新疆昌吉第九中学高三上学期期末考试数学试题

昌吉市第九中学20202021学年第一学期期末考试高三年级数学试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知,则（）A．－2B．－6C．2D．一2或－62.函数是上的单调递减函数,则实数的取值范围是（）A．B．C．D．3.4cos50°－tan40°＝()A.eq\r(2)B.eq\f(\r(2)＋\r(3),2)C.eq\r(3) D．2eq\r(2)－14.设，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．5.设函数,则使得成立的的取值范围是（）A．B．C．D．6.已知函数，若将其图象沿轴向右平移（）个单位，所得图象关于原点对称，则实数的最小值为（）A．B．C．D．7．在△ABC中,已知D是AB边上一点,若,则A.B.C.D.8.已知数列的前项和,则““是“数列是等比数列”的（）．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9.设,则的最小值是（）A．1B．2C．3D．410.已知梯形如下图所示,其中,,为线段的中点,四边形为正方形,现沿进行折叠,使得平面平面,得到如图所示的几何体.已知当点满足时,平面平面,则的值为（）A.B.C.D.11.若过点的直线与圆有公共点,则该直线的倾斜角的取值范围是（）A．B．C.D．12.已知函数,若对于任意的,都有成立,则实数的取值范围是（）A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.在△ABC中，已知AB＝1，AC＝eq\r(2)，B＝45°，则BC的长为________．14.已知平面向量a＝(4x,2x)，b＝（1，eq\f(2x－2,2x)），x∈R，若a⊥b，则|a－b|＝________.15.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列，且a2＋a5＝4，则a8的值为________．16.若直线3x＋4y－m＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＋4＝0始终有公共点，则实数m的取值范围是________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.在中，内角、、所对的边分别是、、，且，（1）求；（2）当函数取得最大值时，试判断的形状．18.中国农业银行开始为全国农行ATM机安装刷脸取款系统.某农行营业点为调查居民对刷脸取款知识的了解情况,制作了刷脸取款知识有奖调查问卷,发放给2018年度该行的所有客户,并从参与调查且年龄(单位:岁)在[25,55]内的客户中随机抽取100名给予物质奖励,再从中选出一名客户参加幸运大抽奖.调查结果按年龄分成6组,制作成如下的频数分布表和女客户的年龄茎叶图,其中a∶b∶c=2∶4∶5.年龄/岁[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)[45,50)[50,55]频数/人5abc1525女客户的年龄茎叶图幸运大抽奖方案如下:客户最多有两次抽奖机会,每次抽奖的中奖率均为,第一次抽奖,若未中奖,则抽奖结束.若中奖,则通过抛掷一枚质地均匀的硬币,决定是否继续进行第二次抽奖.规定:抛出的硬币,若反面朝上,则客户获得5000元奖金,不进行第二次抽奖;若正面朝上,客户需进行第二次抽奖,且在第二次抽奖中,如果中奖,则获得奖金10000元,如果未中奖,则所获得的奖金为0元.(1)求a,b,c的值,若分别从男、女客户中随机选取1人,求这2人的年龄均在[40,45)内的概率;(2)若参加幸运大抽奖的客户所获奖金(单位:元)用X表示,求X的分布列与数学期望E(X).20.已知点是椭圆上任一点,点到直线的距离为,到点的距离为,且.直线与椭圆交于不同两点（都在轴上方）,且.（1）求椭圆的方程；（2）当为椭圆与轴正半轴的交点时,求直线方程；（3）对于动直线,是否存在一个定点,无论如何变化,直线总经过此定点？若存在,求出该定点的坐标；若不存在,请说明理由.20.如左图,矩形中,,,、分别为、边上的点,且,,将沿折起至位置(如右图所示),连结、、,其中.(Ⅰ)求证:平面；(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.....ACDBEF图图ABCDPEF21.已知函数,且．（1）求的值；（2）若对于任意,都有,求的最小值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)以直角坐标系原点为极点，轴正方向为极轴，已知曲线的方程为，的方程为，是一条经过原点且斜率大于0的直线.（1）求与的极坐标方程；（2）若与的一个公共点为（异于点），与的一个公共点为，求的取值范围.23．[选修4－5：不等式选讲](10分)（1）证明（2）证明.昌吉市第九中学20202021学年第一学期期末考试高三年级数学试卷参考答案1.【分析】首先分析集合是除去点的直线,集合表示过定点的直线,等价于两条直线平行或者直线过,进而列方程求的值．【解析】由若,则①：点在直线上,即；②：直线与直线平行,∴,∴或.2.【答案】D【解析】∵是上的单调递减函数,∴,故选D．3.