450,

：.AD=BD,

'：AB=AC,AE平分N8AC,

.,.CE=BE=-BC,NCAE=NBAE=22.5°,AE1,BC,

2

ΛZC+ZCAE=90o,且NC+NO8C=9()°,

：.NCAE=NDBC,KAD=BD,NAo尸=NBDC=90°,

Λ∆ADF^∆BDC(AAS)

：.AF=BC=ICE,故选项C不符合题意，

：点G为AB的中点，AD=BD,NAoB=90°,NeAE=NBAE=22.5°,

：.AG=BG,DGLAB,NAFZ)=67.5°

ΛZAΛrG=67.5o,

.∙.ZDFA=NAHG=NDHF,

：.DH=DF,故选项O不符合题意，

连接BH,

•：AG=BG,DGLAB,

：.AH=BH,

：.ZHAB=Z.HBA=22.5°,

；.NEHB=45°,AELBC,

：.NEHB=NEBH=45°,

IHE=BE,

故选项8不符合题意，

故选：A.

【点睛】

本题考查三角形全等的性质与判定,等腰直角三角形的性质,关键在于熟练掌握基本知识

点,灵活运用知识点.

10、D

【分析】根据平方差公式的特点：两项平方项，符号相反；完全平方公式的特点：两项

平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，对各选项分析判断后利用排除法求解.

22

【详解】(D√-9=X-3.所以可以；

(2)X2-6=X2-(√6)2,所以可以；

(3)√-3=√—(囱P,所以可以；

(4)(x+l)2-(x-l)2,所以可以；

综上可得，能用平方差公式进行分解因式的个数有4个.

故选：D.

【点睛】

考查了公式法分解因式，有两项，都能写成完全平方数的形式，并且符号相反，可用平

方差公式分解因式.

二、填空题(每小题3分,共24分)

11,135°

【分析】本题考查的是平行四边形的性质和等腰三角形的性质解决问题即可.

【详解】：四边形ABCD是平行四边形，

ΛAD=BC,AD//BC,

ΛZADC+ZBCD=180o,

V∆CDE是等腰直角三角形，

JNEDC=NECD=45。，

贝!|NADE+NBCE=NADC+NBCD-NEDC・NECD=90。，

VAD=DE,

ΛZDEA=ZDAE=—(180o-ZADE),

2

VCE=AD=BC,

ΛZCEB=ZCBE=ɪ(180o-ZBCE),

ΛZDEA+ZCEB=ɪ(360o-ZADE-ZBCE)=—×270o=135o

22

：・ZAEB=360o-ZDEC-ZDEA-ZCEB=360o-90o-135o=135o

故答案为：135°.

12、3(2a+⅛)(2a-∕›)

【解析】12a2-3⅛2=3(4a2-b2)=3(2a+b)(2a-b);

故答案是：3(2α÷⅛)(2α-⅛)o

13、ɪ一32片方

o

【分析】根据零指数幕、负整数指数塞的意义可计算(-2)°•2-3,根据积的乘方、以及

单项式的除法可计算(8精。37÷(-2a1b').

【详解】(―2)°∙2-3=ιχJ=J,

OO

(δα6⅛3)^÷(-2α2⅛)=64αl2⅛6÷(-2α2Z>)=-32awb5∙

故答案为：：，-32awb5

O

【点睛】

本题考查了零指数塞、负整数指数塞、积的乘方、以及单项式的除法，熟练掌握运算法

则是解答本题的关键.

x+y=100

14V

[(l-10%)%+(l+40%)y=100×(l+20%)

【分析】设甲、乙两种商品原来的单价分别为X元、y元，根据“甲、乙两种商品原来

的单价和为100元”，列出关于X和y的一个二元一次方程，根据“甲商品降价10%,

乙商品提价40%,调价后，两种商品的单价和比原来的单价和提高了20%”，列出关

于X和y的一个二元一次方程，即可得到答案.

