夯基专题7三角恒等变换讲义-高三数学二轮专题复习

夯基专题7三角恒等变换考向一和差考向一和差角公式两角和与差的正弦、余弦和正切公式（1）；（2）；（3）；（4）；（5）（）；（6）（）．强调：1．运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练，准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)的多种变形等．2．应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．【典例精讲】例1.(2023·广东省江门市·联考)已知sinα=33，cos(α-β)=13，且0<α<3πA.239 B.539 C.例2.(2023·江苏省南京市·期末考试)(多选)已知tanα=1-sinβcosβA.sin(α+β)=cosα B.2cos2α=【拓展提升】练11.(2023·福建省福州市月考)已知角α∈(0,π2)，tanπ12=sinα-练12.(2023·辽宁省沈阳市·模拟题)如图，函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π

)的图象与坐标轴交于点A，B，C，直线BC交f(x)的图象于点D，O(坐标原点)为△ABD的重心(三条边中线的交点)，其中A(-π,0)，则tanB=

．

考向考向二倍角公式【核心知识】二倍角的正弦、余弦和正切公式（1）（2）升幂公式降幂公式，．（3）．（4）变形式：sin2α=2tanα【典例精讲】例3.(2023·江苏省南京市·联考题)已知α∈(0,π)，且3cos2α-8cosα=5，则sinA.53 B.23 C.1例4.(2023·福建省龙岩市·模拟题)水滴型潜艇的线型特点是首部呈圆钝的纺锤形，潜艇的横剖面几乎都为圆截面，艇身从中部开始向后逐渐变细，尾部呈尖尾状，小刘利用几何作图软件画出了水滴的形状(如图)，由线段AB,AC和优弧BC围成，其中BC连线竖直、AB,AC与圆弧相切，已知“水滴”的水平宽度与竖直高度之比为74，则cos∠BAC=(

)

A.437 B.1725 C.【拓展提升】练21.(2023·广东省佛山市·月考试卷)(多选)已知fx=sin2x+π4，若a=flg5A.a+b=0 B.a-b=0

C.a+b=1 D.a-b=考向三合一变形（辅助角公式）练22.(2023·山东省临沂市·月考试卷)如图是古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别为直角三角形ABC的斜边AB、直角边BC、AC，N为AC的中点，点D在以AC为直径的半圆上.已知以直角边AC，BC为直径的两个半圆的面积之比为3，sin∠DAB=35考向三合一变形（辅助角公式）【核心知识】把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的形式。，其中．常见形式有：sinx+cosx=sinx+【典例精讲】例5.(2023·湖北省重点中学·联考题)若λsin170∘+tan10∘A.3 B.32 C.2例6.(2023·湖北省黄冈市期中)已知函数f(x)=ln(sinx+cosx)的定义域为A，当x∈AA.-22,1 B.-1,2【拓展提升】练31.(2023·广东省中山市月考)在△ABC中，A=π12，则3sinA-A.22 B.32 C.练32.(2023·湖南省张家界市·模拟题)已知α为锐角，1+3tan80∘=1考考向四三角恒等变换技巧【核心知识】三角恒等变换主要有以下四变:（1）变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其方法通常是“配凑”（2）变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有切化弦、弦化切、正余弦互化等（3）变幂：通过“升幂与降幂”，把三角函数式的各项变成同次，目的是有利于应用公式（4）变式：根据式子的结构特征变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目标,其方法有:常值代换、配方法等.（1）拆角、拼角技巧：；α＝（α＋β）－β；；．（2）①是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；②；③三角变换的关键是找到条件和结论中的角和式子结构之间的联系．变换中可以通过适当地拆角、凑角或对式子整体变形达到目的．【典例精讲】例7.(2023·广东省中山市·月考试卷)2cos48°-23A.22 B.1 C.-1 例8.(2023·江苏省南京市·模拟题)(多选)已知f(θ)=cos4θ+cos3θ，且θ1，θ2，θ3是f(θ)A.π7∈{θ1,θ2,θ【拓展提升】练41.(2023·江苏省泰州市月考)(多选)已知sinα=55，cos2β=7A.α<β B.α>2β C.β>π6 练42.(2023·安徽省蚌埠市月考)求值：

(1)sin 50°(1+3tan【答案解析】例1.解：因为sin α=33<22，0<α<3π4，

所以0<α<π4，则cosα=1-sin2α=63，

因为0<α<例2.解：由tanα=sinαcosα=1-sinβsinαcosα=1-sinβcos由cosβ≠0，则sinβ≠1，1-sinβ≠0，所以2cos故选：AB练11.解：因为tanπ12=sinπ12cosπ12=sinα-sinπ12cosα+cosπ12，

所以sinπ12(cosα+cosπ12练12.解：因为O为△ABD的重心，A(-π,0)，所以OA=23AC=π，

所以AC=32π，即C(π2,0)，所以πω=T2=3π2，ω=23，

因为f(x)=2sin(ωx+φ)过点例3.解：由3cos2α-8cosα=5，得3(2cos2α-1)-8cosα-5=0，

即3cos2α-4cosα-4=0，解得cosα=2(舍去)或cosα=-23．

∵α∈(0,π)例4.解：设优弧

BC

的圆心为

O

，半径为

R

，“水滴”的水平宽度、竖直高度分别为

AD

、

MN

，连接

OB,OC

，由题意可得

AO+R2R=74

，解得因为

AB⊥OB

，则

sin∠BAO=BO根据对称可得

∠BAC=2∠BAO

，所以

cos∠BAC=cos故选：B．练21.解：fx

∵a=flg

∴a+b=1+

a-b=1+sin2lg52练22.解：∵以直角边AC，BC为直径的两个半圆的面积之比为3，

∴AC：BC=3，即tan∠CAB=13，∴∠CAB=π6，

设∠DAB=α，则π6<α<π2，且∠DNC=2(α-π6)=2α-π例5.解：λsin170°+tan10°=33，

λsin10°+例6.解：由题可知sinx+cosx>0，

且sinx+cosx=2sin(x+π4)>0，

∴x+π4∈(2kπ,π+2kπ)，k∈Z练31.解：在△ABC中，A=π12，

则3sinA-cos(B+C)，

=3sinA-cos(π-A)，

=练32.解：因为

1+3=sin40所以

sinα=sin又因为

α

为锐角，所以

α=50∘故答案为：

50例7.解：2cos48°-2=2cos(90°-42°)-3sin72°例8.解：∵f(θ)=cos4θ+cos3θ=0

∴cos⁡4θ=-cos⁡3θ=cos⁡(π-3θ)，

∴4θ=π-3θ+2kπ,k∈Z,或4θ=2π-(π-3θ)+2kπ,k∈Z,

∴θ=π7+27kπ,k∈Z,或θ=π+2kπ,k∈Z,对于C，cosθ1cosθ2对于D，cos==12sin⁡π7·sin⁡6π练41.解：因为cos2β=1-2sin2β=