名师指导高数“抱佛脚”：熟记基本公式

2009年名师指导高数“抱佛脚”：熟记基本公式专转本《高等数学》考试的命题特点主持人：张老师讲授统考11年，多次应电视台之邀讲授成考课程，并多年参与编写和修订工作，积累了不少经验，下面请老师谈谈专转本《高等数学》的命题特点。老师：无论《高等数学（一）》还是《高等数学（二）》，主要以考察《高等数学》的基本知识、基本方法、以及基本技能为主。试题所涉及的毫无争议的就是《高等数学》中最基本、最主要、也是最突出的知识点，是学完《高等数学》必须掌握的容易掌握的知识点。老师：总的来讲试题考察全面，质量分布比较合理，无论是《高等数学（一）》，还是《高等数学（二）》，主要贯穿着极限、导数、积分这样一条主线。而且在考察基本概念基础上，以考察基本计算能力为主，大多数考题都是常规型的计算题，另外在命题的时候，增强对试题的针对性，起点放得比较低，考生容易上手做，减少解题的中间环节或者是解题步骤，并且《高等数学（一）》和《高等数学（二）》从去年的命题大约有20%到30%的题目，都是一步出结果。老师：另外还有一个特点，在综合应用题你要强调几何应用。比如说无论是《高等数学（一）》或者《高等数学（二）》，考题中都涉及到定积分的应用，求平面图形的面积，或者求平面图形围绕坐标轴旋转所产生的旋转体的体积。老师：总的来讲，命题要遵循着教育部所颁布招生的《高等数学（一）》和《高等数学（二）》的考试大纲来进行命题。考试大纲是命题的惟一依据，所以也是指导考生考前复习的依据。另外从考试答卷中所反映出的问题是部分考生对于基本概念，基本理论缺乏必要的深度地理解，特别是解应用题能力不强。还有一点，从阅卷情况看，有的考生复习欠全面，解题写法不规范，导致考试中失分，这种情况。《高数》一、二的考试重点及历年易考点主持人：下面请老师介绍一下《高等数学》一、二的重点，及历年易考的考点？老师：《高等数学（一）》，主要是工学、理学这类考生，他主要是以《高等数学》为重点，一共是这样七章，第一章是起点和连续，考试中约占13%的比例，第二章微分学约占25%各，第四章，空间学几何，第五章微积分学，这个部分占20%的比例，空间几何不是一个独立的部分。第六章约占7%的比例，第八章常规方程约占10%的比例。老师：贯穿着微分学和积分学的主线，考试重点就是微分学、积分学，《高等数学（二）》是积分学管理类的必考科目。《高等数学（二）》可以说两个部分，第一大部分《高等数学》约占92%，其中极限和连续，约占15%，微分学约70%，第四章多元函数微分学约占15%。从《高等数学（二）》来讲，还是以《高等数学》部分为主，占92%，是一大部分。《高等数学》部分贯穿一条主线就是极限、导数、积分。

主持人：今年的专转本《高等数学（一）》洛必达法则未定式的向量代数、可降阶的积分方程等不再做要求，《高等数学（二）》对洛必达法则求未定式的极限也不做要求，这样调整对考生有何影响？

老师：最主要是05年考试大纲的变化，教育部最近颁布了全国各类高等学校招生复习考试大纲，这是06年版，也是94年专转本考试以来的第六版，这一版在05年变化的基础上又做了一个适当的调整。高数二就是您刚才所说的三点，一个是洛必达法则求未定式极限，三种幂指型未定式极限删去了，另外删去了函数的做图，还有一点是不定积分删去了第二换元积分发，删去了正割变换。《高等数学（一）》变化比较大，《高等数学（一）》在导数的应用部分，删去了罗尔定理存在的必要性，删去了用洛必达法则求幂指形极限，这是导数应用部分。还有原来的空间几何和向量代数，向量代数所有知识点及相应考核要求，这次考试不做要求。还有在常微分方程中可降阶的微分方程这次不做要求。

