2022-2023学年广西钦州市高一（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年广西钦州市高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.一个几何体由6个面围成，则这个几何体不可能是（）

A.四棱台B.四棱柱C.四棱锥D.五棱锥

2.若a是第二象限角，则一三一戊是（)

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

3.已知四边形4BCD是平行四边形,则前+BA-DC=()

A.DAB.DBC.ADD.BD

4.“aG（三,2兀）”是ucosa>0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.已知P为平面a外一点，则下列判断错误的是（）

A.过点P只能作一个平面与a平行B.过点P可以作无数条直线与a平行

C.过点P只能作一个平面与a垂直D.过点P只能作一条直线与a垂直

6.tan350—tan800+tan350tan800=（）

A.—1B.1C.—V3D.V3

7.已知一个底面半径为2,高为2/3的圆锥，被一个过该圆锥高的中点且平行于该圆锥底面

的平面所截，则截得的圆台的体积为（）

7<3TTB音C.3yJ~3nD.6兀

3

8.武当山，位于湖北省西北部十堰市境内，其自然风光，以雄为主，兼

有险、奇、幽、秀等多重特色.主峰天柱峰犹如金铸玉掾的宝柱雄峙苍穹，

屹立于群峰之巅,环绕其周围的群山，从四面八方向主峰倾斜，形成独特

的“七十二峰朝大顶，二十四涧水长流”的天然奇观，被誉为“自古无

双胜境，天下第一仙山”.如图，若点P为主峰天柱峰的最高点，M,N为

观测点，且P,M,N在同一水平面上的投影分别为Q,E,F,乙QEF=30°,

NQFE=45。，由点M测得点N的仰角为15。，NF-ME=200米，由点N测得点P的仰角为位且

tana=口，则P,M两点到水平面QEF的高度差约为（参考数据：«1.732）（）

A.684米B.732米C.746米D.750米

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.已知函数/(x)=cos］-l,贝IJ()

A./(%)的最小正周期为47r

B./(%)为奇函数

C.f(x)的单调递减区间为［一兀+妹产,兀+44兀］,kEZ

D./(x)的最小值为一2

10.已知角a的顶点为坐标原点，始边与久轴的非负半轴重合，终边上存两点力8(41)

且Sina=3贝U()

A.a=一卒B.h=—2AA_2C.cosa=D.tana=一?

434

11.已知的内角4B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3,b=4,锐角C满足sinC=①，

4

则()

A.△4BC的面积为367^B.cosC=

C.c=V19D.cosB-

12.已知一个圆锥的侧面展开图是半径为4,圆心角为微的扇形，将该圆锥加工打磨成一个球

状零件，贝火)

A.该圆锥的底面半径为2B.该圆锥的高为E

C.该圆锥的表面积为57rD.能制作的零件体积的最大值为勺票

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

14.已知△ABC为边长为1的等边三角形，~BD=^BA,则方.石？=.

15.在44BC中，角A、B、C所对的边分别为Q、b、c,且bcosC+ccosB=1,则a=

.若cos^=¥，c=2,则6=_____.

24

16.在数学探究活动课中，小华进行了如下探究：如图，这是注入D,C,

了一定量水的正方体密闭容器，现将该正方体容器的一个顶点4固定A,4——4/

在地面上，使得AD,AB,A4三条棱与水平面所成角均相等，此时因二2M

AB

水平面恰好经过BBi的中点，若4B=1,则该水平面截正方体力BCD-aBiCi。1所得截面的

面积为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知向量五=(i,o),I=(2,m),且a与丁的夹角为宗

(1)求m的值；

(2)求益+后在B方向上的投影向量的模.

18.(本小题12.0分)

已知sin(0+?)=•

63

⑴求COS育+2。)的值;

(2)若。G(0,,求sin。.

19.(本小题12.0分)

如图，在三棱锥P-4BC中，已知P4=PB=AC=BC=4,PC=4/7,且=60°,E、

F分别为4P、AC的中点.

(1)证明：PC〃平面EBF；

(2)求异面直线PC与EB所成角的余弦值.

