2022-2023学年山西省吕梁市交城县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年山西省吕梁市交城县八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.计算（一，歹）2的结果是（）

A.-4B.-2C.2D.4

2.下列二次根式，化简后能与√不合并的是（）

A.√1oB.√7δC.√^^oD.√^^0^5

3.在RtΔ4BC中，NC=90o,AB=5,AC=3,则AABC的面积为（）

A.6B.yC.10D.20

4.我国是最早了解勾股定理的国家之一，早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾

三、股四、弦五”这一结论，被记载于我国古代一部著名的数学著作中，这部著作是（）

《孙子算经》

《九章算术少

5.下列运算正确的是（）

A.√36=÷6

C.√12÷V-4=y[~3

6.如图，在平行四边形4BG）中，AB=5cm,AB-AD=2.2cm,贝IJBe的长为（）

A.2.2cmB.2.8cmC.5cmD.7.2cm

7.下列命题中正确的是（）

A.平行四边形的对角线互相垂直B.矩形的对角线相等

C.对角线相等的平行四边形是菱形D.对角线互相垂直的平行四边形是正方形

8.已知（/亏+2）∙m=n,若n是整数,则m的值可能是（）

A.B./T+2C.ΛΓ5-1D.√^^5-2

9.如图是楼梯的示意图，楼梯的宽为5米，AC=5米，AB=13米，若在楼梯上铺设防滑材

料，则所需防滑材料的面积至少为（）

A.65τn2B.85m2C.9Om2D.150m2

10.如图，点E是平行四边形4BCD的边CD的中点，连接AE并

延长交BC的延长线于点F,连接AC,DF,若ZB=AF,则四

边形ACFD是（）

A.平行四边形

B.矩形

C.菱形

D.正方形

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.二次根式J（α-l）2有意义，则实数a的取值范围是.

12.己知AABC的三边长分别为，3,√^^,√-6,则AABC的形状是

13.《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中

记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺,

问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△4BC中，乙4CB=90°,

ACA-AB=10,BC=3,求AC的长，如果设4C=X,则可列方程为.

14.如图，在平行四边形力BCD中，对角线AC,BD交于点。，E。14C交BC于点E,已知AABE

的周长为8,BC=5,则CD的长为.

A1D

O

15.如图，在矩形4BC。中，AB=6,BC=8,点E是Be边

上一点，连接4E,把AABE沿AE折叠，使点B落在F处，当

∆CEF为直角三角形时，BE=.

三、解答题(本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

16.(本小题8.0分)

计算：

(1)∫∣×√^7-√W÷J1:

(2)J(-1)2+(<5-2)2+(√^+√^^3)(√^-/3).

17.(本小题7.0分)

已知三角形的三边α,b,c,可以求出这个三角形的面积.古希腊几何学家海伦的公式为：S=

√P(P—α)(p—b)(p—c)(其中P="罗)；我国南宋著名数学家秦九韶的公式为：S=

J/2炉_(吐卢)2].若一个三角形的三边长分别是，G√~6,yΓ7,求这个三角形的面

积.

(1)你认为选择(填海伦公式或秦九韶公式)能使计算更简便；

(2)请利用你选择的公式计算出这个三角形的面积.

18.(本小题8.0分)

如图，在四边形ABCD中，BD平分乙4BC,4C=90°,点E是AB上一点，AB=DE=5,若AD=3,

BE=1,求CD的长.

A

D

19.(本小题8.0分)

如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC边上一点，且48=BE,NABC的平分线交AZ)于点F,

连接EF.

(1)尺规作图：根据题意将图形补充完整(保留作图痕迹，不写作法，标注相应字母)；

(2)求证：四边形ABEF是菱形.

20.(本小题10.0分)

如图，在矩形4BC。中，点E、点F分别是40、BC的中点，连接BE,CE,AF,DF,BE与AF交

于点G,CE与Z)F交于点H.

(I)求证：四边形BEDF是平行四边形；

(2)请判断四边形EGFH的形状，并说明理由.