【答案】C【解析】4cos50°－tan40°＝4cos50°－eq\f(sin40°,cos40°)＝eq\f(4sin40°·cos40°,cos40°)－eq\f(sin40°,cos40°)＝eq\f(2sin80°－sin40°,cos40°)＝eq\f(2cos10°－sin40°,cos40°)＝eq\f(2cos10°－sin30°＋10°,cos40°)＝eq\f(\f(3,2)cos10°－\f(\r(3),2)sin10°,cos40°)＝eq\f(\r(3)cos30°cos10°－sin30°sin10°,cos40°)＝eq\f(\r(3)cos40°,cos40°)＝eq\r(3)4.【答案】D【解析】对应的集合为，对应的集合为，故或，解得或，故选D．5.把代入,得,这显然不成立,所以不满足,由此可排除D；又,,,所以不满足,由此可排除B,C,故选A.6.【答案】D【解析】由题意，函数，将其图象沿轴向右平移个单位，可得，要使得函数的图象关于原点对称，则，则，即，所以实数的最小值为，故选D.7.【答案】B【解析】∵,∴===又,∴选B.8.【答案】B【解析】当时,不是等比数列；若数列是等比数列,当时,与数列是等比数列矛盾,所以,因此““是“数列是等比数列”的必要不充分条件,选B.因为对任意，总存在数列中的两个不同项，，使得，所以对任意的都有，明显.若，当时，有，不符合题意，舍去；若，当时，有，不符合题意，舍去；故.9.(当且仅当和,即时取等号),故选D.10.【答案】C【解析】因为四边形为正方形,且平面平面,所以两两垂直,且,所以建立空间直角坐标系（如图所示）,又因为,,所以,则,,设平面的法向量为,则由得,取,平面的法向量为,则由得,取,因为平面平面,所以,解得.故选C.11.【答案】B【解析】当过点的直线与圆相切时,设斜率为,则此直线方程为,即.由圆心到直线的距离等于半径可得,求得或,故直线的倾斜角的取值范围是,所以B选项是正确的.12.【答案】A【解析】利用排除法,当时,,,函数在定义域上单调递增,,满足题意,排除CD选项,当时,,,函数在定义域上单调递减,,满足题意,排除B选项,故选A.13.【答案】：eq\f(\r(2)＋\r(6),2)【解析】：在△ABC中，已知c＝1，b＝eq\r(2)，B＝45°，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得a2－eq\r(2)a－1＝0.因为a>0，所以a＝eq\f(\r(2)＋\r(6),2)，即BC＝eq\f(\r(2)＋\r(6),2).14.【答案】.2【解析】：因为a⊥b，所以4x＋2x×eq\f(2x－2,2x)＝4x＋2x－2＝0，解得2x＝－2(舍)或2x＝1，故a＝(1,1)，b＝(1，－1)，故a－b＝(0,2)，故|a－b|＝2.15.【答案】：.2【解析】：当q＝1时，显然不符合题意．当q≠1时，设Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)，因为S3，S9，S6成等差数列，所以2q9－q6－q3＝0，即2q6－q3－1＝0，解得q3＝－eq\f(1,2)或q3＝1(舍去)．又a2＋a5＝a2(1＋q3)＝eq\f(a2,2)＝4，故a2＝8，即a8＝a2q6＝2.16.【答案】：[0,10]【解析】：圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝1，故圆心到直线距离d＝eq\f(|－3＋8－m|,\r(32＋42))≤1.即|m－5|≤5，解得0≤m≤10.17.【解析】（1）由正弦定理得，又,∴,即，∵∴.（2）∵∴,∴∵,∴当时，函数取得最大值，∴是直角三角形.18.【解析】(1)由频数分布表知,a+b+c=10045=55.因为a∶b∶c=2∶4∶5,所以a=×55=10,b=×55=20,c=×55=25,由茎叶图可知年龄在[25,30)内的女客户有2人,年龄在[30,35)内的女客户有4人,年龄在[35,40)内的女客户有8人,年龄在[40,45)内的女客户有10人,年龄在[45,50)内的女客户有6人,年龄在[50,55]内的女客户有10人,故年龄在[40,45)内的男客户有15人,在100名客户中,男客户有60人,女客户有40人,所以从男客户中随机选取1人,年龄恰在[40,45)内的概率P1=,从女客户中随机选取1人,年龄恰在[40,45)内的概率P2=,则分别从男、女客户中随机选取1人,这2人的年龄均在[40,45)内的概率P=P1×P2=.(2)由题意可知,X的所有可能取值为0,5000,10000,则P(X=0)=,P(X=5000)=,P(X=10000)=.X的分布列为X0500010000PE(X)=0×+5000×+10000×=5200(元).20.【解析】（1）设,则,,∴,化简,得,∴椭圆的方程为.（2）,,∴,又∵,∴,.代入解,得（舍）∴,,∴.即直线方程为.（3）∵,∴.设,,直线方程为.代直线方程入,得.∴,,∴=,∴,∴直线方程为,∴直线总经过定点.20.【解析】(Ⅰ)由翻折不变性可知,,,在中,,所以在图中,易得,在中,,所以又,平面,平面,所以平面.解法二图AB解法二图ABCDPEFHxyz解法一图ABCDPEF(Ⅱ)方法一:以为原点,建立空间直角坐标系如图所示,则,,,,所以,,,设平面的法向量为,则,即,解得令,得,设直线与平面所成角为,则.所以直线与平面所成角的正弦值为.方法二:过点作于,由(Ⅰ)知平面,而平面所以,又,平面,平面,所以平面,所以为直线与平面所成的角.在中,在中,由等面积