2023-2024学年广东省佛山市高二年级上册期中数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年广东省佛山市高二上学期期中数学模拟试题

一、单选题

1.若P(A)=O∙2,P(8)=0.7且A与B相互独立,则P(AB)=()

A.0.14B.0.9C.0.2D.0.7

【正确答案】A

【分析】代入相互独立事件概率公式求解即可.

【详解】由题意知A与B相互独立，

则P(Aβ)=P(A)∙P(8)=0.2x0.7=0.14.

故选:A.

2.若空间中任意四点O,A,B,P满足。P=/”04+"08,其中m+"=l,贝!|()

A.P∈直线AB

B.PC直线AB

C.点尸可能在直线AB上，也可能不在直线A8上

D.以上都不对

【正确答案】A

【分析】利用减法法则化简已知得λ>=〃低，再根据乃，蕊有公共起点4,即可判断得解.

【详解】因为根+"=1,所以机=1—〃，

所以d=(—办，

即OP-OA^n<^OB-OA)y'

即A>="A⅛,所以λ>与几共线•

又成，矗有公共起点4所以P，4B三点在同一直线上，即P∈直线AB.

故选：A

3.若直线过点(2,4),(1,4+退)，则此直线的倾斜角是()

A.30°B.60"C.120'D.150°

【正确答案】C

【分析】根据斜率的坐标表示以及人=tana,故可得结果.

【详解】由题意知，直线的斜率Z=-√L

即直线的倾斜角a满足tana=-√3,

又0°≤c<180",.∙.α=120∖

故选：C

本题主要考查斜率与倾斜角的关系，属基础题.

4.盒子里有4个白球和5个黑球，从中任取一个，取出白球的概率是()

A.-9B.-9C.y2D.—io

【正确答案】B

【分析】用古典概型求解.

4

【详解】盒子里共有9个球，其中4个白球，所以由古典概型得从中任取一个，取出白球的概率是:

故选：B

5.如图.空间四边形OABC中，QA=a,OB="OC=c∙,点M在。A上，且满足OM=2M4,点N为

Be的中点，则MN=()

221

A.—a——b+-cB.-a-∖--b——c

232332

c.一。+一1。,——1cD.二J+L

222322

【正确答案】D

【分析】根据空间向量的加减和数乘运算直接求解即可.

1ɔ011

【详解】MN=ON-OM=-(θB+OC]——OA=——a+-h+-c.

21)3322

故选：D.

6.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A="第一枚硬币正面朝上“，事件3="第二枚硬币正面朝上”.

下列结论正确的是()

A.A与B互为对立事件B.4与8互斥

C.A与8相等D.P(A)=P(B)

【正确答案】D

【分析】先把抛掷两枚质地均匀的硬币的所有可能结果都罗列出来，然后再把事件A和事件B包含

的可能结果找出来，然后根据事件对立、互斥、相等的定义即可判断ABC选项：对于D选项，只

要根据古典概型的概率计算公式计算出事件A和事件B的概率即可判断.

【详解】抛掷两枚质地均匀的硬币的所有可能结果有：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)

4种结果，

事件A包含的结果有：(正，正)，(正，反)2种，事件B包含的结果有：(正，正)，(反，正)2

种，

显然事件A和事件B都包含(正，正)这一结果，即事件A和事件B能同时发生，

所以事件A和事件B既不对立也不互斥，故选项A、B错误；

事件A和事件8中有不同的结果，所以事件A和事件8不相等，故选项C错误；

2121

由古典概型得P(A)=(=5,P(B)=(=j所以P(A)=P(B),故选项D正确；

故选：D.

7.已知空间直角坐标系。一孙Z中,OA=(1,2,3),08=(2,1,2),OP=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,

则当QAQB取得最小值时，点。的坐标为()

A(ɪɜɪ)BCD(ɪ^ɪ)

"2'4,3'2,2'4'3,3,3，2彳3

【正确答案】C

【分析】利用向量0Q〃OP表示出点Q坐标，再求出QA，QB的坐标，借助数量积建立函数关系即

可求解.

