高中数学北师大版必修2第一章6.1垂直关系的判定作业-1

[学业水平训练]eq\a\vs4\al(1.)下列各种情况中，一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两条边；②梯形的两条边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．不能保证该直线与平面垂直的是()A．①③ B．②C．②④ D．①②④解析：选C.因为线面垂直的判定定理中平面内的两条直线必须相交，而②④中不能确定两条边是否相交，故不能保证该直线与平面垂直，故选C.eq\a\vs4\al(2.)空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有()A．平面ABC⊥平面ADCB．平面ABC⊥平面ADBC．平面ABC⊥平面DBCD．平面ADC⊥平面DBC解析：选D.∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，∴AD⊥平面BCD.又∵AD平面ADC，∴平面ADC⊥平面DBC.eq\a\vs4\al(3.)如图，如果MC⊥平面ABCD所在的平面，那么MA与BD的位置关系是()A．平行 B．垂直相交C．垂直异面 D．相交但不垂直解析：选C.因为MC⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以MC⊥BD.又BD⊥AC，AC∩MC＝C且AC，MC在平面ACM内，所以BD⊥平面ACM.又AM平面ACM，所以BD⊥MA，但BD与MA不相交．eq\a\vs4\al(4.)长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AD＝2eq\r(3)，CC1＝eq\r(2)，则二面角C1­BD­C的大小为()A．30° B．45°C．60° D．90°解析：选A.如图，连接AC交BD于O，连接C1O.因为AB＝AD，所以底面为正方形，所以AC⊥BD.又因为BC＝CD，所以C1D＝C1B，O为BD的中点，所以C1O⊥BD.所以∠C1OC就是二面角C1­BDC的平面角．则在△C1OC中，CC1＝eq\r(2)，CO＝eq\f(1,2)eq\r(（2\r(3)）2＋（2\r(3)）2)＝eq\r(6)，tan∠C1OC＝eq\f(CC1,CO)＝eq\f(\r(2),\r(6))＝eq\f(\r(3),3)，所以∠C1OC＝30°.eq\a\vs4\al(5.)如图所示，已知六棱锥P­ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是()A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAED．直线PD与平面ABC所成的角为45°解析：选D.∵PA⊥平面ABC，∴∠ADP是直线PD与平面ABC所成的角．∵六边形ABCDEF是正六边形，∴AD＝2AB，即tan∠ADP＝eq\f(PA,AD)＝eq\f(2AB,2AB)＝1，∴直线PD与平面ABC所成的角为45°，故选D.eq\a\vs4\al(6.)如图，直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ABC＝90°，M为线段BB1上的一动点，则直线AM与直线BC的位置关系为________．解析：∵三棱柱ABC­A1B1C1为直三棱柱，∴BB1⊥平面ABC.又BC平面ABC，∴BB1⊥BC.又AB⊥BC，且AB∩BB1＝B，AB，BB1在平面ABB1A1内，∴BC⊥平面ABB1A1.又AM平面ABB1A1，∴BC⊥AM.答案：垂直eq\a\vs4\al(7.)如图，四棱锥S­ABCD的底面ABCD为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有________个．①AC⊥SB；②AB∥平面SCD；③SA与平面ABCD所成的角是∠SAD；④AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角．解析：①∵SD⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴SD⊥AC.又AC⊥BD，且SD∩BD＝D，SD，BD平面SDB，∴AC⊥平面SBD.又SB平面SBD，∴AC⊥SB.②∵AB∥DC，DC平面SCD，AB⃘平面SCD，∴AB∥平面SCD.③∵SD⊥平面ABCD，∴∠SAD就是SA与平面ABCD所成的角．④∵AB∥CD，∴AB与SC所成的角为∠SCD.综上，4个都正确．答案：4eq\a\vs4\al(8.)在直三棱柱ABC­A1B1C1中，底面△ABC是等边三角形，且AB＝eq\r(3)，AA1＝eq\f(3,2)，则二面角A1­BC­A等于________．解析：如图，取BC的中点D，连接AD，A1D.因为△ABC是等边三角形，所以AD⊥BC.又AA1⊥平面ABC，BC平面ABC，所以BC⊥AA1，又AA1∩AD＝A，且AA1，A1D平面AA1D，所以BC⊥平面AA1D.