分块矩阵的行列式与Laplace定理_第1页
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第二节分块矩阵在理论研究及一些实际问题中，经常遇到阶数很高或结构特殊的矩阵。对于这些矩阵，在运算时常常采用分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算。我们将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。按虚线所示，矩阵A被分成4个子块，则分块矩阵的基本运算分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似

1.加法

2.转置分块矩阵转置时，不但要将分块“行列”互换，而且行列互换后的各子矩阵都要转置。

3.乘法

设A为m

s矩阵，B为s

n矩阵，Aij为mi

sj子块（i=1，2，…，p；j=1，2，…，t），且m1+m2+…+mp=m，s1+s2+…+st=s；

Bjk为sj

nk子块（j=1，2，…，t；k=1，2，…，r），且k1+k2+…+kr=n，s1+s2+…+st=s。令AB=C，则分块矩阵的行列式与Laplace定理1.设A为n阶方阵，M为A的一个k阶子式，在A中去掉M所在的k行和k列的元素，由剩下的元素按原来的相对位置组成的n

k阶行列式N，称为k阶子式M的余子式。2.如果k阶子式M在A中所在的行和列的标号分别为i1，i2，…，ik；j1，j2，…，jk，则称

为k阶子式M的代数余子式

定理（Laplace定理）设n阶矩阵A=(aij)，在A中任意取定k行（1

k

n），由这k行组成的所有k阶子式Mi（i=1，2，…，t）与它们的代数余子式Bi（i=1，2，…，t）的乘积之和等于detA，即其中Bi是子式Mi的代数余子式（i=1，2，…，

t）。分块对角矩阵（准对角矩阵）形如其中Ai（i=1，2，…，s）均为方阵，且其余子块均为零矩阵的分块矩阵，称为分块对角矩阵或准对角矩阵。由Laplace定理知，分块对角矩阵的行列式具有下述性质：|A|=|A1|·|A2|·…·|As|由此性质可知，若|Ai|

0（i=1，2，…，s），则|A|

0，并有思考题1：设A，B分别为r和s阶方阵，则行列式为什么？答案：

思考题2：设A，B分别为r和s阶方阵，则行列式为什么？答案：

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