20.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=2sin(>x+0)(3>0,取<》的部分图象如图所示.

(1)求/(X)的解析式；

(2)将/(x)的图象向右平移居个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的右

纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，求g(x)在［。,守上的值域.

21.(本小题12.0分)

从①2cos4(ccosB+bcosC)=a；②，与asinC—b=c—acosC这两个条件中任选一个，补

充在下面横线上，并加以解答.

在A/IBC中，角4,B,C所对的边分别为a,b,c,

(1)求角A；

(2)若△ABC为锐角三角形，求比卢的取值范围.

注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分.

22.(本小题12.0分)

如图，在长方体4BCD-4/1的£)1中，点G在平面的射影为

(1)证明：H为△GCA的垂心.

(2)若ZB=2BC=2BBi=4,且点4在平面%。氏的射影为点G,求三棱锥A-的体积.

AB

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于4四棱台是上下两个四边形，四个侧面有七个面，满足题意；

对于8,四棱柱是上下两个四边形，四个侧面有6个面，满足题意；

对于C,四棱锥有一个底面，四个侧面有5个面，不满足题意；

对于D,五棱锥有一个底面，五个侧面有6个面，满足题意.

故选：C.

根据题意，由棱柱，棱台和棱锥的面的个数，结合选项得出答案即可.

本题考查棱台、棱锥、棱柱的结构特征，注意常见几何体的面、棱、顶点的数目，属于基础题.

2.【答案】B

【解析】解：由Q与-a的终边关于%轴对称，可知若a是第二象限角，则-a是第三象限角，

所以一a是第二象限角.

故选：B.

先判断角-a终边的位置，然后再判断出角a终边的位置.

本题主要考查象限角，是基础题.

3.【答案】D

【解析】解：由向量加法法则，可得：

AC+BA-DC=BC+CD=BD-

故选：D.

利用平面向量加法法则可化简m+~BA-~DC.

本题考查平面向量的加法法则，属基础题.

4.【答案】A

【解析】解：由。6年,2兀)，得cosa>0,

但由cosa>0,得2时-5<”>2卜兀(卜€2),不能推出a6管,2兀)，

所以“ae年,2兀)”是“cosa>0”的充分不必要条件.

故选:A.

由a€(当,2兀)，得cosa>0,充分性成立；由cosa>0,得2k?r-5<a<]+2/OT(/C6Z),必要

性不成立，从而可判断.

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据三角函数函数的性质进行求解是解决本题的关键,

是基础题.

5.【答案】C

【解析】解：对于4过平面a外一点P只能作一个平面与a平行，故A正确；

对于B,平面a外一点P可以作无数条直线与a平行，故B正确；

对于C,平面a外一点P可以作无数个平面与a垂直，故C错误；

对于。，平面a外一点P只能作一条直线与a垂直，故。正确.

故选：C.

利用空间中线与面的平行关系与垂直关系进行判断即可.

本题主要考查了平面的基本性质及推论，属于基础题.

6.【答案】A

【解析】解：因为tan(35。-80。)=罂更洸嚅，

\'l+tan35tan80

即tan350—tan80°=tan(35°—80°)(l+tan35°tan80°),

所以tcm35°—tan800+tan350tan800=tan(35°—80°)(l+tan35°tan80°)+tan350tan800

=-tan45°(l+tan35°tan800)+tan350tan80Q=-1.

故选:A.

根据tan35。-tan80°=tan(35°-80°)(l+tan35°tan80°),代入从而可求解.

本题主要考查了两角差的正切公式的应用，属于基础题.

7.【答案】A

【解析】解：•••圆锥的底面半径为2,高为2/耳，

•••可得的圆台的下底面半径为2,上底面半径为1,高为，弓,

故该圆台的体积V=；（兀+4兀+V71-47T）-A/-3=—-Y~~

故选：A.

利用台体的体积公式计算即可.

本题考查台体的体积的计算，属基础题.

