新版高中数学人教A版必修2习题第二章点直线平面之间的位置关系第二章检测（B）

第二章检测(B)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下面给出了四个条件:①空间三个点;②一条直线和一个点;③和直线a都相交的两条直线;④两两相交的三条直线.其中,能确定一个平面的条件有()A.3个 B.2个 C.1个 D.0个解析:①当空间三点共线时不能确定一个平面;②点在直线上时不能确定一个平面;③两直线若不平行也不相交时不能确定一个平面;④三条直线交于一点且不共面时不能确定一个平面.故4个条件都不能确定一个平面.答案:D2.对于直线m,n和平面α,下列结论正确的是()A.如果m⊂α,n⊄α,m,n是异面直线,那么n∥αB.如果m⊂α,n⊄α,m,n是异面直线,那么n与α相交C.如果m⊂α,n∥α,m,n共面,那么m∥nD.如果m∥α,n∥α,m,n共面,那么m∥n解析:如果m⊂α,n⊄α,m,n是异面直线时,n与α可以平行,也可以相交,故A,B错误;对于C,由线面平行的性质定理可知C正确;对于D,m与n还可以相交,故D错误.答案:C3.已知a,b,c是直线,则下面四个命题:①若直线a,b异面,b,c异面,则a,c异面;②若直线a,b相交,b,c相交,则a,c相交;③若a∥b,则a,b与c所成的角相等.其中真命题的个数为()A.0 B.3 C.2 D.1解析:异面、相交关系在空间中不能传递,故①②错;根据等角定理,可知③正确.答案:D4.下列命题错误的是()A.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面βB.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γD.如果平面α⊥平面β,那么平面α内的所有直线都垂直于平面β答案:D5.把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A,B,C,D四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线BD和平面ABC所成的角的大小为()A.30° B.45° C.60° D.90°解析:当三棱锥DABC的体积最大时,平面DAC⊥ABC,取AC的中点O,连接OD,OB,则△DBO是等腰直角三角形,即∠DBO=45°.答案:B6.一个正方体的展开图如图所示,其中A,B为所在棱的中点,C,D为原正方体的顶点,则在原来的正方体中AB与CD所成角的大小是()A.30° B.45° C.60° D.90°解析:展开图还原为正方体(如图),其中EF,FG,EG分别为所在面的对角线.因为A,B分别为相应棱的中点,所以EF∥AB.易知CD∥EG,所以∠FEG为AB与CD所成的角(或其补角).又因为EG=EF=FG,所以∠FEG=60°,即AB与CD所成角的大小为60°.答案:C7.如图,在多面体ACBDE中,BD∥AE,且BD=2,AE=1,F在CD上,要使AC∥平面EFB,则DFFC的值为(A.3 B.2 C.1 D.1解析:连接AD交BE于点O,连接OF,因为AC∥平面EFB,平面ACD∩平面EFB=OF,所以AC∥OF.所以ODOA又因为BD∥AE,所以△EOA∽△BOD,所以ODOA=DBEA=2.故答案:B8.在三棱锥PABC中,∠ABC=90°,PA=PB=PC.则下列说法正确的是()A.平面PAC⊥平面ABCB.平面PAB⊥平面PBCC.PB⊥平面ABCD.BC⊥平面PAB解析:因为PA=PB=PC,所以点P在底面的射影是底面△ABC的外心.又因为∠ABC=90°,所以射影O为AC的中点.则PO⊥平面ABC,所以平面PAC⊥平面ABC.答案:A9.如图是长方体被一平面所截得到的几何体,四边形EFGH为截面,长方形ABCD为底面,则四边形EFGH的形状为()A.梯形B.平行四边形C.可能是梯形也可能是平行四边形D.不确定解析:因为平面ABFE∥平面CDHG,又平面EFGH∩平面ABFE=EF,平面EFGH∩平面CDHG=HG,所以EF∥HG.同理EH∥FG,所以四边形EFGH的形状是平行四边形.答案:B10.若m,n为两条不重合的直线,α,β为两个不重合的平面,则下列命题中的真命题的个数是()①若m,n都平行于平面α,则m,n一定不是相交直线;②若m,n都垂直于平面α,则m,n一定是平行直线;③已知α,β互相垂直,m,n互相垂直,若m⊥α,则n⊥β;④若m,n在平面α内的射影互相垂直,则m,n互相垂直.A.1 B.2 C.3 D.4解析:①中,m,n可能平行或相交或异面,所以①为假命题;②是直线与平面垂直的性质定理,所以②为真命题;③中,n可以平行于β,也可以在β内,所以③为假命题;④中,m,n也可以不互相垂直,所以④为假命题.答案:A二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.已知平面α∩平面β=l,点A,B∈α,点C∈平面β,且C∉l,AB∩l=R.若过A,B,C三点的平面为平面γ,则β∩γ=.

解析:根据题意画出图形,如图,因为点C∈β,且点C∈γ,所以C∈β∩γ.因为点R∈AB,所以点R∈γ.又R∈β,所以R∈β∩γ,从而β∩γ=CR.答案:CR12.在矩形ABCD中,若AB=3,BC=4,PA⊥平面ABCD,且PA=1,则点P到对角线BD的距离为.