【详解】解：设甲、乙两种商品原来的单价分别为X元、y元，

∙.∙甲、乙两种商品原来的单价和为100元，

Λx+y=100,

甲商品降价10%后的单价为：(I-U)%)X,

乙商品提价40%后的单价为：(1+40%)y(

V调价后，两种商品的单价和比原来的单价和提高了20%,

调价后，两种商品的单价为：IoOX(1+20%),

则(1-10%)x+(1+40%)y=100×(1+20%),

X+y=l00

即方程组为：j(l-10%)x+(l+40%)y=100χ(l+20%)

∫Λ+y=100

故答案为j(l-10%)x+(l+40%)y=100χ(l+20%)∙

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确找出等量关系，列出二元一次方程

组是解题的关键.

15>(x+l)I(X-I)

【分析】先利用平方差公式分解，再利用完全平方公式进行二次因式分解.

【详解】解：(x'+4)1-16x'

=(x'+4+4x)(x,+4-4x)

=(x+l)1(x-1)*.

故答案为：(x+l)1(x-l)ɪ.

【点睛】

本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因

式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止，

16、1

【分析】根据题意把(m-n)看作一个整体并直接代入代数式进行计算即可得解.

【详解】解：-〃=-1,

.∙.(m—/2)"—m+n,

=(〃?—1)-—(m—n)

=(-1)l-(-1),

=1+1,

=1.

故答案为：L

【点睛】

本题考查代数式求值，熟练掌握整体思想的利用是解题的关键.

17、1.

【分析】连接AD,AM1由于AABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD_LBC,

再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点

A关于直线EF的对称点为点C,MA=MC,推出MC+DM=MA+DM≥AD,故AD的长

为BM+MD的最小值，由此即可得出结论.

【详解】连接AO,MA.

•.•△ABC是等腰三角形，点。是5C边的中点，

：.ADLBC,

11»

ΛS^ΛBC=-BC∙AD=-×6×AD=1S,解得4。=6,

22

：EF是线段AC的垂直平分线，

点A关于直线EF的对称点为点C,MA=MC,

ΛMC+DM=MA+DM^AD，

：.AD的长为CM+MD的最小值,

.•.△COM的周长最短=<iCM+MD)+CD=AD+-BC=6+-×6=6+3=1.

22

本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，轴对称-最短路线问题.能根据轴

对称的性质得出AM=MC,并由此得出MC+DM=MA+DMNAD是解决此题的关键.

Ia3√iθ

lo>--------

2

【分析】过D作DEJ_AB于E,DF_LAC于F,则四边形AEDF是矩形，先证明

∆BDE^ΔCDF(AAS),可得DE=DF,BE=CF,以此证明四边形AEDF是正方形,

可得NDAE=NDAF=45。，AE=AF,代入AB=2√^,AC=石可得BE、AE的

长，再在Rt∆ADE中利用特殊三角函数值即可求得线段AD的长.

【详解】过D作DE±AB于E,DF±AC于F,

则四边形AEDF是矩形，

ΛZEDF=90",

VZBDC=90o,

ΛZBDE=ZCDF,

TNBED=NCFD=90°,BD=DC,

Λ∆BDE^ΔCDF(AAS),

ΛDE=DF,BE=CF,

•••四边形AEDF是正方形

二NDAE=NDAF=45°,

二AE=AF,

Λ2√5-BE=√5+BE,

.∙.BE=@，

2

.3√5

ΛAD=√2AE=^θ^,

故答案为：皿

【点睛】

本题考查了全等三角形的综合问题，掌握矩形的性质、正方形的性质、全等三角形的性

质以及判定定理、特殊三角函数值是解题的关键.

三、解答题（共66分）

19、30°

［分析】试题分析：连接OE,由A,8分别为C，CE的中点，4EJ_Q9于点A,8Q_LCE

于点B可证明得到ACOE为等边三角形，再利用直角三角形两锐角互余即可得.

