《27.3 位似》教案、同步练习

《27.3位似》教案第一课时【教学目标】：(一)知识与技能：1、掌握位似图形的定义；2、掌握位似图形的性质；(二)过程与方法：学生经历将一个图形放大或缩小的方法，并且在学习和运用过程中发展数学应用意识。(三)情感态度与价值观：培养学生动手操作的良好习惯，以积极进取的思想探究数学学科知识，体会本节知识的实际应用价值和文化价值。【教学重点】：能够利用作位似图形等方法将一个图形放大或缩小。【教学难点】：位似图形的画法。【教学过程】：一、创设情境

操作引入1、展示课件：两组图片，一是万里长城雄伟壮丽的画面，二是神州飞船首飞成功的邮票，演示两组图片的缩放过程。（回顾相似多边形的有关概念和性质，为新课引入进行铺垫，同时渗透爱国主义教育，激发学生的学习兴趣和爱国热情）2、操作实验：指导全班同学动手操作、进行实验，每位同学拿出自备的两个相似图形纸片，位置任意摆放，连接对应点，观察对应点的连线是否经过一点。同时请三位同学上黑板前台选取不同类型的相似图形（三角形、四边形、五边形）进行演示，供班级同学参考并猜想。3、这几副图片表示出了图形之间的什么特殊的关系？引出课题——位似。教师板书。二、自主活动

实践感知1、建构新知：位似图形及其有关概念如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比.2、让学生进一步操作，亲身感受位似图形与相似图形的联系与区别。通过观察、思考、交流、讨论得出如下结论：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必都能构成位似关系。（引导学生动手、动脑，观察、思考，感悟知识的生成和变化）3、认一认：见课本P66页图27．3-2（1）、（2）、（3）辨认位似图形，并指认位似中心。（从正反两个方面强化学生对位似图形的认识）4、练一练：例1下列说法正确的是（）A.两个图形如果是位似图形，那么这两个图形一定全等；B.两个图形如果是位似图形，那么这两个图形不一定相似；C.两个图形如果是相似图形，那么这两个图形一定位似；D.两个图形如果是位似图形，那么这两个图形一定相似。例2下列每组图中的两个多边形，是位似图形的是（）例3下列四边形ABCD和四边形EFGD是位似图形，它们的位似中心是（）A.点EB.点FC.点GD.点D例4已知上图中，AE∶ED=3∶2，则四边形ABCD与四边形EFGD的位似比为（）A.3∶2B.2∶3C.5∶2D.5∶3（开发学生的思维能力，帮助学生掌握新知）三、合作探究明确强化1、想一想：本课已学过哪几种放大图形的方法？（让学生思考、交流，加深对前后知识的理解，感悟知识之间的内在联系）学生归纳：直角坐标系放大图形法；橡皮筋放大图形法。它们都属于位似图形的作法。2、做一做：按如下方法可以将△ABC的三边缩小为原来的一半：如图,任取一点O,连接AO,BO,CO,并取它们的中点D,E,F.△DEF的三边就是△ABC相应三边的一半。(1)任意画一个三角形,用上面的方法亲自试一试;(2)如果在射线AO,BO,CO上分别取点D,E,F,使DO=2OA,EO=2OB,FO=2OC,那么结果又会怎样?（让学生主动参与，合作探究，调动学生学习积极性）四、试一试已知五边形ABCDE，作出一个五边形A’B’C’D’E’，使新五边形A’B’C’D’E’与原五边形ABCDE对应线段的比为1∶2。学生作图，可以得出：⑴位似五边形在位似中心的同侧；⑵位似五边形在位似中心的两侧；⑶位似中心在位似五边形的内部；⑷位似中心在位似五边形的一条边上；⑸位似中心在位似五边形的一个顶点上；五、归纳小结1、畅谈这节课你的收获与感受。(培养学生分析、归纳、概括能力和语言表述能力)2、总结：位似图形的概念、性质、应用。（充分发挥学生的主体作用，锻炼学生归纳、整理、表达的能力）3、实际应用：位似图形在家庭装潢设计上的运用。（体现数学来源于生活、服务于生活的新课程理念，培养学生的创新精神）六、布置作业27.3位似第二课时【教学目标】:(一)知识与技能继续了解位似图形及其有关概念，能够利用作位似图形等方法将一个图形放大或缩小。(二)过程与方法学生会在平面直角坐标系中将一个图形放大或缩小，画出其位似图形(三)情感态度与价值观培养学生动手操作的良好习惯，以积极进取的思想探究数学学科知识，体会本节知识的实际应用价值和文化价值。【教学重点】:在平面直角坐标系中画一个图形关于原点的位似图形。【教学难点】:在平面直角坐标系中画关于原点的位似图形。【教学过程】:一、复习:1、我们学习了哪几种变换?2、什么叫位似图形?怎样画一个图形关于某点的位似图形?二、新授:探究在平面直角坐标系中,有两点A(6，3),B(6，0)。