8.【答案】C

【解析】解：若点P为主峰天柱峰的最高点，M,N为观测点，且P,M,N在同一水平面上的投影

分别为Q,E,F,LQEF=30°,“FE=45。,

由点M测得点N的仰角为15。，NF-ME=200米，由点N测得点P的仰角为a且tana=<2，

如图，过M作MC_LNF交NF于C,itN^ND1PQ^PQ^D,

如图所示，因为NF-ME=200,所以NC=200,

又NNMC=15°,则tanl5°=tan(60°-45°)==2-

tanl5''l+tan60tan451+V3

则EF=MC=产%=200(2+C),

z—v3

又4QEF=3。。,Z.QFE=45°,所以4FQE=105。，

由正弦定理号=占,得喘2=盘,

sinl050=sin(60°+45°)=sm60°cos45°+cos60°sin45°=、’2r6,

即FQ='客拿1=lOOC+100C，又乙PND=a,所以tana=C，

4-

所以PD=ND-tana—FQ-tana=200+200V"3，

则P,M两点到平面QEF的高度差为P。+NC=200+200「+200=400+200V-3=200(2+

C)x746米.

故选：c.

过M作MC1NF交NF于C,过N作NDJLPQ交PQ于。，根据正弦定理即可求解.

本题考查了正弦定理在实际生活中的应用，属于中档题.

9.【答案】AD

【解析】解：对于4"X)的最小正周期丁=丁=4兀，A正确；

2

对于B,/(-x)=cos(-i)-1=cos|-1=/(x),所以/"(x)为偶函数，B错误；

对于C,令2/CTT工］工yr+2/CTT,々€Z,解得41兀三工工2TT+4/czr,kEZ,

所以/(%)的单调递减区间为［4/52TT+4Znr］,k£Z,C错误;

对于D,当擀=兀+2kmkWZ,即％=2zr+4/CTT,/C€Z时，/(%)的最小值为一2,D正确.

故选：AD.

对于4利用周期公式即可判断；对于B,利用奇函数的判定方法即可判断；对于C,令2kn咨0

n+2kn,keZ,求解后即可判断；对于D,由余弦函数的性质，可求得最小值，从而可判断.

本题考查了三角函数的周期性，单调性以及奇偶性，考查了学生的运算转化能力，属于中档题.

10.【答案】BCD

【解析】解：•••角a的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上存两点4(-l,a),B(b,l)

且sizia=I，

a_1_1

解得a2=：/2=8,

由/：2=I，可知a>0,

V1+a2§

・•・角a为第二象限的角，所以bvO,

/.a=>b——2\/~~2f故A错误，B正确；

又cosa="pT==F-,柩7^=：=-余=一¥，故C、。均正确.

JB+lb2<24

故选:BCD.

根据任意角的三角函数的定义列方程可求出a,b的值，从而可求出角a的其它三角函数值.

本题考查任意角的三角函数的定义及其应用I,属于中档题.

11.【答案】BC

【解析】解：在AZBC中，因为a=3,b=4,且sinC=5，

4

由三角形的面积公式，可得品48c=gabsinC=：x3x4xf=@J，所以A错误；

由C为锐角，且sinC=匚至，可得cosC=Vl—sin2(?=>所以8正确；

44

由余弦定理得=a24-Z?2—2abcosC=9+16—2x3x4x"=19,可得c=V19,所以。正

确；

由余弦定理得COSB=层+c2f2=9+19二£="变,所以。不正确.

2ac2X3X<T919

故选：BC.

由三角形的面积公式，可判定A错误；由三角函数的基本关系式，可判定8正确，由余弦定理,

可判定C正确，。错误.

本题考查了三角形的面积公式，三角函数的基本关系式以及余弦定理在解三角形中的应用，考查

了计算能力和转化思想，属于基础题.

12.【答案】BCD

【解析】解：由题意得该圆锥的母线长为4,

设圆锥的底面半径为R,高为伍

由27rR=4x],得R=1,A错误：

则八=7俨_R2=式正,8正确；

所以该圆锥的表面积为兀/?2+兀&=5兀，C正确:

如图，圆铢P。内切球的半径等于（轴截面）△P4B内切圆的半径，

设APAB的内切圆为圆。'，其半径为r,

由SMAB=S2pAO,+S^PBO,+S&AB0Q

得2x2x<15=1x4r+|x4r+|x2r,得「=早，

故能制作的零件体积的最大值为《兀厂3=%詈，。正确.

