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文档简介
2022-2023学年山西省吕梁市交城县八年级(下)期中数学试卷
一、选择题(本大题共10小题,共30.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
1.计算(一,歹)2的结果是()
A.-4B.-2C.2D.4
2.下列二次根式,化简后能与√不合并的是()
A.√1oB.√7δC.√^^oD.√^^0^5
3.在RtΔ4BC中,NC=90o,AB=5,AC=3,则AABC的面积为()
A.6B.yC.10D.20
4.我国是最早了解勾股定理的国家之一,早在三千多年前,周朝数学家商高就提出了“勾
三、股四、弦五”这一结论,被记载于我国古代一部著名的数学著作中,这部著作是()
《孙子算经》
《九章算术少
5.下列运算正确的是()
A.√36=÷6
C.√12÷V-4=y[~3
6.如图,在平行四边形4BG)中,AB=5cm,AB-AD=2.2cm,贝IJBe的长为()
A.2.2cmB.2.8cmC.5cmD.7.2cm
7.下列命题中正确的是()
A.平行四边形的对角线互相垂直B.矩形的对角线相等
C.对角线相等的平行四边形是菱形D.对角线互相垂直的平行四边形是正方形
8.已知(/亏+2)∙m=n,若n是整数,则m的值可能是()
A.B./T+2C.ΛΓ5-1D.√^^5-2
9.如图是楼梯的示意图,楼梯的宽为5米,AC=5米,AB=13米,若在楼梯上铺设防滑材
料,则所需防滑材料的面积至少为()
A.65τn2B.85m2C.9Om2D.150m2
10.如图,点E是平行四边形4BCD的边CD的中点,连接AE并
延长交BC的延长线于点F,连接AC,DF,若ZB=AF,则四
边形ACFD是()
A.平行四边形
B.矩形
C.菱形
D.正方形
二、填空题(本大题共5小题,共15.0分)
11.二次根式J(α-l)2有意义,则实数a的取值范围是.
12.己知AABC的三边长分别为,3,√^^,√-6,则AABC的形状是
13.《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一,在“勾股”章中
记载了一道“折竹抵地”问题:“今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,
问折者高几何?”翻译成数学问题是:如图所示,△4BC中,乙4CB=90°,
ACA-AB=10,BC=3,求AC的长,如果设4C=X,则可列方程为.
14.如图,在平行四边形力BCD中,对角线AC,BD交于点。,E。14C交BC于点E,已知AABE
的周长为8,BC=5,则CD的长为.
A1D
O
15.如图,在矩形4BC。中,AB=6,BC=8,点E是Be边
上一点,连接4E,把AABE沿AE折叠,使点B落在F处,当
∆CEF为直角三角形时,BE=.
三、解答题(本大题共8小题,共75.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
16.(本小题8.0分)
计算:
(1)∫∣×√^7-√W÷J1:
(2)J(-1)2+(<5-2)2+(√^+√^^3)(√^-/3).
17.(本小题7.0分)
已知三角形的三边α,b,c,可以求出这个三角形的面积.古希腊几何学家海伦的公式为:S=
√P(P—α)(p—b)(p—c)(其中P="罗);我国南宋著名数学家秦九韶的公式为:S=
J/2炉_(吐卢)2].若一个三角形的三边长分别是,G√~6,yΓ7,求这个三角形的面
积.
(1)你认为选择(填海伦公式或秦九韶公式)能使计算更简便;
(2)请利用你选择的公式计算出这个三角形的面积.
18.(本小题8.0分)
如图,在四边形ABCD中,BD平分乙4BC,4C=90°,点E是AB上一点,AB=DE=5,若AD=3,
BE=1,求CD的长.
A
D
19.(本小题8.0分)
如图,在平行四边形ABCD中,点E是BC边上一点,且48=BE,NABC的平分线交AZ)于点F,
连接EF.
(1)尺规作图:根据题意将图形补充完整(保留作图痕迹,不写作法,标注相应字母);
(2)求证:四边形ABEF是菱形.
20.(本小题10.0分)
如图,在矩形4BC。中,点E、点F分别是40、BC的中点,连接BE,CE,AF,DF,BE与AF交
于点G,CE与Z)F交于点H.