21.(本小题10.0分)

按要求作图：下面三幅网格图中的小正方形的边长都为1,每个小正方形的顶点称为格点.

图I图2图3

(1)在图1中作一个边长都为整数的格点直角三角形ABC；

(2)在图2中作一个边长分别为，天，2√^2,CU的格点三角形DEF；

(3)在图3中作一个有一边长为一亏的格点平行四边形GHMN.

(4)请判断图2中所作AOE9的形状，并说明理由.

22.(本小题12.0分)

问题情境：

勾股定理是一个古老的数学定理，它有很多种证明方法.下面利用拼图的方法探究证明勾股定

理；

定理表述：

(1)请你结合图1中的直角三角形，叙述勾股定理(可以选择文字语言或符号语言叙述)；

尝试证明：

(2)利用图1中的直角三角形可以构造出如图2的直角梯形，请你利用图2证明勾股定理；

定理应用：

(3)某工程队要从点4向点E铺设管道，由于受条件限制无法直接沿着线段AE铺设，需要绕道

沿着矩形的边48和BC铺设管道，经过测量AB=I6米，BE=12米，已知铺设每米管道需资

金IOOO元，请你帮助工程队计算绕道后费用增加了多少元？

An

Ar--------------------------------------∣D

≥:A______________C

-~~⅛Bh------------⅛-----------------------Ie

O

图1雕图3

23.(本小题12.0分)

如图1,四边形力BCD是菱形，点E,点F分别是4B,CB边上的动点，AE=CF,连接DE,DF交

(1)求证：DG=DH；

(2)如图2,连接BG,BH,请判断四边形DGBH是什么特殊四边形？并说明你的理由；

(3)在图2中，如果AB=4,∆DAB=60°,试探究在点E,F运动过程中，如果四边形CGBH成

为正方形，则4G的长度是多少？(请直接写出答案)

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：（―，9）2=2.

故选：C.

直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案.

此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键.

2.【答案】C

【解析】解：4∙.∙E是最简二次根式，

•••不能与门合并，故A项不符合题意；

B.∙.∙√-18=3√^>

不能与，亏合并，故8项不符合题意；

C,∙.∙<^20=2√-5,

•••能与C合并，故C项符合题意；

。、∙∙∙E=O=殍'

不能与，亏合并，故。项不符合题意；

故选：C.

利用二次根式的性质将各项化简为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义即可解答；

本题考查了二次根式的性质，最简二次根式的定义，同类二次根式的定义，熟记二次根式的性质

是解题的关键.

3.【答案】A

【解析】解：•••在Rt△力BC中，NC=90。，AB=5,AC=3,

.∙.BC=√AB2-AC2=4，

：,△ABC的面积为:4C∙BC=j×3×4=6i

故选：A.

勾股定理求出8C的长，面积公式进行求解即可.

本题主要考查三角形的面积公式，根据勾股定理求出BC的长，根据面积公式进行求解是解题的关

键.

4.【答案】D

【解析】解：我国是最早了解勾股定理的国家之一，早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了

“勾三、股四、弦五”这一结论，被记载于倜髀算经之中.

故选：D.

由周朝数学家商高就提出了“勾三、股四、弦五”记载于凋髀算经》之中，可得出结论.

本题考查了勾股定理以及数学常识，牢记周朝数学家商高就提出了“勾三、股四、弦五”记载于（f

周髀算经沙之中是解题的关键.

5.【答案】C

【解析】解：4、06=6,故A选项错误，不符合题意；

—√-3=3ΛΛ^3,故8选项错误，不符合题意；

C、√12÷√^4=√^3,故C选项正确，符合题意；

D、J^j×√-12=J∣×12=√T8=3<2.故。选项错误，不符合题意.

故选：C.

根据算术平方根的含义，合并同类二次根式，二次根式的乘法与除法法则逐项进行计算即可得.