【详解】因点。在直线OP上运动，则0Q〃0P，设OQ=fOP=(f,f,2r),于是有Q(∕J,2∕),

因为OA=(1,2,3),OB=(2,1,2),所以A(l,2,3),8(2,1,2),

因此QA=(I-f,2-r,3-2f),Qβ=(2-t,∖-t,2-2t),

于是得Q4Q8=(1τ)(2-r)+(2-∕)(l-z)+(3-2/)(2-2r)

=6∕-16f+10=6,-g)-|,

则当,时，(QAQB)=~,此时点。传m

3'∕mιn333J

(448、

所以当Q4Q8取得最小值时，点Q的坐标为.

故选：C

8.如图，在棱长为2的正方体ABC。-A4GA中，点E、F分别是棱A8、BC的中点，则点G到

平面BEF的距离等于()

2√3

rK-Z.------d

333∙i

【正确答案】D

【分析】建立空间直角坐标系，找到平面旦EF的法向量，利用向量法求点到平面的距离求解即可.

【详解】以R为坐标原点，分别以RA，RG,。。的方向为X轴、y轴、Z轴的正方向建立空间

直角坐标系，则4(2,2,0),C1(0,2,0),£(2,1,2),F(l,2,2).

设平面B1EF的法向量为"(x,Z),

B1E=(0,-1,2)B1F=(-1,0,2)

由£=O

贝Jj-y+2z=0

Jnʌ

n由FO

=-x+2z=0

令z=l,得〃=(2,2,1).

又B1C1=(-2,0,0),

-八_._-ɪ-,,,.---X-∖n`BCII—2×2÷0÷0∣4

点G到平面BnlErrF的ft距πt蜀力f=J_3xx=!」=

l«l√22+22+l3

故选.£)

本题用向量法求点到平面的距离，我们也可以用等体积法求点到平面的距离，当然也可以找到这个

垂线段，然后放在直角三角形中去求.

二、多选题

TT

9.三棱锥A-BCO中，平面ABO与平面3C。的法向量分别为勺,丐，若＜“,％〉=§,则二面角

A—80—C的大小可能为()

πCπ

A.-B.-

63

C型D-

'3,6

【正确答案】BC

【分析】由二面角的大小与法向量夹角相等或互补即可求得结果.

【详解】,.二面角的大小与法向量的夹角相等或互补，

••・二面角A—3D—C的大小可能为g或乃-g=4∙

333

故选：BC.

10.设A,B为两个随机事件，以下命题正确的为()

A.若A,8是互斥事件，P(A)=!，P(B)=:，则P(48)=，

326

B.若A,B是对立事件，则P(AU8)=1

12—1

C.若A,8是独立事件，P(A)=-,P(B)=-,则P(AB)=W

D.若P(K)=2,P(a=1，HP(AB)=I则A,B是独立事件

324

【正确答案】BC

【分析】利用互斥事件与相互独立事件的性质逐一判断即可

【详解】对于A：若A,B是互斥事件，P(A)=p尸⑻=；，则P(AB)=→^=∣,故A错误;

对于B：若A,B是对立事件，则P(A3)=P(A)+P(5)=1,故B正确；

对于C：若A,B是独立事件，P(A)=∣,P(B)=∣,则A,万也是独立事件咿)=:，则

ɔJɔ

P(AB)=P(Λ)P(B)=∣×∣=∣,故C正确：

对于D：若P(N)=g,P(历=g,则P(B)=g且P(M)=*gx；=尸冈P(B),则储8不是独立

事件，故A,B也不是独立事件，故D错误;

故选：BC

II.已知空间中三点A(O,1,O),8(2,2,0),C(-l,3,l),则下列说法正确的是()

A.AB与Ae是共线向量B.与AB同向的单位向量是］萼，4,0

C.A8和BC夹角的余弦值是华D.平面ABC的一个法向量是(1,-2,5)

【正确答案】BD

【分析】根据共线向量的坐标表示可知A错误；

AB

根据与AB同向的单位向量为百，计算可知B正确；

利用向量夹角公式计算可知C错误；

根据法向量的求法可知D正确.