(I)求证:四边形BEDF是平行四边形;
(2)请判断四边形EGFH的形状,并说明理由.
21.(本小题10.0分)
按要求作图:下面三幅网格图中的小正方形的边长都为1,每个小正方形的顶点称为格点.
图I图2图3
(1)在图1中作一个边长都为整数的格点直角三角形ABC;
(2)在图2中作一个边长分别为,天,2√^2,CU的格点三角形DEF;
(3)在图3中作一个有一边长为一亏的格点平行四边形GHMN.
(4)请判断图2中所作AOE9的形状,并说明理由.
22.(本小题12.0分)
问题情境:
勾股定理是一个古老的数学定理,它有很多种证明方法.下面利用拼图的方法探究证明勾股定
理;
定理表述:
(1)请你结合图1中的直角三角形,叙述勾股定理(可以选择文字语言或符号语言叙述);
尝试证明:
(2)利用图1中的直角三角形可以构造出如图2的直角梯形,请你利用图2证明勾股定理;
定理应用:
(3)某工程队要从点4向点E铺设管道,由于受条件限制无法直接沿着线段AE铺设,需要绕道
沿着矩形的边48和BC铺设管道,经过测量AB=I6米,BE=12米,已知铺设每米管道需资
金IOOO元,请你帮助工程队计算绕道后费用增加了多少元?
An
Ar--------------------------------------∣D
≥:A______________C
-~~⅛Bh------------⅛-----------------------Ie
O
图1雕图3
23.(本小题12.0分)
如图1,四边形力BCD是菱形,点E,点F分别是4B,CB边上的动点,AE=CF,连接DE,DF交
(1)求证:DG=DH;
(2)如图2,连接BG,BH,请判断四边形DGBH是什么特殊四边形?并说明你的理由;
(3)在图2中,如果AB=4,∆DAB=60°,试探究在点E,F运动过程中,如果四边形CGBH成
为正方形,则4G的长度是多少?(请直接写出答案)
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解:(―,9)2=2.
故选:C.
直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案.
此题主要考查了二次根式的乘法运算,正确掌握相关运算法则是解题关键.
2.【答案】C
【解析】解:4∙.∙E是最简二次根式,
•••不能与门合并,故A项不符合题意;
B.∙.∙√-18=3√^>
不能与,亏合并,故8项不符合题意;
C,∙.∙<^20=2√-5,
•••能与C合并,故C项符合题意;
。、∙∙∙E=O=殍'
不能与,亏合并,故。项不符合题意;
故选:C.
利用二次根式的性质将各项化简为最简二次根式,再根据同类二次根式的定义即可解答;
本题考查了二次根式的性质,最简二次根式的定义,同类二次根式的定义,熟记二次根式的性质
是解题的关键.
3.【答案】A
【解析】解:•••在Rt△力BC中,NC=90。,AB=5,AC=3,
.∙.BC=√AB2-AC2=4,
:,△ABC的面积为:4C∙BC=j×3×4=6i
故选:A.
勾股定理求出8C的长,面积公式进行求解即可.
本题主要考查三角形的面积公式,根据勾股定理求出BC的长,根据面积公式进行求解是解题的关
键.
4.【答案】D
【解析】解:我国是最早了解勾股定理的国家之一,早在三千多年前,周朝数学家商高就提出了
“勾三、股四、弦五”这一结论,被记载于倜髀算经之中.
故选:D.
由周朝数学家商高就提出了“勾三、股四、弦五”记载于凋髀算经》之中,可得出结论.
本题考查了勾股定理以及数学常识,牢记周朝数学家商高就提出了“勾三、股四、弦五”记载于(f
周髀算经沙之中是解题的关键.
5.【答案】C
【解析】解:4、06=6,故A选项错误,不符合题意;
—√-3=3ΛΛ^3,故8选项错误,不符合题意;
C、√12÷√^4=√^3,故C选项正确,符合题意;
D、J^j×√-12=J∣×12=√T8=3<2.故。选项错误,不符合题意.
故选:C.
根据算术平方根的含义,合并同类二次根式,二次根式的乘法与除法法则逐项进行计算即可得.