本题考查的是算术平方根的含义，合并同类二次根式，二次根式的乘法与除法，掌握以上运算是

解题的关键.

6.【答案】B

【解析】解：丫48=5cm,AB—AD=2.2cm,

AD-2.8cm,

•••四边形4BCD是平行四边形，

BC=AD=2.8cm,

故选:B.

先求出AD=2.8cm,再根据平行四边形对边相等即可得到答案.

本题主要考查了平行四边形的性质，熟知平行四边形对边相等是解题的关键.

7.【答案】B

【解析】解：4、平行四边形的对角线互相平分，故此选项错误；

8、矩形的对角线相等，故此选项正确；

C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故此选项错误；

。、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故此选项错误.

故选:B.

直接利用平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质和判定方法分别分析得出答案.

此题主要考查了平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定和性质，正确把握相关四边形的性质和

判定方法是解题关键.

8.【答案】D

【解析】解：（C+2）∙（K-2）=5-4=l,

∙∙∙m的值可能是4-2,

故选：D.

利用平方差公式找出括号中式子的有理化因式即可.

此题考查了式子的有理化因式，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题

的关键.

9.【答案】B

【解析】解：由图可知：NC=90。，

■■AC=5米，AB=13米，

ʌBC=√AB2-AC2=12米，

由平移的性质可得：水平的防滑毯的长度=BC=12（米），铅直的防滑毯的长度=AC=5（米），

二至少需防滑毯的长为：4。+8。=17（米），

•••防滑毯宽为5米

二至少需防滑毯的面积为：17x5=85（平方米）.

故选:B.

勾股定理求出BC,平移的性质推出防滑毯的长为AC+BC,利用面积公式进行求解即可.

本题考查勾股定理.解题的关键是利用平移，将防滑毯的长转化为两条直角边的边长之和.

10.【答案】B

【解析】解：・・・平行四边形4BCD,

：,ADllBC,AB=CD,

∆ADE=Z-FCE,

•：E是平行四边形ABC。的边CD的中点，

CE=DE,

又（AED=乙FEJ

•••△4EO三△尸ECG4S4）,

・•,AD=CF,

-AD//BC,即：AD//CF,

，四边形4CFD是平行四边形，

VAB=AF,

••・AF-CD,

•••平行四边形力CFD是矩形.

故选：B.

平行四边形的性质，得到4D〃BC,AB=CD,证明△∕1ED≤ΔFEC,得到4。=CF,得到四边形ACFD

是平行四边形，推出力F=CC,即可得到四边形ACFD是矩形.

本题考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定.熟练掌握对角线相等的平行四边形是矩形，是

解题的关键.

11.【答案】任意实数

【解析】解：由题意，得：（α-l）2≥0,

α为任意实数.

故答案为：任意实数.

根据二次根式的被开方数大于等于0,列式进行求解即可.

本题考查二次根式有意义的条件.熟练掌握二次根式的被开方数大于等于0,是解题的关键.

12.【答案】等腰直角三角形

【解析】解：•・・△4BC的三边长分别为：√^3,√-3,√-6,且（/百尸+（C/=（，⑥2,

・•・△4BC是直角三角形，

,∙,Λ∕~^3=√-3>

••.△ABC是等腰直角三角形，

故答案为：等腰直角三角形.

根据勾股定理的逆定理，得出三角形是直角三角形.

本题主要考查勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理得出三角形是直角三角形，是解题的关

键.

13.【答案】X2+32=(IO-X)2

【解析】解：设AC=X,

VAC+AB=10,

AB=10—X.

在Rt△?!BC中，Z.ACB=90°,

.∙.AC2+BC2=AB2,即/+32=(10—χ)2.

故答案为：X2+32=(10-x)2.

设AC=X,可知4B=10-x,再根据勾股定理列方程即可得出结论.

本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实

际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型.

14.【答案】3

【解析】解：•••平行四边形ABC。中，对角线AC,BO交于点。，

.-.AB=CD,。为AC的中点，

EO1.AC,

Eo为AC的中垂线，

・•・AE=EC，

・•.△ABE的周长为=AB+BE+AE=AB+BE+CE=AB+BC=8,

ʌAB=CD=3；

故答案为：3.