以原点O为位似中心,相似比为1/3，把线段AB缩小画出缩小后的位似图形EF.观察对应点之间坐标的变化,你有什么发现?引导学生分两种情况进行:（1）EF与AB都在第一象限时。（2）EF与AB不在同一象限,在第三象限时。发现的结论:第一种情况E（2,1），F(2,0)第二种情况E(-2，-1)，F（-2，0）。2、△ABC三个顶点坐标分别为A（2,3）B（2,1）C（6,2）以点O为位似中心,相似比为2,将△ABC放大,观察对应顶点坐标的变化,你有什么发现?请学生把发现的结论写出来由上面的作图归纳出:在平面直角坐标系中,如果位似变换以原点为位似中心,相似比为K,那么位似图形对应点的坐标的比等于K或-K.三、例题四边形ABCD的坐标为A(-6,6),B(-8,2),C(-4,0),D(-2,4),画出它的一个以原点O为位似中心,相似比为1/2的位似图形.先确定各个顶点关于点O的对应点的坐标,再画图.四、练习:课本第64页1,2总结:至此我们学习了四种变换:平移、轴对称、旋转和位似.你能说出它们之间的异同吗?五、布置作业:课本第65页3,4,5,6配套课时练习1．若两个多边形不仅相似，且对应点顶的连线相交于一点，这样的图形叫做，这个点叫做。2．如图，△ABO和△CDO是位似图形，则AB与CD的位置关系为。3．求作位似图形的方法，可以把图形放大或缩小，位似中心位置可选在（）A．原图形的外部B．原图形的内部C．原图形的边上D．任意位置4．观察下列图形，图（1）与图（2）相比发生了一些变化，若图（2）中的P点坐标是（4，2），则图（1）中的P＇的坐标。5．将图（1）中的四边形ABCD缩小为原来的一半，图（2）中的四边形EFGH放大原来的2倍。位似中心自己确定。6．如图△ABC三个顶点坐标A（-2，3），B（-2，1），C（-6，2）。以O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大。（1）请在直角坐标系中，画出位似变换后的△EDF；（2）请写位似变换后△EDF的三个顶点的坐标。7．已知，如图，△AOB的顶点坐标A（3，5），B（5，0），它与△COD相似，且C（-1.5,-2.5）,D(-2.5,0)，则△ABO与△COD的相似比为。8．△ABC的顶点坐标分别是A（4，4），B（8，4），C（12，8），以原点O为位似中心，将△ABC缩小，使变化后得到的△DEF与△ABC对应边的比是1：2，这时△DEF的各个顶点的坐标分别是。9．如图，将矩形ABCD以点B为位似中心，相似比为2，进行位似变换，画出变换后的图形。10．（1）如图1，点O是等边三角形△ABC的中心，E、F、G分别是OA、OB、OC的中点，则△ABC与△DEF是位似三角形，△DEF与△ABC的位似比、位似中心分别是，。（2）如图2，①在△AOB内画等边△CDE，使点C在OA上，点D在OB上；②连接OE并延长，交AB与点F，过点F作FG∥EC，交OA于点G，作FH∥ED，交OB于H；③连接GH，则△GFH是△ABC的内接三角形。求证：△GFH是等边三角形。位似定义即可;11．如图小鱼与大鱼是位似图形，则小鱼上的点（a，b）对应大鱼的点是（）A．（-2a，-2b）B．（-a,-2b）C．（-2b,-2a）D.（-2a,-b）12．如图，点A的坐标是（3，3），将ABC先向下平移3个单位得△DEF，将所的图形绕O顺时针旋转180°得△MNK。请画出△DEF和△MNK，并写出点K的坐标。13．如图△ABC与△DEF是关于点O的位似图形，他们都是格点三角形。（1）画出位似中心O；（2）求出△ABC与△DEF的位似比；（3）以点O为位似中心，再画一个△GHM，使它与△ABC的位似比是1：参考答案：1、位似图形，位似中心；2、平行；3、D；4、（4，3）5、画图略；6、(1)画图略；(2)E(4,6),D(4,-2),F(12,-4)7、2：1；8、D(2,2),E(4,2),F(6,4)；9、画图略；10、(1)1：2，点O；(2)用位似图形一定是相似图形证明，证明过程略。11、A；12、画图略，K(-5，2)13、(1)略；(2)1：2；(3)略。27．3位似第三课时教学目标：(一)知识与技能1．进一步理解图形的位似概念，掌握位似图形的性质。2．会利用作位似图形的方法把一个图形进行放大或缩小。3．掌握直角坐标系中图形的位似变化与对应点坐标变化的规律。(二)过程与方法1、经历位似图形性质的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力、以及动手、动脑、手脑和谐一致的习惯。