本题考查的是算术平方根的含义,合并同类二次根式,二次根式的乘法与除法,掌握以上运算是
解题的关键.
6.【答案】B
【解析】解:丫48=5cm,AB—AD=2.2cm,
AD-2.8cm,
•••四边形4BCD是平行四边形,
BC=AD=2.8cm,
故选:B.
先求出AD=2.8cm,再根据平行四边形对边相等即可得到答案.
本题主要考查了平行四边形的性质,熟知平行四边形对边相等是解题的关键.
7.【答案】B
【解析】解:4、平行四边形的对角线互相平分,故此选项错误;
8、矩形的对角线相等,故此选项正确;
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形,故此选项错误;
。、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形,故此选项错误.
故选:B.
直接利用平行四边形,矩形,菱形,正方形的性质和判定方法分别分析得出答案.
此题主要考查了平行四边形,矩形,菱形,正方形的判定和性质,正确把握相关四边形的性质和
判定方法是解题关键.
8.【答案】D
【解析】解:(C+2)∙(K-2)=5-4=l,
∙∙∙m的值可能是4-2,
故选:D.
利用平方差公式找出括号中式子的有理化因式即可.
此题考查了式子的有理化因式,正确选择两个二次根式,使它们的积符合平方差公式是解答问题
的关键.
9.【答案】B
【解析】解:由图可知:NC=90。,
■■AC=5米,AB=13米,
ʌBC=√AB2-AC2=12米,
由平移的性质可得:水平的防滑毯的长度=BC=12(米),铅直的防滑毯的长度=AC=5(米),
二至少需防滑毯的长为:4。+8。=17(米),
•••防滑毯宽为5米
二至少需防滑毯的面积为:17x5=85(平方米).
故选:B.
勾股定理求出BC,平移的性质推出防滑毯的长为AC+BC,利用面积公式进行求解即可.
本题考查勾股定理.解题的关键是利用平移,将防滑毯的长转化为两条直角边的边长之和.
10.【答案】B
【解析】解:・・・平行四边形4BCD,
:,ADllBC,AB=CD,
∆ADE=Z-FCE,
•:E是平行四边形ABC。的边CD的中点,
CE=DE,
又(AED=乙FEJ
•••△4EO三△尸ECG4S4),
・•,AD=CF,
-AD//BC,即:AD//CF,
,四边形4CFD是平行四边形,
VAB=AF,
••・AF-CD,
•••平行四边形力CFD是矩形.
故选:B.
平行四边形的性质,得到4D〃BC,AB=CD,证明△∕1ED≤ΔFEC,得到4。=CF,得到四边形ACFD
是平行四边形,推出力F=CC,即可得到四边形ACFD是矩形.
本题考查平行四边形的判定和性质,矩形的判定.熟练掌握对角线相等的平行四边形是矩形,是
解题的关键.
11.【答案】任意实数
【解析】解:由题意,得:(α-l)2≥0,
α为任意实数.
故答案为:任意实数.
根据二次根式的被开方数大于等于0,列式进行求解即可.
本题考查二次根式有意义的条件.熟练掌握二次根式的被开方数大于等于0,是解题的关键.
12.【答案】等腰直角三角形
【解析】解:•・・△4BC的三边长分别为:√^3,√-3,√-6,且(/百尸+(C/=(,⑥2,
・•・△4BC是直角三角形,
,∙,Λ∕~^3=√-3>
••.△ABC是等腰直角三角形,
故答案为:等腰直角三角形.
根据勾股定理的逆定理,得出三角形是直角三角形.
本题主要考查勾股定理的逆定理,根据勾股定理的逆定理得出三角形是直角三角形,是解题的关
键.
13.【答案】X2+32=(IO-X)2
【解析】解:设AC=X,
VAC+AB=10,
AB=10—X.
在Rt△?!BC中,Z.ACB=90°,
.∙.AC2+BC2=AB2,即/+32=(10—χ)2.
故答案为:X2+32=(10-x)2.
设AC=X,可知4B=10-x,再根据勾股定理列方程即可得出结论.
本题考查的是勾股定理的应用,在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实
际问题常用的方法,关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型.