根据平行四边形的对角线互相平分，得到。为AC的中点，进而得到EO为AC的中垂线，得到AE=EC,

推出△4BE的周长为∕B+8C,求出48的长，即可得解.

本题考查平行四边形的性质，中垂线的判定和性质.解题的关键是判断出E。为AC的中垂线.

15.【答案】3或6

【解析】解：当ACE尸为直角三角形时，有两种情况:

①当点F落在矩形内部时，如图所示，

连接4C,

在Rt△ABC中，AB=6,BC=8>

.∙.AC=√82+62=10,

由折叠的性质得，

.∙.∆AFE=LB=90°,

当ACEF为直角三角形时，只能得到NEFC=90。，

点4、尸、C共线，即NB沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点F处，如图,

.∙.EB=EF,AB=AF=6,

.∙.CF=10-6=4,

设BE=X,则EF=x,CE=S-X,

在Rt△CEF中，

EF2+CF2=CE2,

即/+42=(8-χ)2,

解得X=3,

・•・BE=3；

②当点尸落在40边上时，如图所示,

D

此时四边形ABEF为正方形，

.∙.BE=AF=6.

综上所述，BE的长为3或6.

故答案为：3或6.

当ACE尸为直角三角形时，有两种情况：①当点尸落在矩形内部时，连接4C,先利用勾股定理计

算出AC=10,根据折叠的性质得NAFE=NB=90。，而当△CEF为直角三角形时，只能得到

乙EFC=90°,所以点4、F、C共线，即NB沿4E折叠，使点B落在对角线4C上的点F处，则EB=EF,

AB=AF=6,可计算出CF=4,设BE=X,贝IJEF=x,CE=8-X,然后在Rt△CE尸中运用勾

股定理可计算出X.②当点F落在4D边上时，此时四边形ABEF为正方形.

本题考查了折叠问题，矩形的性质以及勾股定理，解题的关键是掌握折叠前后两图形全等，即对

应线段相等；对应角相等，注意分类讨论思想的应用.

16.【答案】解：(1)原式=，45—120

=3√^5-2√^5

=√-5;

(2)原式=1+5-4√^5+4+2-3

=9-4√^5∙

【解析】(1)根据二次根式的混合运算进行计算即可.

(2)根据完全平方式和平方差公式展开，再根据二次根式的混合运算进行计算即可.

本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握完全平方式和平方差公式和二次根式的混合运算法则

是解题的关键.

17.【答案】秦九韶公式

【解析】解：(1)•••三边都是根号形式，

故用秦九韶公式能计算更简便；

故答案为：秦九韶公式；

（2）Va=V^5,b=V^6lc=V^7,

・•・a2=5,b2=6,¢2=7,

∙∙∙s=J"2一甘衿2]

=J'[5x6-（手）2]

=J扣。-（汩

=Jx30_4]

(1)根据三边数字特点即可选择正确的公式；

(2)将三边的值代入公式计算即可.

本题主要考查根式的计算，正确的计算二次根式是解题的关键.

18.【答案】解：AB=DE=5,BE=1,

ʌAE=AB—BE=4,

VAE2+AD2=42+32=25,

DE2=52=25,

.∙.AE2+AD2=DE2,

・•.△ADE是直角三角形，

.∙.4A=90°

・•・ADLAB,

VZ.C=90°

・•・DC1BC,

•・・BD平分乙4BC,

.・.CD=AD=3.

【解析】先根据勾股定理逆定理证明△4DE是直角三角形，得出4D14B,根据DCLBC,BD平

分NABC,即可得出结果.

本题主要考查了勾股定理的逆定理，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理

判断△4。E是直角三角形.