解析:过点A作AE⊥BD于点E.因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BD.又PA∩AE=A,所以BD⊥平面PAE,所以BD⊥PE.又因为ABCD为矩形,且AB=3,BC=4,所以AE=125所以PE=PA答案:1313.如图,正方形ABEF和正方形ABCD有公共边AB,∠EBC=60°,AB=CB=BE=a,则DE=.

解析:由已知∠EBC=60°,连接EC.因为BE=BC=a,所以EC=a,又可证CD⊥平面EBC,所以CD⊥EC.因为CD=a,所以DE=2a.答案:2a14.如图,PA⊥平面ABC,∠ACB=90°,且PA=AC=BC=a,则异面直线PB与AC所成角的正切值等于.

解析:不妨将几何体放在如图所示的正方体中,则PB与AC所成的角等于PB与PQ所成的角.设正方体的棱长为a,连接BQ,则在△BPQ中,PQ=a,BQ=2a,所以tan∠BPQ=2.答案:215.如图是四棱锥的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形,E,F,G,H分别为PA,PD,PC,PB的中点,在此几何体中,给出下面四个结论:①平面EFGH∥平面ABCD;②BC∥平面PAD;③AB∥平面PCD;④平面PAD∥平面PAB.其中正确的有.(只填序号)

解析:把平面展开图还原为四棱锥如图所示,则EH∥AB,所以EH∥平面ABCD.同理可证EF∥平面ABCD,所以平面EFGH∥平面ABCD.由于平面PAD,平面PBC,平面PAB,平面PDC均是四棱锥的四个侧面,则它们两两相交.因为AB∥CD,所以AB∥平面PCD.同理BC∥平面PAD.答案:①②③三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)如图,四棱锥PABCD的底面ABCD是梯形,AB∥CD,且AB=23CD.试问在PC上能否找到一点E,使得BE∥平面PAD?若能,请确定点E的位置,并给出证明;若不能,请说明理由解:在PC上能找到点E,且满足CEPE=12,可使BE证明如下:延长DA和CB交于点F,连接PF.在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=23CD所以ABCD所以BCBF又CEPE所以在△PFC中,CEPE所以BE∥PF.而BE⊄平面PAD,PF⊂平面PAD,所以BE∥平面PAD.17.(8分)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.求证:(1)直线DE∥平面A1C1F;(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.证明(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中,A1C1∥AC.在△ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,所以DE∥AC,于是DE∥A1C1.又因为DE⊄平面A1C1F,A1C1⊂平面A1C1F,所以直线DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中,A1A⊥平面A1B1C1.因为A1C1⊂平面A1B1C1,所以A1A⊥A1C1.又因为A1C1⊥A1B1,A1A⊂平面ABB1A1,A1B1⊂平面ABB1A1,A1A∩A1B1=A1,所以A1C1⊥平面ABB1A1.因为B1D⊂平面ABB1A1,所以A1C1⊥B1D.又因为B1D⊥A1F,A1C1⊂平面A1C1F,A1F⊂平面A1C1F,A1C1∩A1F=A1,所以B1D⊥平面A1C1F.因为直线B1D⊂平面B1DE,所以平面B1DE⊥平面A1C1F.18.(9分)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,P,Q,M,N分别是棱AB,AD,DD1,BB1,A1B1,A1D1的中点.求证:(1)直线BC1∥平面EFPQ;(2)直线AC1⊥平面PQMN.证明(1)连接AD1,由ABCDA1B1C1D1是正方体,知AD1∥BC1,因为F,P分别是AD,DD1的中点,所以FP∥AD1.从而BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ,且BC1⊄平面EFPQ,故直线BC1∥平面EFPQ.(2)如图,连接AC,BD,则AC⊥BD.由CC1⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,可得CC1⊥BD.又AC∩CC1=C,所以BD⊥平面ACC1.而AC1⊂平面ACC1,所以BD⊥AC1.因为M,N分别是A1B1,A1D1的中点,所以MN∥BD,从而MN⊥AC1.同理可证PN⊥AC1.又PN∩MN=N,所以直线AC1⊥平面PQMN.19.(10分)如图,在三棱锥SABC中,平面SAB⊥平面SBC,AB⊥BC,AS=AB.过点A作AF⊥SB,垂足为F,点E,G分别是棱SA,SC的中点.求证:(1)平面EFG∥平面ABC;(2)BC⊥SA.证明(1)因为AS=AB,AF⊥SB,垂足为F,所以F是SB的中点.又因为E是SA的中点,所以EF∥AB.因为EF⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.又EF∩EG=E,所以平面EFG∥平面ABC.(2)因为平面SAB⊥平面SBC,且交线为SB,又AF⊂平面SAB,AF⊥SB,所以AF⊥平面SBC.因为BC⊂平面SBC,所以AF⊥BC.又因为AB⊥BC,AF∩AB=A,AF⊂平面SAB,AB⊂平面SAB,所以BC⊥平面SAB.因为SA⊂平面SAB,所以BC⊥SA.20.(10分)如图,在Rt△AOB中,∠OAB=30°,斜边AB=4,Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到,且平面AOB⊥平面AOC.动点D在斜边AB上.(1)求证:平面COD⊥平面AOB;(2)当D为AB的中点时