14.【答案】3
【解析】解:•••平行四边形ABC。中,对角线AC,BO交于点。,
.-.AB=CD,。为AC的中点,
EO1.AC,
Eo为AC的中垂线,
・•・AE=EC,
・•.△ABE的周长为=AB+BE+AE=AB+BE+CE=AB+BC=8,
ʌAB=CD=3;
故答案为:3.
根据平行四边形的对角线互相平分,得到。为AC的中点,进而得到EO为AC的中垂线,得到AE=EC,
推出△4BE的周长为∕B+8C,求出48的长,即可得解.
本题考查平行四边形的性质,中垂线的判定和性质.解题的关键是判断出E。为AC的中垂线.
15.【答案】3或6
【解析】解:当ACE尸为直角三角形时,有两种情况:
①当点F落在矩形内部时,如图所示,
连接4C,
在Rt△ABC中,AB=6,BC=8>
.∙.AC=√82+62=10,
由折叠的性质得,
.∙.∆AFE=LB=90°,
当ACEF为直角三角形时,只能得到NEFC=90。,
点4、尸、C共线,即NB沿AE折叠,使点B落在对角线AC上的点F处,如图,
.∙.EB=EF,AB=AF=6,
.∙.CF=10-6=4,
设BE=X,则EF=x,CE=S-X,
在Rt△CEF中,
EF2+CF2=CE2,
即/+42=(8-χ)2,
解得X=3,
・•・BE=3;
②当点尸落在40边上时,如图所示,
D
此时四边形ABEF为正方形,
.∙.BE=AF=6.
综上所述,BE的长为3或6.
故答案为:3或6.
当ACE尸为直角三角形时,有两种情况:①当点尸落在矩形内部时,连接4C,先利用勾股定理计
算出AC=10,根据折叠的性质得NAFE=NB=90。,而当△CEF为直角三角形时,只能得到
乙EFC=90°,所以点4、F、C共线,即NB沿4E折叠,使点B落在对角线4C上的点F处,则EB=EF,
AB=AF=6,可计算出CF=4,设BE=X,贝IJEF=x,CE=8-X,然后在Rt△CE尸中运用勾
股定理可计算出X.②当点F落在4D边上时,此时四边形ABEF为正方形.
本题考查了折叠问题,矩形的性质以及勾股定理,解题的关键是掌握折叠前后两图形全等,即对
应线段相等;对应角相等,注意分类讨论思想的应用.
16.【答案】解:(1)原式=,45—120
=3√^5-2√^5
=√-5;
(2)原式=1+5-4√^5+4+2-3
=9-4√^5∙
【解析】(1)根据二次根式的混合运算进行计算即可.
(2)根据完全平方式和平方差公式展开,再根据二次根式的混合运算进行计算即可.
本题考查了二次根式的混合运算,熟练掌握完全平方式和平方差公式和二次根式的混合运算法则
是解题的关键.
17.【答案】秦九韶公式
【解析】解:(1)•••三边都是根号形式,
故用秦九韶公式能计算更简便;
故答案为:秦九韶公式;
(2)Va=V^5,b=V^6lc=V^7,
・•・a2=5,b2=6,¢2=7,
∙∙∙s=J"2一甘衿2]
=J'[5x6-(手)2]
=J扣。-(汩
=Jx30_4]
(1)根据三边数字特点即可选择正确的公式;
(2)将三边的值代入公式计算即可.
本题主要考查根式的计算,正确的计算二次根式是解题的关键.
18.【答案】解:AB=DE=5,BE=1,
ʌAE=AB—BE=4,
VAE2+AD2=42+32=25,
DE2=52=25,
.∙.AE2+AD2=DE2,
・•.△ADE是直角三角形,
.∙.4A=90°
・•・ADLAB,
VZ.C=90°
・•・DC1BC,
•・・BD平分乙4BC,
.・.CD=AD=3.
【解析】先根据勾股定理逆定理证明△4DE是直角三角形,得出4D14B,根据DCLBC,BD平
分NABC,即可得出结果.
本题主要考查了勾股定理的逆定理,角平分线的性质,解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理
判断△4。E是直角三角形.