2、利用图形的位似解决一些简单的实际问题，并在此过程中培养学生的数学应用意识，进一步培养学生动手操作的良好习惯。(三)情感态度与价值观通过动手操作、探究与交流，发展学生的合情推理能力和初步的逻辑推理能力。教学重点和难点：本节教学的重点是图形的位似概念、位似图形的性质及利用位似把一个图形放大或缩小。教学过程：创设情景，构建新知1．位似图形的概念下列两幅图有什么共同特点？如果两个图形不仅形状相同，而且每组对应点所在的直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心.2、引导学生观察位似图形下列图形中，每个图中的四边形ABCD和四边形A′B′C′D′都是相似图形.分别观察这五个图，你发现每个图中的两个四边形各对应点的连线有什么特征？显然，位似图形是相似图形的特殊情形，其相似比又叫做它们的位似比.(1)五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′；(2)在平行四边形ABCD中，△ABO与△CDO(3)正方形ABCD与正方形A′B′C′D′.(4）等边三角形ABC与等边三角形A′B′C′(5)反比例函数y＝EQ\F(6,x)(x>0)的图像与y＝EQ\F(6,x)(x<0)的图像(6)曲边三角形ABC与曲边三角形A′B′C′(7)扇形ABC与扇形A′B′C′，（B、A、B′在一条直线上，C、A、C′在一条直线上）（8）△ABC与△ADE（①DE∥BC；②∠AED＝∠B）2．如图P，E，F分别是AC，AB，AD的中点，四边形AEPF与四边形ABCD是位似图形吗？如果是位似图形，说出位似中心和位似比.适当提高，应用新知位似图形的性质一般地，位似图形有以下性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.作位似图形例：如图，请以坐标原点O为位似中心，作的位似图形，并把的边长放大3倍.分析：根据位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比，我们只要连结位似中心O和的各顶点，并把线段延长（或反向延长）到原来的3倍，就得到所求作图形的各个顶点直角坐标系中图形的位似变化与对应点坐标变化的规律想一想：1．四边形GCEF与四边形G′C′E′F′具有怎样的对称性？2．怎样运用像与原像对应点的坐标关系，画出以原点为位似中心的位似图形？以坐标原点为位似中心的位似变换有一下性质：若原图形上点的坐标为（x，y），像与原图形的位似比为k，则像上的对应点的坐标为（kx，ky）或（―kx，―ky）.练一练如图，已知△ABC和点O.以O为位似中心，求作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长缩小到原来的一半.如图，在直角坐标系中，△ABC的各个坐标为A（-1，1），B（2，3），C（0，3）。现要以坐标原点0为位似中心，位似比为，作△ABC的位似图形△A/B/C/，则它的顶点A、B、C的坐标各是多少？小结内容，自我反馈今天你学会了什么？位似图形的定义，位似图形的性质.作业1．P65习题27.31、2、3配套课时练习1.位似这种变换是将图形的_________改变，而保持图形的________不变。2.如图所示，四边形ACDE∽四边形ABHF，则它们的位似中心是____________。3.如图所示，点D、点E分别是AB、AC边中点，则△_________∽△_______，它们的位似中心是___________，相似比是__________。4.如图所示中位似的图形是__________（填序号）。5.已知四边形ABCD，如图所示。画一个四边形，使四边形与原图形的相似比为2.5。6.请用位似的方法把下图放大1倍，要求位似中心在AB边上。7.玩一玩挡光板：小明学了“位似变换”以后，周末在家做了一个“位似”小实验（如图所示），为了使家中的墙壁上一幅壁画不受太阳光从点O照射，他在壁画与入射光线O之间设置一个长方形障碍，以拦住壁画不受照射，要求使壁画和障碍物成位似图形，相似比为3：1，请你帮小明画出其位似图形。8.如图所示，按要求进行位似变换：（1）将△ABC放大2倍，且位似中心选在△ABC左侧图中黑点处。（2）将正六边形ABCDEF缩小倍，且位似中心选在图形的内部图中黑点处。9.一个矩形如图所示，四边形ABCD的坐标分别为A（-3，1），B（-3，-1），C（-1，-1），D（-1，1）。（1）写出沿CD翻折后的图形坐标。（2）绕D点逆时针旋转180°后的图形坐标。（3）关于坐标原点O成中心对称的图形的顶点坐标。（4）把图形再向下平移2个单位得到图形的点坐标。10.