19.【答案】(1)解：如图所示即为所求;

(2)证明：四边形ABCD是平行四边形，

^AD//BC1AD=BC9

：,∆AFB=∆FBE,

•・•BF平分NaBC,

・•・∆ABF=乙FBE,

・•・Z.AFB=乙ABF,

：,AB=AFf

VAB—BE,

：•AF=BE,

VADIlBC,

，四边形48EF为平行四边形，

VAB=BE,

二四边形ABEF为菱形.

【解析】(1)根据题意作图即可；

(2)根据平行四边形的性质得出4D〃BC,AO=8C,再由各角之间的关系得出乙4尸8=乙4BF,利

用等角对等边确定AB=A凡结合菱形的判定即可证明.

本题考查基本的作图方法及平行四边形的性质、菱形的判定，理解题意，熟练掌握这些基础知识

点是解题关键.

20.【答案】⑴证明：四边形48CD是矩形，

.∙.AD/∕BC,AD=BC,

•••E,F分别是4。、BC的中点，

.∙.DE=^AD,BF=∣βf,

.∙.DE—BF,

四边形BEDF是平行四边形：

(2)解：四边形EGFH为菱形；理由如下：

•••四边形ABCD是矩形，

.∙.AD∕∕BC,AD=BC,∆BAE=/-ABF=90°,

∙∙∙E,F分别是A。、BC的中点，

.∙.AE=DE=^AD,BF=CF=加,

.∙.AE=DE=BF=CF,

••・四边形BEDF和四边形4尸CE均为平行四边形，

.∙.BE//DF,AF//CE,

四边形EGFH是平行四边形，

在ZMBE与4B4F中，

AB=BA

∆BAE=LABF,

.AE=BF

：.^ABE^^BAF(SAS),

・•.∆ABE=∆BAF,BE=AF,

∙∙∙BG=AG,

・・・EG=FG,

.•・四边形EGFH是菱形.

【解析】(1)根据矩形的性质可得=BC,根据E,F分别是2D、BC的中点可得Z)E=BF,

根据平行四边形的判定即可求证；

(2)根据矩形的性质可得4O∕∕BC,AD=BC,∆BAE=Z.ABF=90°,根据E,F分别是4。、BC的

中点可得AE=DE=BF=CF,根据平行四边形的判定可得四边形BEDF和四边形AFCE均为平行

四边形，即可证得四边形EGFH是平行四边形，根据全等三角形的判定和性质可得NABE=NBaF,

BE=AF,推得EG=FG,根据菱形的判定即可求证.

本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，熟

练掌握以上判定和性质是解题的关键.

21.【答案】解：(1)如图所示，△>!BC即为所求作三角形;

图2

(2)如图所示，ADEF即为所求作三角形;

(3)如图所示，平行四边形GHMN即为所求作平行四边形;

(4)ADEF为直角三角形.

理由：∙.∙(O+(2√^2)2=2+8=10，

(√Iθ)2=10.

二(O+(2/1)2=2,

••.△DEF为直角三角形.

【解析】(1)根据直角三角形的概念和网格的特点求解即可；

(2)根据勾股定理和网格的特点求解即可；

(3)根据勾股定理，平行四边形的概念和网格的特点求解即可；

(4)根据勾股定理和勾股定理的逆定理求解即可.

此题考查了网格中作直角三角形和平行四边形，勾股定理和勾股定理的逆定理等知识，解题的关

键是熟练掌握以上知识点.

22.【答案】解：(1)如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么α2+b2=c2

(2)S梯形=g(α+b)(α+b)=:(α+b)2,

S梯形—SA4BE+2SXABC

1ɔ1

=-C2÷2×-ab

19

=-cz÷αh,

・•・g(ɑ+b)2=ɪe2+αh,

ʌα2÷h2=c2;

(3)在Rt△7WE中，AE=√AB2^BE2=20,

.∙.(16+12-20)×1000=8000(元)；

答：增加了8000元.

【解析】(1)根据题意可直接进行求解；

(2)根据等积法可进行求解；

(3)利用勾股定理可进行求解.

本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理