第三次课-近似计算

实验二

的近似计算实验目的：是人们最常用的数学常数。人们对的研究已经持续了2500多年。在今天，这种探索还在继续……追溯关于圆周率的计算历程。通过对割圆术、韦达公式、级数加速法、拉马努金公式、迭代法等计算方法的介绍和计算体验，使学生感受数学思想和数学方法的发展过程，提高对极限和极限收敛性及收敛速度的综合认识，同时使学生看到数学家对科学真理的永无止境的追求。实验指导：

一、割圆术汉代著名数学家刘徽在《九章算术注》中创造了割圆术：用圆内接正多边形面积逐渐逼近圆的面积，圆内接正多边形的周长也逐渐逼近圆的周长，这充分体现了朴素的极限思想。设圆内接正边形的边长为，其面积为，根据勾股定理，边长有如下递推公式：

面积与边长的关系：圆面积与多边形面积满足：

刘徽计算了圆内接正96边形的边长与面积，得到

的取值范围祖冲之在公元429年计算了圆内接正24576边形的边长，

德国数学家鲁道夫（公元1610年）采用作单位圆的内接和外切正多边形，则单位圆的面积介于内外多边形的面积之间，即用夹逼的方法近似计算。鲁道夫用了几乎半生的时间，算出的35位小数。为了纪念他，德国人称为鲁道夫数。二、韦达公式

1593年，韦达首次给出了计算的精确表达式这个公式的推导所用的是朴实简洁的数学方法。注：每增加两项，可以提高1位数的精确度。实验思考题：能否用韦达公式构造一种迭代算法计算的近似值？三、利用级数计算

1。莱布尼兹级数（1674年发现）注：前1000项计算大约能精确到百分位。

1844年，数学家达什在没有计算机的情况下利用此式算出了的前200位小数。使用误差估计式计算一下要精确到的200位小数需要取级数的多少项？由此可看出达什的工作是多么艰巨。2。欧拉的两个级数(1748年发现)

对收敛速度进行检验。注：这两个级数收敛非常缓慢，实用价值并不大。3。基于的级数令，得，即为莱布尼兹级数，直接使用时速度极慢，必须考虑加速算法。观察级数可知，x的值越接近于零，级数收敛的越快。令则因此，非常接近于零。又

所以注：取前25项的部分和就可以使精确到37位小数。加速效果非常明显！根据这一原理，还可以得到高斯公式斯托梅尔公式四、拉马努金（Ramanujan）公式目前，计算的一个极其有效的公式

这个级数收敛的非常快，级数每增加1项，可提高大约8位小数的精度。

1985年，数学家比尔.高斯帕依使用这个公式在计算机上算出了的1750万位小数。这个神奇的公式归功于印度年轻的传奇数学家拉马努金（1887-1920）。另一个改进的计算公式为收敛速度惊人！级数每增加1项，可提高14位小数精确度。五、迭代方法1。迭代公式11989年，Borwein发现了下列收敛于的迭代公式：收敛效果：迭代4次可精确到693位小数。迭代误差可以由下式估计：误差界迭代8次可保证精确到小数点178814位！2。迭代公式21996年，Bailey发现了另一个收敛于的迭代公式：

此迭代式的误差估计

随着计算机技术的飞速发展和计算方法的突破与创新，计算的世界纪录正在迅速地被刷新。目前，的数值已计算到小数点后2061.5843亿位。这一纪录是日本东京大学教授金田康正和他的助手于1999年9月创造的。计算用了37小时21分，检验用了46