19.【答案】(1)解:如图所示即为所求;
(2)证明:四边形ABCD是平行四边形,
^AD//BC1AD=BC9
:,∆AFB=∆FBE,
•・•BF平分NaBC,
・•・∆ABF=乙FBE,
・•・Z.AFB=乙ABF,
:,AB=AFf
VAB—BE,
:•AF=BE,
VADIlBC,
,四边形48EF为平行四边形,
VAB=BE,
二四边形ABEF为菱形.
【解析】(1)根据题意作图即可;
(2)根据平行四边形的性质得出4D〃BC,AO=8C,再由各角之间的关系得出乙4尸8=乙4BF,利
用等角对等边确定AB=A凡结合菱形的判定即可证明.
本题考查基本的作图方法及平行四边形的性质、菱形的判定,理解题意,熟练掌握这些基础知识
点是解题关键.
20.【答案】⑴证明:四边形48CD是矩形,
.∙.AD/∕BC,AD=BC,
•••E,F分别是4。、BC的中点,
.∙.DE=^AD,BF=∣βf,
.∙.DE—BF,
四边形BEDF是平行四边形:
(2)解:四边形EGFH为菱形;理由如下:
•••四边形ABCD是矩形,
.∙.AD∕∕BC,AD=BC,∆BAE=/-ABF=90°,
∙∙∙E,F分别是A。、BC的中点,
.∙.AE=DE=^AD,BF=CF=加,
.∙.AE=DE=BF=CF,
••・四边形BEDF和四边形4尸CE均为平行四边形,
.∙.BE//DF,AF//CE,
四边形EGFH是平行四边形,
在ZMBE与4B4F中,
AB=BA
∆BAE=LABF,
.AE=BF
:.^ABE^^BAF(SAS),
・•.∆ABE=∆BAF,BE=AF,
∙∙∙BG=AG,
・・・EG=FG,
.•・四边形EGFH是菱形.
【解析】(1)根据矩形的性质可得=BC,根据E,F分别是2D、BC的中点可得Z)E=BF,
根据平行四边形的判定即可求证;
(2)根据矩形的性质可得4O∕∕BC,AD=BC,∆BAE=Z.ABF=90°,根据E,F分别是4。、BC的
中点可得AE=DE=BF=CF,根据平行四边形的判定可得四边形BEDF和四边形AFCE均为平行
四边形,即可证得四边形EGFH是平行四边形,根据全等三角形的判定和性质可得NABE=NBaF,
BE=AF,推得EG=FG,根据菱形的判定即可求证.
本题考查了矩形的性质,平行四边形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,菱形的判定,熟
练掌握以上判定和性质是解题的关键.
21.【答案】解:(1)如图所示,△>!BC即为所求作三角形;
图2
(2)如图所示,ADEF即为所求作三角形;
(3)如图所示,平行四边形GHMN即为所求作平行四边形;
(4)ADEF为直角三角形.
理由:∙.∙(O+(2√^2)2=2+8=10,
(√Iθ)2=10.
二(O+(2/1)2=2,
••.△DEF为直角三角形.
【解析】(1)根据直角三角形的概念和网格的特点求解即可;
(2)根据勾股定理和网格的特点求解即可;
(3)根据勾股定理,平行四边形的概念和网格的特点求解即可;
(4)根据勾股定理和勾股定理的逆定理求解即可.
此题考查了网格中作直角三角形和平行四边形,勾股定理和勾股定理的逆定理等知识,解题的关
键是熟练掌握以上知识点.
22.【答案】解:(1)如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么α2+b2=c2
(2)S梯形=g(α+b)(α+b)=:(α+b)2,
S梯形—SA4BE+2SXABC
1ɔ1
=-C2÷2×-ab
19
=-cz÷αh,
・•・g(ɑ+b)2=ɪe2+αh,
ʌα2÷h2=c2;
(3)在Rt△7WE中,AE=√AB2^BE2=20,
.∙.(16+12-20)×1000=8000(元);
答:增加了8000元.
【解析】(1)根据题意可直接进行求解;
(2)根据等积法可进行求解;
(3)利用勾股定理可进行求解.
本题主要考查勾股定理的应用,熟练掌握勾股定理
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