故选：BCD.

根据侧面展开图和圆锥的关系可求得圆锥底面圆的半径以及圆锥的高，进而可求圆锥的表面积,

再根据圆锥内切球的半径与轴截面内切圆的半径相等即可求出能制作的零件体积的最大值.

本题主要考查了圆锥的结构特征，考查了球的体积公式，属于中档题.

13.【答案】1

3

Mlcosa+2cos(加+a)_cosa-2cosa_-cosa_1

【解析】解：由题可知4-

tana=4sin(2n+a)+2cosa4sina+2cosa4sina-i-2cosa4tana+2

3=1.

故答案为：L

由题可知tcma=-3再借助诱导公式，结合弦化切即可求解.

本题考查了弦化切公式，三角函数的诱导公式，考查了计算能力，属于基础题.

14.【答案】|

【解析】解：因为前=:瓦?，

所以而=而+前=方+；说=而+：(区一屈)=|cX+

|CF,

又△ABC为边长为1的等边三角形，则(荏,6?>=半

所以而.犷=+1方)•

=1C42+|CS-C4

1,211

=3+3X1X1X2

2

=3*

故答案为：

把向量而用基底就，而表示，再进行计算即可.

本题考查平面向量的夹角与数量积，属基础题.

15.【答案】12/2

【解析】解：设△4BC的外接圆半径为r,

则bcosC+ccosB

=2r(sinBcosC+cosBsinC)

=2rsin(B+C)

=2rsinA

=a

=1>

由二倍角的余弦公式可得cosB=2cos23-1=2x—1=—

由余弦定理可得〃=a2+c2—2accosB=14-4—2xlx2x(-1)=8,

故b=2/I・

故答案为：1,2y/~2-

设△ABC的外接圆半径为r,由正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出a的值，利用二倍角的

余弦公式求出cosB的值，利用余弦定理可求得b的值.

本题考查了正弦定理，两角和的正弦公式，二倍角的余弦公式以及余弦定理在解三角形中的应用,

考查了计算能力和转化思想，属于中档题.

16.【答案】十

4

【解析】解：根据题意，在正方体4BC。-中，AD,AB,441三

条棱与平面&BD所成角均相等，

又由ZD,AB,三条棱与水平面所成角均相等，

则平面4BD与水平面平行，

而水平面恰好经过BBi的中点，则水平面截正方体所得截面为如图过棱

的中点的正六边形，

由于AB=1,则该正六边形的边长为华，其面积S=6X《X2XCX¥)=^1

2、2222/4

故答案为：卑.

4

根据题意，先根据三条棱与水平面所成角均相等，得出水平面与平面4BD平行，再根据特点得出

截面为正六边形，然后可得答案.

本题考查正方体的结构特称，涉及平面与正方体的关系，属于中档题.

17.【答案】解:(1)由题可知五不=2+0=2，|a|=1,|K|=V4+m2.

由数量积公式可知方-b=\a\-\b\-cos永即2=J4广2,

解得m=+2A/-3;

(2)由⑴可得@+b)-b=a-b+b2=2+16=18，

所以a+另在B方向上的投影向量的模为।丝好।=¥=?.

|D|4乙

［解析】(1)根据数量积的坐标表示及定义列式求解即可；

(2)先计算0+石)4=18,再计算|寄独|即可.

本题主要考查了向量数量积的运算，考查了投影向量的定义，属于基础题.

18.【答案】解:(l)cos(y+20)=-cos(14-20)=-cos[2(^+0)]

=2sm2(0+*)—1=2x(半＞一1=一"；

(2)因为。6(0,今，所以8+旌愿争，又sin(e+3)=?v?，

则e+苴€(^W),所以cos(e+看)=J1—siM(e+弓)=?,

所以sin。=sin(0+7_7)=sin(0+?)cosg—cos(0+£)sin£==x学-邙x1=3-^6.