修订考纲的依据充分考虑到考生不同学习背景的学习情况，考虑到考生的特点，这种调整使得考试的重点更加突出，有利于考生搞好考前复习，有利于考试中考生发挥自己的水平，取得好的成绩。所以这种调整主要还是从考生的具体特点出发的，对于考生是有利的。

主持人：《高等数学（二）》，新增了在理解函数掌握求函数的重点，极值点方法的要求，对考生来说难度加大了吗？考生应注意哪些知识点？

老师：这实际上是考察的要求更加明确具体化，并没有增加考生的难度，原来我们是会求函数的极值，函数的最值，在极值前面增加了重点知识点，考生没有必要有这个顾虑，一般地说考察重点，导数应用是一个非常重要的点，一般有四个应用必须要注意到。

老师：第一个应用就是洛必达法则求未定式极限，我们说洛必达法则求未定式极限是四种类型，零比零型，无穷比无穷型…，考试就是这样一种。第二应用导数方法研究函数的性质、曲线形状，一般讲升级凹管线，曲线的凹向区间、拐点。第三个应用是会求函数必须连上函数的最大值和最小值，及简单的实际应用题。第四个应用函数的单调性证明不等式。这是导数应用部分，这部分复习重点非常突出、明确。

《高等数学》考试重点及试卷形式

主持人：请问老师重点考察的知识点有那些、《高等数学》的试卷的形式是什么？

老师：专转本考试，无论是《高等数学（一）》或者是《高等数学（二）》，它的试卷结构就是三种题型，第一个是选择题、一共是10个小题，每题4分，总分40分，占27%的比例，第二个是填空题一共10个小题，每题4分，共计40分，占27%的比例，第三个是解答题，其中前五题是计算题每题8分，后三个题叫综合运用与证明，一共三个小题，每题10分，所以解答题约占46%，这是《高等数学（一）》、《高等数学（二）》的试卷结构。

老师：作为考试的重点来讲，《高等数学》就贯穿一条主线，极限、大数、微分、积分这样一条主线，这就是考试的重点。老师：极限部分每年四个题左右，导数和微分部分，导数的计算，同学们应该熟练掌握、找出公式。还要注意一下导数的运算法则，特别要注意成积和商，每年都是考试重点，比如说成积的考试运算法则。商导数是个公式，考试在复习的时候一点要作为重点，熟练把握。

再一个就是副函数求导，什么叫副函数，怎么叫做从外到里，这个考生一定要搞清楚，这都是考试重点，这种题目每年都必考无疑，而且不止一个题目了。

老师：还有导数与微分的关系。无论《高等数学（一）》《高等数学（二）》都是很重要的。考生要复习这部分的时候一定要熟记基本方式，这里重点特别要强调的第一换元积分法和分母积分法，这每年都是考试重点，毫无疑问的，积分在不定积分的基础上完成，定积分用牛-莱公式计算定积分就轻而易举的事情，所以积分学主要是求不定积分和定积分。

老师：提醒一下各位考生要注意应用，一般考试中一定要强调应用，强调应用意识，检查考试应用知识解决问题的能力，这个应用部分像我刚才所说的，微分学部分，用导数研究函数的性质、曲线的形状，我概括成增极凹拐线。考试中这是一个重点。还要注意导数的几何意义，考试中考到的可能性极大。作为积分学部分要注意定积分的应用，定积分的应用像我刚才所讲的，求平面图形的面积，求旋转体的体积，这点非常重要。比如05年求旋转体体积，《高等数学（一）》《高等数学（二）》都是分别一个题10分的。一般考到的可能性极大。