【详解】试题解析：连接OE,

,：A,B分别为CD,CE的中点，

AEJ_CO于点A,50_LCE于点8,

：.CD=CE=DE,

.∙.aCDE为等边三角形，

.∙.NC=60°,

ΛZASC=90o-ZC=30o.

C

Γ∖j∣

7

^+-----

D

20、（1）见解析；（2）证明见解析.

【解析】（1）根据角平分线的性质以及三角形外角的性质即可求证；

（2）由（1）可知：ZA=2ZE,由于NA=NA5C,NABC=2NA5E,所以NE=NA8E,

从而可证A3〃CE.

【详解】解：（I）YNACD是AABC的一个外角，N2是ABCE的一个外角，（已知）,

ΛZACD=ZABC+ZA,N2=N1+NE（三角形外角的性质）,

/.ZA=ZACD-ZABC,ZE=Z2-/1（等式的性质），

TCE是外角NACD的平分线，BE是NABC的平分线（已知）,

ΛZACD=2Z2,NABC=2N1（角平分线的性质）,

ΛZA=2Z2-2Z1（等量代换），

=2（/2-NI）（提取公因数），

=2NE（等量代换）；

⑵由⑴可知：NA=2NE

VZA=ZABC,NABC=2NABE,

Λ2ZE=2ZABE,

即NE=NABE,

.,.AB/7CE.

【点睛】

本题考查三角形的综合问题，涉及平行线的判定，三角形外角的性质，角平分线的性质,

需要学生灵活运用所学知识.

21、A型共享单车的成本单价是200元

【分析】设A型共享单车的成本单价是X元，则B型共享单车的成本单价是（x+20）

元，然后根据题意列出分式方程，即可求出结论.

【详解】解：设A型共享单车的成本单价是X元，则B型共享单车的成本单价是（x+

20）元

根据题意可得迎她5t26400

4*7+20

X

解得：X=200

经检验：X=200是原方程的解.

答：A型共享单车的成本单价是200元.

【点睛】

此题考查的是分式方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键.

22、（1）y=-x+5,自变量X的取值范围是：X取任意实数；（2）x=-2;（3）x<4.

【分析】（1）由待定系数法即可求解；

（2）把y=7代入一次函数解析式，解关于X的一元一次方程，即可;

(3)由y>l,可得关于X的一元一次不等式，解不等式，即可.

【详解】(I)∙.∙y是X的一次函数，

,设y=kx+b,

把X=-4,>=9；x-6,y=-1,代入y=kx+b,

'^=-4k+b

得到:解得：k=-l,b=5,

-1=6k+b

.∙.一次函数的解析式为：y=-x+5,自变量X的取值范围是：X取任意实数；

(2)当y=7时，7=-x+5,解得：x=-2；

(3)当y>l时，即-x+5>l,解得：x<4.

【点睛】

本题主要考查待定系数法求一次函数解析式，根据条件列出方程(组)或不等式，是解

题的关键.

23、操作发现：(1)/2=44;(2)见解析；实践探究：(3)N1=N2∙

【解析】(1)如图1,根据平角定义先求出N3的度数，再根据两直线平行，同位角相等

即可得；

(2)如图2,过点B作BD〃a,则有N2+NABD=180°,根据已知条件可得NABD

=60o-Zl,继而可得N2+60°-/1=180°,即可求得结论；

(3)N1=N2,如图3,过点C作CD〃a,由已知可得NCAM=NBAC=30°,

ZBAM=2ZBAC=60o,根据平行线的性质可得NBCD=N2,继而可求得

Nl=NBAM=60°,再根据NBCD=NBCA-NDCA求得NBCD=60°,即可求得

Z1=Z2.

【详解】⑴如图1,

∙.,ZBCA=90o,/1=46°,

N3=180°-ZBCA-Z1=44°,

Va∕∕b,

ΛZ2=Z3=44o；

(2)理由如下：如图2,过点B作BD〃a,

.∙.N2+NABD=180°