数字电路与逻辑设计第02章：卡诺图化简法

2.6.3卡诺图化简法由英国工程师Karnaugh首先提出，也称卡诺图为K图。利用卡诺图可以方便地对逻辑函数进行化简。通常称为图解法或卡诺图化简法。卡诺图是一张特殊结构的格图形式的真值表。ABF00001110011100010111AB注意：变量对应的取值按循环码的变化规律

写在格图的左侧和上方。三变量的卡诺图：四变量的卡诺图：1010110100ABC1011010010110100ABCD1011010010ABCABCF00010010010001101000101011001111例：请根据以下真值表完成卡诺图。卡诺图中的每个小格可代表一个最小项。m6m7m5m41m2m3m1m0010110100ABC1011010010110100ABCDm0m1m3m2m4m5m7m6m14m10m11m15m13m12m8m9“1格”代表最小项进入函数的最小项表达式；“0格”代表最小项不进入函数最小项表达式。卡诺图和函数最小项表达式的关系：试填写以下函数的卡诺图：例：将如图所示卡诺图用最小项表达式表示。解：100110010010110100ABC=ABC+ABC+ABC由一般表达式写出最小项表达式的方法：与或式A+A=1最小项表达式例2.6.12试将F(A,B,C,D)=ABCD+ABD+AC用卡诺图表示。解：11101111111010010110100ABCD图2.6.5根据一般与或式填写卡诺图的观察法：在包含乘积项中全部变量的小格中填1。原变量对应“1”，反变量对应“0”。试填写以下函数的卡诺图：卡诺图的性质与运算：1）卡诺图的主要性质若卡诺图中所有小格全为“1”，则F=1；若全为“0”，则F=0。

相加：对应小格相加，有“1”则填“1”。2）卡诺图的运算

相乘：对应小格相乘，全“1”填“1”。

异或：对应小格相异或，相异填“1”。

反演：各小格取反。两卡诺图相加：001010010010110100ABC000010110010110100ABC001010110010110100ABC＋﹦001010010010110100ABC000010110010110100ABC000010010010110100ABC×﹦两卡诺图相乘：001010010010110100ABC001010100010110100ABCA000010110010110100BC⊕﹦两卡诺图相异或：001010010010110100ABC110111101010110100ABC卡诺图反演：例：已知F1(A,B,C,D)=AB+CD

F2(A,B,C,D)=BC+AD

解：用卡诺图分别表示函数F1，F2，F

，如下图所示。ABCDABCD0001111000101111110111100011110000111111111011F1

F2

ABCDABCD⊕﹦00011110000010011110111100101001AB

CD

0001111000101111110111100011110000111111111011F1

F2

F

3.卡诺图化简法化简原理：

卡诺图上几何相邻和对称相邻的小方格所代表的最小项逻辑相邻，可以利用合并相邻项公式:AB+AB=A

化简。最小项的合并合并的对象：卡诺图上几何相邻和对称相邻的、并构成矩形框的、填“1”的、2n

个小方格。合并项的写法：一个卡诺圈对应一个乘积项，该乘积项由卡诺圈内各小方格对应的取值相同的变量组成，其中，“1”对应原变量，“0”对应反变量。合并的规律：圈2i个相邻最小项，可消去i个变量。(i=0,1,2…)圈法举例：000010011010110100ABCF=AB000011001010110100

ABCF=AC可见：圈2格，可消去1个变量。001110011010110100

ABCF=B000011111010110100

ABCF=A

100111001010110100ABCF=C圈法举例：可见：圈4格，可消去2个变量。10011001101101100110010010110100ABCD01101010011110010101100010110100ABCDF=BD+BDF=BD+BD圈法举例：01101001101101100101100010110100

ABCD10011010011110010110010010110100

ABCDF=DF=D圈法举例：可见：圈8格，可消去3个变量。001110011010110100

ABCBC不是主要项B是主要项名词解释主要项圈：

不能再扩大的卡诺圈，再扩大就会圈到“0”格。主要项：

不能再扩大的卡诺圈所对应的合并项。

011010011010110100ABCBC是多余项AC、AB是必要项ABC、ABC是实质小项必要项：含有独立的“1”格的主要项圈中的主要项。多余项：无独立的“1”格的主要项圈中的主要项。实质小项：

卡诺圈中未被其它主要圈覆盖而为本圈所独有的“1”格所代表的最小项。名词解释圈卡诺圈的原则：a.排斥原则：“1”和“0”不可共存于同一圈中；b.闭合原则：圈完所有的“1”格；c.最小原则：圈个数最少，圈范围最大。化简的步骤：a.先圈孤立的“1格”；b.再圈只有一个合并方向的“1格”；c.圈剩下的“1格”。注意事项：圈中“1”格的数目只能为2i(i=0,1,2…)，且是相邻的。b.同一个“1”格可被圈多次(A+A=A)。c.每个圈中必须有该圈独有的“1”格。d.首先考虑圈数最少，其次考虑圈尽可能大。e.圈法不是唯一的。化简举例：例2.6.14化简函数为最简与或式。10101011001111100110010010110100ABCDF(A,B,C,D)=ABD+ABD+ABCD+BC+CD图2.6.13例2.6.16化简函数为最简与或式。11111011001111100110010010110100

ABCDF(A,B,C,D)=ABD+BD+AB+BC图2.6.15习题2.12用卡诺图法把下列函数化简为最简与或式。(1)F(A,B,C)=

m(0,1,2,4,5,7)(2)

F(A,B,C,D)=

m(0,2,5,6,7,9,10,14,15)(1)F(A,B,C)=

m(0,1,2,4,5,7)011111011010110100

ABC（2）F(A,B,C,D)=

m(0,2,5,6,7,9,10,14,15)1110111111101110010110100ABCD四、非完全描述逻辑函数的化简

无关项约束项任意项：逻辑问题中不可能出现的取

值组合所对应的最小项。：出现以后函数的值可任意规定

的取值组合所对应的最小项。任意项很少遇到。非完全描述逻辑函数：具有无关项的函数。无关项是两种特殊类型的最小项。表示m3、m7是无关项。

（约束项或任意项）具有无关项的函数均可以描述如下：在真值表和卡诺图中，与无关项对应的取值组合的函数值可以填“

”或“

”。非完全描述逻辑函数的化简：无关项小格既可作为“0”格处理，也可作为“1”格处理，以使化简结果最简为准。注意：(1)卡诺圈中不可全是无关项；(2)不可把无关项作为实质小项。例：用卡诺图法把下列函数化简为最简与或式。11Ø10Ø1Ø111Ø101Ø110010110100ABCD习题2.12用卡诺图法把下列函数化简为最简与或式。例2.6.22用卡诺图化简逻辑函数ØØØØ1011101110110100000010110100ABCDF(A,B,C,D)=ABC+AD+BCD图2.6.22约束条件将约束项之和等于0称为约束条件。1011111ØØ01ØØØØ0010110100ABCD习题2.12用卡诺图法把下列函数化简为最简与或式。无关项的运算规则；+01ØØØ1Ø×01ØØ0ØØ⊕01ØØØØØØ=Ø表

2.6.1Ø1101111Ø010110100ABCØ1Ø11Ø01Ø010110100ABCA10Ø11Ø101010110100BC⊕﹦2.14例:要求设计一个逻辑电路，能够判断一位十进制数是奇数还是偶数，当十进制数为奇数时，电路输出为1，当十进制数为偶数时，电路输出为0。

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

ABCD0001111000011110

1111

1110

1101

1100

1011

101011001010001011100110101010010010011000101000100000LABCDABCF1F2F300011000110001010001101110010010