【详解】对于A,ΛB=(2,l,0),AC=(T2,1),可知A8=∕IAC,AB与AC不共线，A错误;

、IIABf2√5√5

对于B,AB=(z2』,0),.∙∙∣AB∣=br,网=1三一,与,0)即与AB同向的单位向量是

(2石亚力ŋT由

一^-，W，。，B正确；

155,

,、λdABBC-5√55

对于C,8C=(-3,1』)，∙∙∙MA8,BC>=阿阿=Err-丁，

即A8和BC夹角的余弦值为-手，C错误；

对于D,设平面ABC的法向量〃=(x,y,z),

则"∙Ag=2x+y=0,令X=],解得：尸-2,z=5,r.”=(1,-2,5),

n∙BC--3x+y+z=0

即平面ABC的一个法向量为(1,-2,5),D正确.

故选：BD.

12.如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，AD∕∕BC,AD=4,XABC=90,PAL

平面ABC。，PA=AB=BC=I,下列说法正确的是()

A.P8与Co所成的角是60

B.平面PCo与平面尸班所成的锐二面角余弦值是迈

3

C.PB与平面PCO所成的角的正弦值是理

6

D.M是线段PC上动点，N为AD中点，则点P到平面BMN距离最大值为逑

3

【正确答案】AC

【分析】由题意，建立空间直角坐标系，利用向量处理问题，结合相关的夹角公式与点到面的距离

公式运算求解，注意线上动点的向量设法.

【详解】由题意，以A为原点，以A8,40,AP所在的直线分别为X轴、旷轴和Z轴建立空间直角坐标

系，如图所示,

可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),0(0,4,0),P(0,0,2),

对于A中，可得BP=(-2,0,2),C£>=(-2,2,0),

所以COS<8P,CZ))BPCD41

∣BP∣∣CD∣^2√2×2√2^2

所以BP与C。的夹角的余弦值为g，即夹角为60,所以A正确;

对于B中，由平面RU?的法向量为W=(0,1,0),

又由PC=(2,2,-2),CD=(-2,2,0)，

2x+2y-2z=O

设平面PC£)的法向量为"=(x,y,z),则"

-2x+2y=0

令X=1,可得y=l,z=2,所以"=(1,1,2),

/∖m`n√6

所以COS

所以平面PCo与平面PBA所成的锐二面角余弦值是逅，B错误.

6

BPn2√3

对于C中，由CoS(BP,〃)=

∣BP∣∣n∣-2√2×√6-6'

所以尸B与平面PCO所成的角的正弦值是C正确;

6

对于D中，N(0,2,0)

iSaPM=λPC,λG[0,1],贝IJM(2Λ,22,2-22)

BN=(-2,2,0),BM=(24-2,242-2彳)

[-2x÷2y=O

设平面BMN的法向量为P=(Q,z)'则∣(2"2)x+2为+(2-22)z=0'

令X=X—1,则y=<Λ-l,z=24-1,BPp=(Λ—1,A—1,2A—1)

∙/BP=(-2,0,2)

_卜

tP∙P∣_2/12

2

...点P到平面BMN距离为，|/?|√6λ-8Λ+3

当2=0时，则点做为点?

...点P到平面BMN距离为O

当2∈(0,l]时，则!e[l,+∞)

Z

λ3(ι)^8(i)+6e∙∣,+∞),则de(θ,√^

综上所述：点P到平面BMN距离的取值范围为[。,#],即最大值为"，D错误

故选：AC.

三、填空题

13.设直线/的方向向量为m=(2,T,z),平面α的一个法向量为〃=(4,-2,-2),若直线〃/平面α,

则实数Z的值为.

【正确答案】5

【分析】由线面平行可得心，〃，由向量垂直的坐标表示可构造方程求得Z的值.

