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大工17春《常微分方程》在线作业3题目一题目描述求解常微分方程$$\frac{dy}{dx}=-x^2-y^2$$解答我们可以将这个常微分方程转化为变量分离的形式。首先，将等式两边同时乘以$$dx$$，得到$$dy=(-x^2-y^2)dx$$。然后，移项得到$$\frac{dy}{y^2}=-x^2dx$$。接下来，我们对上式两边同时积分。对左边的分式$$\frac{dy}{y^2}$$进行积分，得到$$\int\frac{1}{y^2}dy$$。对右边的$$-x^2dx$$进行积分，得到$$\int(-x^2)dx$$。对左边的积分我们可以使用反函数法，令$$u=y^{-1}$$，则$$dy=-u^{-2}du$$。将这个值代入到左边的积分式中得到$$\int-u^{-2}du=-\frac{1}{u}$$。对右边的积分我们可以直接进行积分，得到$$-\frac{1}{3}x^3+C_1$$。最后，将左右两边的积分结果相等，得到$$-\frac{1}{u}=-\frac{1}{3}x^3+C_1$$。将$$u=y^{-1}$$代入回去得到$$-\frac{1}{y}=-\frac{1}{3}x^3+C_1$$。因此，原方程的通解为$$-\frac{1}{y}=-\frac{1}{3}x^3+C$$，其中$$C$$是任意常数。题目二题目描述求解初值问题$$\begin{cases}\frac{dy}{dx}=x^2-2x+3\\y(0)=2\end{cases}$$解答首先，我们可以先求解常微分方程$$\frac{dy}{dx}=x^2-2x+3$$的通解。我们可以使用变量分离的方法进行求解。首先，将等式两边同时乘以$$dx$$，得到$$dy=(x^2-2x+3)dx$$。接下来，我们对上式两边同时积分。对左边的$$dy$$进行积分，得到$$\intdy=\intdx$$。对右边的$$x^2-2x+3$$进行积分，得到$$\int(x^2-2x+3)dx=\frac{1}{3}x^3-x^2+3x+C_1$$，其中$$C_1$$是任意常数。因此，通解为$$y=\frac{1}{3}x^3-x^2+3x+C$$，其中$$C$$是任意常数。接下来，我们根据初值条件$$y(0)=2$$来确定特解。将$$x=0$$和$$y=2$$代入到通解中，得到$

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