将如图所示中的△ABC作如下运动，画出图形，写出三个顶点变化后的坐标；（1）沿x轴向右平移4个单位；（2）关于x轴对称；（3）以C点为位似中心，缩小0.5倍。11.如图所示是某次海战中敌我双方舰艇对峙示意图，对我方潜艇来说：（1）北偏东40°的方向上有哪些目标？要想确定敌舰B的位置，还需要什么数据？（2）距我方潜艇的图上距离小于1cm的敌舰有几艘？（3）要确定每艘敌舰的位置，各需要几个数据？并用已学知识加以说明。参考答案：1.大小；形状 2.A3.ADE；ABC；A；1：24.①③④5.图略 6.图略7.图略 8.图略9.（1）A（1，1），B（1，-1），C（-1，-1），D（-1，1）（2）A（1，1），B（1，3），C（-1，3），D（-1，1）（3）A（3，-1），B（3，1），C（1，1），D（1，-1）（4）A（-3，-1），B（-3，-3），C（-1，-3），D（-1，-1）10.（1）图略A1（7，3），B1（5，-1），C1（9，0）；（2）A2（3，-3），B2（1，1），C2（5，0）；（3）A3（4，1.5），B3（3，-0.5），C3（5，0）11.（1）北偏东40°的方向有敌舰B和小岛两个图标；要想确定敌舰B的位置，还需知道敌舰B距我方潜艇的距离。（2）距我方潜艇的图上距离为1cm的敌舰有2艘，敌舰A和敌舰C。（3）要确定每艘敌舰的位置，需知道两个数据，距离和方位角。即要确定每艘敌舰的位置，可建立方位坐标。用方位坐标标出敌舰位置。如：敌舰B在我方潜艇北偏东40°，距离为××cm的地方。27.3位似（一）一、教学目标1．了解位似图形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位似图形的性质．2．掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小．二、重点、难点1．重点：位似图形的有关概念、性质与作图．2．难点：利用位似将一个图形放大或缩小．3．难点的突破方法（1）位似图形：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比．（2）掌握位似图形概念，需注意：①位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；②两个位似图形的位似中心只有一个；③两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；④位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似．（3）位似图形首先是相似图形，所以它具有相似图形的一切性质．位似图形是一种特殊的相似图形，它又具有特殊的性质，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离等于位似比（相似比）．（4）两个位似图形的主要特征是：每对位似对应点与位似中心共线；不经过位似中心的对应线段平行．（5）利用位似，可以将一个图形放大或缩小，其步骤见下面例题．作图时要注意:①首先确定位似中心，位似中心的位置可随意选择；②确定原图形的关键点，如四边形有四个关键点，即它的四个顶点；③确定位似比，根据位似比的取值，可以判断是将一个图形放大还是缩小；④符合要求的图形不惟一，因为所作的图形与所确定的位似中心的位置有关（如例2），并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形（如例2中的图2与图3）．三、例题的意图本节课安排了两个例题，例1是补充的一个例题，通过辨别位似图形，巩固位似图形的概念，让学生理解位似图形必须满足两个条件：（1）两个图形是相似图形；（2）两个相似图形每对对应点所在的直线都经过同一点，二者缺一不可．例2是教材P61例题，通过例2的教学，使学生掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小．讲解例2时，要注意引导学生能够用不同的方法画出所要求作的图形，要让学生通过作图理解符合要求的图形不惟一，这和所作的图形与所确定的位似中心的位置有关（如位似中心O可能选在四边形ABCD外，可能选在四边形ABCD内，可能选在四边形ABCD的一条边上，可能选在四边形ABCD的一个顶点上）．并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形（如例2中的图2与图3），因此，位似中心的确定是作出图形的关键．要及时强调注意的问题（见难点的突破方法④），及时总结作图的步骤（见例2），并让学生练习找所给图形的位似中心的题目（如课堂练习2），以使学生真正掌握位似图形的概念与作图．