【详解】直线〃/平面α,.•.，〃，〃，SP8+2-2z=0,解得.z=5

故答案为.5

四、双空题

14.笛卡尔是世界著名的数学家，他因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父.据说在他生

病卧床时，还在反复思考一个问题：通过什么样的方法，才能把"点''和"数”联系起来呢？突然，他

看见屋顶角上有一只蜘蛛正在拉丝织网，受其启发建立了笛卡尔坐标系的雏形。在空间直角坐标系

中，A(l,-1,-1)关于y轴对称的点的坐标是；点C是点8(3,4,5)在坐标平面OXy内的射影,

则|国卜.

【正确答案】(T,T,1)5

【分析】A(L-L-I)关于y轴对称的点是将横坐标与竖坐标变为相反数，纵坐标不变；点3(3,4,5)在

坐标平面OX)，内的射影将竖坐标变为0,其它坐标不变.

【详解】41,-1,-1)关于y轴对称的点是将横坐标与竖坐标变为相反数，为4(-l,T,l);

点仇3,4,5)在坐标平面OXy内的射影将竖坐标变为0,其它坐标不变，故C(3,4,0),故IOq=5.

故(TT,1)；5.

五、填空题

15.佛山市荣山中学30周年校庆学校安排了分别标有序号为“1号”“2号”、“3号”的三辆车，等可能

随机顺序前往酒店接校友。某校友突发奇想，设计了一种乘车方案：不乘坐第一辆车，若第二辆车

的序号大于第一辆车的序号就乘坐此车，否则乘坐第三辆车，记事件A=“乘坐到3号车”，则

P(A)=.

【正确答案】y∕0.5

【分析】列出发车顺序的所有结果，再利用古典概率计算公式求解即得.

【详解】三辆车的出车顺序有：123,132,213,231,312,321,共6个不同结果，它们等可能,

按方案坐到“3号”车的事件有132,213,231,事件A中共3个不同结果，则P(A)=

62

故3

16.已知点P(2,—3),Q(3,2),直线0r+y+2=0与线段PQ相交，则实数。的取值范围是一；

^4Γ

【正确答案】一

【详解】由直线依+y+2=(),即y=-Ur-2,此时直线恒过点4(0,-2),

-2-(-3)1-2-24

则直线PA的斜率k、=:二"=V,直线QA的斜率k=左9=三，

0—2220—3j

若直线0r+y+2=0与线段PQ相交，则-j1≤-4a≤;,即-]4≤α≤]1,

41

所以实数。的取值范围是.

32

点睛：本题考查了两条直线的位置关系的应用，其中解答中把直线与线段有交点转化为直线间的斜

率之间的关系是解答的关键，同时要熟记直线方程的各种形式和直线过定点的判定，此类问题解答

中把直线与线段有交点转化为定点与线段端点斜率之间关系是常见的一种解题方法，着重考查了学

生分析问题和解答问题的能力.

六、解答题

17.已知两直线4：内-勿+4=0,Q(αT)x+y+6=0∙求分别满足下列条件的“，。的值：

⑴直线4过点(-3,-1),并且直线4与4垂直；

⑵直线4与直线4平行，并且直线4在丫轴上的截距为3.

【正确答案】(l)4=2,b=2

3

(2)a=pb=-3

【分析】(1)根据直线垂直的充要条件以及点(-3,T)在直线《上，列出方程组即可解出；

(2)根据两直线平行斜率相等，以及直线纵截距的意义，列出方程，即可解出.

【详解】(1)因为/∕J-∕2,所以“(〃-1)+(—b)∙l=0,即“2—“一6=0.①

又点(一3,—1)在//上，所以-34+6+4=0.②

由①②得a=2,b—2.

(2)因为直线/2在y轴上的截距为3,所以匕=一3,

又4〃4，匕&2=l-α,所以-I=I-α,所以a=故。=]，6=-3.