复习时作题不要以多取胜以历年试题为依据

主持人：书后边有很多的复习和思考题，这些是不是就是命题的范围呢？

老师：关于作题的问题，我可以这样讲，一般地讲课的原则强调大纲，全国高等学校招生复习考试大纲，这是指导考前复习，也指导命题惟一的法律性文件，教材没有指定，所以现在一般各校老师或者同学们选用的教材，因为是教育部考试中心主编的教材，用这本教材《高等数学（一）》大约有900多个题目，《高等数学（二）》大约有700个题目，题目比较多了，当然作为考生来讲，精力很有限，做不过来的。我建议你们在复习的时候，作题不要以多取胜，要求质量，做一定题目，要注意作题的时候总结归纳，这一类题的解题方法、规律，这就是举一反三，触类旁通。在有限的业余时间学习是不容易的事情，所以作题的时候还应当注意方法，这还是挺重要的。

短时间内有效复习方法：应熟记基本公式

主持人：还有一个月就要考试了，现在很多考生关心在短时间内怎么复习《高等数学》最有效？需要注意些什么？

老师：《高等数学》课本身是一个结构非常严谨、逻辑性比较严密的课程。一般学

>《高等数学》一定要踏踏实实做下来，要一步一个脚印地进行复习，效果是最好的。当然现在离考试还有一个多月了，这种情况下，高等数学复习总比不复习要好，你多投入精力比少投入精力或者不投入精力那肯定效果要好，而且《高等数学》还是见效比较明显的一门课。我讲这个话是有依据的，

老师：在考试前一个月怎么来个突击复习能够比较见效呢？我认为，一定要在理解基本概念的基础之上，熟记基本公式。比如说基本出的函数导数公式还有不定积分公式，要熟悉基本公式，尽量在作题的过程中，学会掌握求导或者计算不定积分、计算定积分，掌握方法。

老师：比如说05年《高等数学（二）》，第五题是一个sinX求不定积分，其实你要叙述公式的话这四分就得到了。05年《高等数学（一）》中的第13题，是3的X方，求Y的导数，也是属于一个基本函数求导数公式的问题，得分率大约不到0.7%左右，五个同学中有一个甚至一个半的同学不会做，那就说这些同学复习的时候，基本公式没记住，复合函数求导或者涉及到换元积分法就无从谈起了。

老师：另外还应当像强调应用，基本应用这些主要的知识点考生必须掌握。

《高等数学》一和《高等数学》二的主要区别

主持人：有的考生问《高等数学（一）》和《高等数学（二）》的主要区别在哪儿？哪本书更适合学？我专科是成人的，没有老师辅导学习起来很难，有什么好的方法和建议，我应该注意书中的基本内容还是应该多练习呢？

老师：区别主要体现在一个方面的共有内容中，有的要求质量是不太一样的。要求掌握求由参数方程所确定的函数的求导方法，再一个会求简单函数的N阶导数，《高等数学（二）》不是这样题的。第四点理解罗尔定理，《高等数学（二）》不做基本的要求。《高等数学（一）》要求掌握三角换元，正旋变换、正切变换和正割变换，《高等数学（二）》只要求掌握正旋变换，这是区别。

《高等数学（一）》有二重积分。《高等数学（二）》没有二重积分，再有《高等数学（一）》有无穷方程，《高等数学（二）》不做要求。从考试情况来讲，我们刚才讲的《高等数学（一）》比《高等数学（二）》多出来的这部分知识，在考题中大约能占到30%的比例。大约也就是45分左右，所以有的同学讲：老师我学的是《高等数学（一）》，没有学《高等数学》，我学的是《高等数学（一）》的课，就是参加《高等数学》考试但是跟着《高等数学（二）》听课，行不行？这也未尝不可，但是必须把《高等数学（二）》没有的知识自己要补上，不然的话，你等于丢了30%。那当对考生来讲相当不利。

主持人：有一个网友在问，刚才说的删去了不定积分中的第二换元积分法，是不是就不考了呢？

老师：不对，是正割变换不做要求，第二换元法中三角换元换的正割变换不做要求。

主持人：网友问，新大纲对洛必达法则未定式极限不做要求，请问张老师如果考试中用洛必达法则更为简便，是否可以继续使用。

老师：你提的不对，不是洛必达法则求极限不做要求，是洛必达法则求幂指形极限不做要求，洛必达法则还是做要求的。作为他这个问题可以这样讲，求极限的时候我们方法不限制，用什么方法都可以，怎么简单怎么做，作题一般找捷径，所以洛必达法则能够求极限最好不过的。还有一个，等价无穷小量相互代换求期限，这都是复习中考生应当注意到的，也就是窍门了。