又A1D平面AA1D，所以BC⊥A1D，所以∠A1DA就是二面角A1­BCA的平面角，AD＝eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3,2)，tan∠A1DA＝eq\f(A1A,AD)＝1，所以A1­BCA为45°.答案：45°eq\a\vs4\al(9.)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2eq\r(2)，E，F分别是AD，PC的中点．证明：PC⊥平面BEF.证明：如图，连接PE，EC.在Rt△PAE和Rt△CDE中，PA＝AB＝CD，AE＝DE，∴PE＝CE，即△PEC是等腰三角形．又F是PC的中点，∴EF⊥PC.又BP＝eq\r(AP2＋AB2)＝2eq\r(2)＝BC，F是PC的中点，∴BF⊥PC.又BF∩EF＝F，∴PC⊥平面BEF.eq\a\vs4\al(10.)如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，E、F分别是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.证明：(1)由E、F分别是A1B、A1C的中点知EF∥BC.因为EF平面ABC，BC平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)由三棱柱ABC­A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1.又A1D平面A1B1C1，故CC1⊥A1D.又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，故A1D⊥平面BB1C1C.又A1D平面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.[高考水平训练]eq\a\vs4\al(1.)如图，三棱锥V­ABC中，VO⊥平面ABC，O∈CD，VA＝VB，AD＝BD，则下列结论中不一定成立的是()A．AC＝BCB．VC⊥VDC．AB⊥VCD．S△VCD·AB＝S△ABC·VO解析：选B.因为VA＝VB，AD＝BD，所以VD⊥AB.因为VO⊥平面ABC，AB平面ABC，所以VO⊥AB.又VO∩VD＝V，VO平面VCD，VD平面VCD，所以AB⊥平面VCD.又CD平面VCD，VC平面VCD，所以AB⊥VC，AB⊥CD.又AD＝BD，所以AC＝BC(线段垂直平分线的性质)．因为VO⊥平面ABC，所以VV­ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·VO.因为AB⊥平面VCD，所以VV­ABC＝VB­VCD＋VA­VCD＝eq\f(1,3)S△VCD·BD＋eq\f(1,3)S△VCD·AD＝eq\f(1,3)S△VCD·(BD＋AD)＝eq\f(1,3)S△VCD·AB，所以eq\f(1,3)S△ABC·VO＝eq\f(1,3)S△VCD·AB，即S△VCD·AB＝S△ABC·VO.综上知，A，C，D正确．eq\a\vs4\al(2.)如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足______时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：连接AC，则AC⊥BD.∵PA⊥底面ABCD，BD平面ABCD，∴PA⊥BD.∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)eq\a\vs4\al(3.)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，E分别是棱B1C1，A1D1，D1D的中点．求证：A1E⊥平面ABMN.证明：在△AA1N与△A1D1E中：eq\f(AA1,A1N)＝eq\f(A1D1,D1E)＝2，∠AA1N＝∠A1D1E＝90°，所以△AA1N∽△A1D1E，此时∠A1AN＝∠D1A1E，∵∠A1AN＋∠A1NA＝90°，∴∠D1A1E＋∠ANA1＝90°，∴A1E⊥AN，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB⊥平面A1ADD1，∵A1E平面A1ADD1，∴A1E⊥AB，∵AN∩AB＝A，AN平面ABMN，AB平面ABMN，∴A1E⊥平面ABMN.4．已知Rt△ABC，斜边BCα，点A∉α，AO⊥α，O为垂足，∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，求二面角A­BC­O的大小．解：如图，在平面α内，过O作OD⊥BC，垂足为D，连接AD.∵AO⊥α，BCα，∴AO⊥BC.又∵AO∩OD＝O，∴BC⊥平面AOD.而AD平面AOD，∴AD⊥BC.∴∠ADO是二面角A­BC­O的平面角．由AO⊥α，OBα，OCα，知AO⊥OB，AO⊥OC.又∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，∴设AO＝a，则AC＝eq\r(2)a，AB＝2a.在Rt△