18.某学校有学生Kxx)人，为了解学生对本校食堂服务满意程度，随机抽取了IOO名学生对本校食

堂服务满意程度打分，根据这IOO名学生的打分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据

分组区间为[4(),50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,9()),[9(),KX)].

(1)求频率分布直方图中”的值，并估计该校学生满意度打分不低于70分的人数；

(2)若采用分层抽样的方法，从打分在［40,60)的受访学生中随机抽取5人了解情况，再从中选取2人

进行跟踪分析，求这2人至少有一人评分在［40,50)的概率.

【正确答案】⑴。=0.006,6A

Q)L

10

【分析】(1)由频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1得到方程，即可求出α,再估计出满意

度打分不低于70分的人数；

(2)首先求出打分在［40,50)和［50,60)内人数，再用列举法列出所有可能结果，最后根据古典概型

的概率公式计算可得.

【详解】(1)由频率分布直方图可知，(Qo但+α+0∙018+0.022x2+0.028)xl0=l,

解得。=0.006.

该校学生满意度打分不低于70分的人数为IoooX(0.28+0.22+0.18)=6.

(2)由频率分布直方图可知，打分在［40,50)和［50,60)内的频率分别为().04和0.06,

抽取的5人采用分层抽样的方法，在［40,50)内的人数为2人，在［50,60)内的人数为3人.

设［40,50)内的2人打分分别为4，%,［50,60)内的3人打分分别为A,A2,A3,

则从［40,60)的受访学生中随机抽取2人，2人打分的基本事件有：

(4,2,(Al,A),(4,&)，(αl,ʌ),(02,4),(¾,Λ),(i⅞,A)>(A，4),(A，5)，(&A)共1。种.

其中两人都在［50,60)内的可能结果为(44),(4,4)，(4,4)，

则这2人至少有一人打分在［40,50)的概率P=l-⅛=⅛.

19.已知空间三点A(0,2,3),8(-2,1,6),C(l,-1,5).

(1)求以A8,AC为邻边的平行四边形的面积；

⑵若向量”分别与AB，AC垂直，且忖=3,求向量〃的坐标.

【正确答案】(1)7G

⑵α=(石,石,6)或“=(-√3,-√3,-√3)

【分析】(1)先求出AB,AC,然后利用向量的夹角公式求出CoSNB4C,从而可求出SinNB4C,再

利用三角形的面积公式可求得答案，

(2)设a=(x,y,z),然后利用向量α分别与AB，AC垂直，且"=3,列方程组可求得答案

【详解】(1)因为A(0,2,3),B(-2,l,6),C(l,-1,5),

所以AB=(-2,-1,3),AC=(1,-3,2),

,nsABAC-2+3+671

所以cos"*=同同=硒+5.石+彳=五=5,

因为()o≤NB4C≤18()o,所以ZBAC=60。，

所以以A8,AC为邻边的平行四边形的面积为

∣AB∣∣AC∣sinZBAC=√4+l+9∙√l+9+4sin60o=14×∙γ=7√3

(2)设a=(x,y,z),

因为向量α分别与A8，AC垂直，

所以卜ABj7+3Z=0,

[α∙AC=x-3y+2z=0

因为忖=3,所以V+y2+z2=9,

解得x=y=z=G或x=y=z=_乖＞,

所以α=(6,点扬或α=(-√3,-√3,-√3)

20.某停车场临时停车按停车时长收费，收费标准为每辆汽车一次停车不超过半小时的免费，超过

半小时的部分每小时收费3元(不足I小时的部分按1小时计算).现有甲、乙两人在该停车场临时

停车，两人停车时长互不影响且都不超过2.5小时.

(1)若甲停车的时长在不超过半小时，半小时以上且不超过1.5小时，1.5小时以上且不超过2.5小时

这三个时段的可能性相同，乙停车的时长在这三个时段的可能性也相同，求甲、乙两人停车付费之和

为6元的概率；

(2)若甲、乙停车半小时以上且不超过1.5小时的概率分别为:，ɪ,停车1.5小时以上且不超过2.5

小时的概率分别为7-求甲、乙两人临时停车付费不相同的概率.