66666632326

【解析】⑴先利用诱导公式可得cos(竽+2。)=—cos©+2。)，再结合倍角余弦公式即可求解；

(2)根据同角基本关系可得cos(8+》=学，再利用加。=sin(0+”勺结合差角正弦公式即可

求解.

本题考查的知识要点：三角函数的值，角的恒等变换，主要考查学生的理解能力和计算能力，属

于中档题.

19.【答案】(1)证明：取BC的中点Q,连接NQ,MQ,

因为M,Q分别为PB,8c的中点，所以MQ〃PC,

因为E,F分别为4P,4C的中点，所以EF〃PC,所以MQ〃EF,

MQ，平面EBF,EFu平面EBF,所以MQ〃平面EBF,

因为N,Q分别为FC,BC的中点，所以NQ〃尸B,

NQ仁平面EBF,FBu平面EBF,所以NQ//平面EBF,

因为MQCNQ=Q,所以平面MNQ〃平面EBF.

因为MNu平面MNQ,所以MN〃平面EBF.

(2)解：因为E/7/PC,所以4FE8(或其补角)即异面直线PC与EB所成的角，

因为P4=PB=AC=BC=4,且N2PB=60°,

所以△ABC,△4BP均为等边三角形，EB=BF=2C,EF=；PC="1■,

根据余弦定理可得8S4FEB=，富=华，

2x2v2x2V36

所以异面直线PC与EB所成角的余弦值为

6

【解析】(1)根据题干证出面面平行，再根据两个平面平行，则一个平面的任意一条直线都与另一

个平面平行的性质证出线面平行.

(2)结合余弦定理，即可求出异面直线PC与EB所成角的余弦值.

本题考查立体几何的综合知识，属于中档题.

20.【答案】解:⑴由图象可知I,函数/⑶的最小正周期为7=4x(段-步=兀=条则3=竿=2,

所以/(%)=2sin(2x+(p).

因为f(今=2sin(,+w)=2,可得sin(竽+9)=1,

因为斗<9<3,则《〈年+w<g所以亭+*=：解得3=Y，

乙Z63632o

故/(x)=2sin(2x-^).

(2)将/。)=2sin(2x-弓)的图象向右平移需个单位长度，

可得到函数y=2sin[2(x-^)-1]=2sin(2x-步的图象；

再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的右纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，

则g(x)=2sin(4x-'

当OSxW即寸，—^<4x—^<则—苧4sin(4x—今工1,所以—Wg(x)V2,

因此，g(x)在[0币上的值域为[一二,2].

【解析】(1)由图象可得出函数f(x)的最小正周期，可求得3的值，由/©)=2结合s的取值范围可

求出9的值，由此可得出函数f(x)的解析式；

(2)利用三角函数图象变换可得出函数g(x)的解析式，利用正弦型函数的基本性质可求得函数g(x)

在上的值域.

本题主要考查根据函数y=Asin(<a)x4-乎)的部分图象求函数的解析式，函数y=Asin(a)x+租)的

图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题.

21.【答案】解:(1)若选择条件①,因为2cosA(ccos5+bcosC)=a,

由正弦定理得2cos4(ccosB+bcosC)=2cosA(sinCcosB+sinBcosC)=2cosAsin(<B+C)=sinA,

所以2cosAsi?i(7r—A)=2cosAsinA=sinA,

因为(0,兀),

所以sim4丰0,

所以cosA=

则4=1;

若选择条件②，因为-b=c-acosC,

所以由正弦定理可得V"弓sin/sinC—sinB=sinC—sinAcosC,

即V^sinAsinC+sinAcosC=sinC+sin(A+C)，

所以，~5si?vlsi7iC=sinC+sinCcosA,

因为sinC>0,

所以V~无讥/=1+cosA,

所以sin(/

又因为0V4V7T,

所以4=基

(2)由余弦定理，可得cosA=工=此止一包,

22bc

则可得儿=/+。2一小，

222

所以be—c=b—af

则与=、与一1，

aLaL'a，

由正弦定理，得2=呀=*5讥8，

astnA3

因为A=*B+C=^,0