四、课堂引入1．观察：在日常生活中，我们经常见到下面所给的这样一类相似的图形，它们有什么特征？2．问：已知：如图，多边形ABCDE，把它放大为原来的2倍，即新图与原图的相似比为2．应该怎样做？你能说出画相似图形的一种方法吗？五、例题讲解例1（补充）如图，指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心．分析：位似图形是特殊位置上的相似图形，因此判断两个图形是否为位似图形，首先要看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否都经过同一点，这两个方面缺一不可．解：图（1）、（2）和（4）三个图形中的两个图形都是位似图形，位似中心分别是图（1）中的点A，图（2）中的点P和图（4）中的点O．（图（3）中的点O不是对应点连线的交点，故图（3）不是位似图形，图（5）也不是位似图形）例2（教材P61例题）把图1中的四边形ABCD缩小到原来的．分析：把原图形缩小到原来的，也就是使新图形上各顶点到位似中心的距离与原图形各对应顶点到位似中心的距离之比为1∶2．作法一：（1）在四边形ABCD外任取一点O；（2）过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；（3）分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′、B′、C′、D′，使得；（4）顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，如图2．问：此题目还可以如何画出图形？作法二：（1）在四边形ABCD外任取一点O；（2）过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；（3）分别在射线OA，OB，OC，OD的反向延长线上取点A′、B′、C′、D′，使得；（4）顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，如图3．作法三：（1）在四边形ABCD内任取一点O；（2）过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；（3）分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′、B′、C′、D′，使得；（4）顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，如图4．（当点O在四边形ABCD的一条边上或在四边形ABCD的一个顶点上时，作法略——可以让学生自己完成）六、课堂练习1．教材P61．1、22．画出所给图中的位似中心．把右图中的五边形ABCDE扩大到原来的2倍．七、课后练习1．教材P65．1、2、42．已知：如图，△ABC，画△A′B′C′，使△A′B′C′∽△ABC，且使相似比为1.5，要求（1）位似中心在△ABC的外部；（2）位似中心在△ABC的内部；（3）位似中心在△ABC的一条边上；（4）以点C为位似中心．27.3位似（二）一、教学目标1．巩固位似图形及其有关概念．2．会用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换，掌握把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律．3．了解四种变换（平移、轴对称、旋转和位似）的异同，并能在复杂图形中找出这些变换．二、重点、难点1．重点：用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换．2．难点：把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律．3．难点的突破方法（1）相似与轴对称、平移、旋转一样，也是图形之间的一个基本变换，因此一些特殊的相似（如位似）也可以用图形坐标的变化来表示．．（2）带领学生共同探究出位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．（3）在平面直角坐标系中，用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换的关键是要确定位似图形各个顶点的坐标，而不同方法得到的图形坐标是不同的．