126

【正确答案】(1)；

【分析】(I)根据已知条件及列举法写出基本事件，结合古典概型的计算公式即可求解；

(2)根据互斥事件及相互独立事件的概率公式，结合对立事件的概率计算公式即可求解.

【详解】(1)设甲停车付费α元，乙停车付费b元，其中α,6e{0,3,6}.

所以甲、乙两人停车付费(。，b)的所有可能情况为：(0,0),(0,3),(0,6),(3,0),(3,3),

(3,6),(6,0),(6,3),(6,6),共9种.

其中事件“甲、乙两人停车付费之和为6元”包含(0,6),(3,3),(6,0),共3种情况，

31

故甲、乙两人停车付费之和为6元的概率为A=

(2)设甲停车的时长不超过半小时、乙停车的时长不超过半小时分别为事件A,Bt,

甲停车的时长在半小时以上且不超过1.5小时、乙停车的时长在半小时以上且不超过1.5小时分别为

事件4，B2,

甲停车的时长为1.5小时以上且不超过2.5小时、乙停车的时长在1.5小时以上且不超过2.5小时分别

为事件A，层，

则P(A)=I-尸⑷―P(A)=Gq=JP(B1)=I-P(B2)-P(B3)=I-I-I=I

4123ɔoz

所以甲、乙两人临时停车付费相同的概率为

P(AM+4鸟+4鸟)=网44)+*&纥)+P(A昌)=p(A)p(8j+p(4)p(8j+P(4)p(8j

11115123

=—×-+—X—H-----X—

324312672

所以甲、乙两人临时停车付费不相同的概率为I-£=：.

21.如图，在多面体ABCDEF中，梯形AoE尸与平行四边形ABCD所在平面互相垂直,

AFHDE,DE1AD,ADLBE,AF=AD=-DE=},AB=>∕2.

2

(1)求证：〃平面CDEi

(2)求二面角B-所一。的余弦值；

(3)判断线段BE上是否存在点Q,使得平面CD。，平面BEF?若存在，求出要的值，若不存在，

BE

说明理由.

【正确答案】(1)详见解析

⑵如

3

(3)存在点Q；黑=:

BE7

【分析】(1)根据线面平行的判断定理，作辅助线，转化为证明线线平行；

(2)证得DB,DE两两垂直，从而建立以。点为原点的空间直角坐标系，求得平面Z)EF和

平面3所的一个法向量，根据法向量的夹角求得二面角的余弦值；

(3)设BQ=ME=(0,-42书(加[0,1]),求得平面S2的法向量为“，若平面平面8所，

则机”=0,从而解得2的值，找到Q点的位置.

【详解】(1)取QE的中点连结MF,MC,

因为AF=^DE,所以AF=DW,且AF=OW,

所以四边形Af)MF是平行四边形，所以M尸〃AD,且MF=A。，

又因为且Ar>=8C,所以////8C,Mf=BC,

所以四边形BCM尸是平行四边形，所以8尸//CM,

因为BFa平面CDE,CMU平面CDE,

所以BF〃平面COE；

E

(2)因为平面ADEFJ"平面ABCr),平面Af)EF「平面ABCZ)=4。，DEJ.AD,

所以Z)E工平面A8CD,DBU平面ABC。，则Z)El£>3,故D4,DB,Z)E两两垂直，所以以D4,

DB,OE所在的直线分别为X轴、N轴和Z轴，如图建立空间直角坐标系，

则。(0,0,0),A(LO,0),B(0,l,0),C(-l,l,0),E(0,0,2),F(1,0,1),

所以3E=(0,T,2),=(1,0,-1),"=(。,1,0)为平面O所的一个法向量.

设平面BEF的一个法向量为“z=(x,y,z),

-y+2z=0

由"BE=。，"EF=O,得AZ=O

令z=l