主持人：网友问，《高等数学(一)》后面的大题中都考哪几道呢？比如说都涉及到哪一方面的知识点？

老师：《高等数学(一)》的大题目——解答题，一般涉及到了导数的应用，像我们刚才说的，用函数的性质和曲线形状，导数的几何意义，求曲线方程，导数的几何意义，七分钟主要是换元积分法，用定积分换元积分法证明，还有定积分的几何应有，求平面图形的面积和旋转体的体积。另外还有特别要强调坐标系向二重积分计算，每年必考，择分率偏低，还有就是解一阶线性微分方程。

主持人：有考生问，复习《高等数学(一)》是否可以用以前的资料？如果不能现在看什么比较好？

老师：这次《高等数学(一)》的变化比较大，所以用原来的教材必须知道哪些知识点删除了，最好用新版的教材，我们说的是对考生负责的一种态度。原来题目也可以做，不是不可以做，因为我刚才讲过，历年考题就是一个很好的复习资料，但是题目一定要选择恰当。也不宜过偏、过难、过繁，因为现在命题不是这样的特点。

主持人：有考生问，老师《高等数学(二)》里边的概率一般会出什么题型？

老师：一般占8%的比例，但是概率复习起来还是有难度的，可以说有四大点。第一点，就是随机现象、随机事件的有关观念。你必须把那些概念搞清楚。第二点就是概率的计算，概率的计算中，主要是掌握古典型定义，在这个基础上，等可能事件求概率没问题，这是一个考察的重点，另外还有概率的加法公式，以及条件概率、事件的独立性、概率的乘法公式。第三点，离散型随机变量的概率分布。第四点，离散型随机变量的数字特征。

从主要内容来讲这样四大点，这个部分一般来讲只占8%的比例，所以一个大题8分，这个小题4分。我刚才讲概率复习起来还是有难度，考试的题目又相对少一点，这还不能有侥幸心理，尽量地复习到，当然我们说重点还应当放到可能事件求概率，概率的加法公式，事件的独立性，另外离散型随机变量概率分布的性质一定要搞清楚，在这个基础上，会求离散型随机变量的希望比较大。

主持人：今年《高等数学(二)》，哪章的考点比较多，大题一般会出现在哪个部分？

老师：这个完全看考纲，一元函数约占2%比例，微分学占15%的比例。抓大块，这两块一个30%，一个32%，这就是62%了。

主持人：请问张老师今年的《高等数学(二)》会有排列与组合类型的题吗？

老师：单独出排列组合这是不可能的事情，因为考纲中没有排列组合内容，但是我们还古典形概率，也就是可能事件求概率一定要用到排列组合的有关知识，所以排列组合一定要搞清楚，就是排列组合概念，还有排列组合数，计算公式这都是必要的基础知定要搞清楚。

主持人：请问老师在今年的考试当中，常微分方程是不是作为重点复习内容？

老师：10%的比例。按照往年惯例，大约是3个题目。

主持人：张老师您好，请问今年的成人高等考试中空间向量的比例是多少？

老师：《高等数学(一)》按照新考纲的规定，把向性代数全部删除，所有知识点都不做要求，只突出了空间几何，但是在空间几何中我们涉及到了向量的概念，所以还应该搞清楚。比如说求平面方程，点划式平面方程一定要知道平面的法向量，才能求平面的点法式方程，直线方程一定要涉及大直线的方向向量，有了直线的方向向量，点向式直线方程才能写出，但是单独考向量这种可能性是不存在的。

主持人：有人问，极限学不好，怎么能掌握重点？

老师：极限应当是《高等数学