如：已知：△ABC三个顶点坐标分别为A(1,3)，B(2,0)，C(6,2)，以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，根据前面（2）总结的变化规律，点A的对应点A′的坐标为（1×2，3×2），即A′（2，6），或点A的对应点A′′的坐标为（1×(-2)，3×(-2)），即A′′（-2，-6）．类似地，可以确定其他顶点的坐标．（4）本节课的最后要给学生总结（或让学生自己总结）平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而图形放大或缩小（位似变换）之后是相似的．并让学生练习在所给的图案中，找出平移、轴对称、旋转和位似这些变换．三、例题的意图本节课安排了两个例题，例1是教材P63的例题，它是在引导学生寻找出位似变换中对应点的坐标的变化规律后的一个用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换的题目，其目的是巩固新知识，帮助学生加深理解用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换知识，此题目应让学生用不同方法作出图形．例2是教材P64的一个问题，它是“平移、轴对称、旋转和位似”四种变换的一个综合题目，所给的图案由于观察的角度不同，答案就会不同，因此应让学生自己来回答，并在顺利完成这个题目基础上，让学生自己总结出这四种变换的异同．四、课堂引入1．如图，△ABC三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(2,1)，C(6,2).（1）将△ABC向左平移三个单位得到△A1B1C1，写出A1、B1、C1三点的坐标；（2）写出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2三个顶点A2、B2、C2的坐标；（3）将△ABC绕点O旋转180°得到△A3B3C3，写出A3、B3、C3三点的坐标．2．在前面几册教科书中，我们学习了在平面直角坐标系中，如何用坐标表示某些平移、轴对称、旋转（中心对称）等变换，相似也是一种图形的变换，一些特殊的相似（如位似）也可以用图形坐标的变化来表示．3．探究：（1）如图，在平面直角坐标系中，有两点A(6,3)，B(6,0)．以原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩小．观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？（2）如图，△ABC三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(2,1)，C(6,2)，以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？【归纳】位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．五、例题讲解例1（教材P63的例题）分析：略（见教材P63的例题分析）解：略（见教材P63的例题解答）问：你还可以得到其他图形吗？请你自己试一试！解法二：点A的对应点A′′的坐标为（-6×，6×），即A′′（3，-3）．类似地，可以确定其他顶点的坐标．（具体解法与作图略）例2（教材P64）在右图所示的图案中，你能找出平移、轴对称、旋转和位似这些变换吗？分析：观察的角度不同，答案就不同．如：它可以看作是一排鱼顺时针旋转45°角，连续旋转八次得到的旋转图形；它还可以看作位似中心是图形的正中心，相似比是4∶3∶2∶1的位似图形，……．解：答案不惟一，略．六、课堂练习教材P64．1、2△ABO的定点坐标分别为A(-1,4)，B(3,2)，O(0,0)，试将△ABO放大为△EFO，使△EFO与△ABO的相似比为2.5∶1，求点E和点F的坐标．如图，△AOB缩小后得到△COD，观察变化前后的三角形顶点，坐标发生了什么变化，并求出其相似比和面积比．七、课后练习1．教材P65．3，P66．5、82．请用平移、轴对称、旋转和位似这四种变换设计一种图案（选择的变换不限）．3．如图，将图中的△ABC以A为位似中心，放大到1.5倍，请画出图形，并指出三个顶点的坐标所发生的变化．《位似》同步练习第1课时位似图形的概念及画法1．下列四个命题中，属于真命题的是(D)A．若eq\r(a2)＝m，则a＝mB．若a>b，则am>bmC．两个等腰三角形必定相似D．位似图形一定是相似图形2．如图27－3－1，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，则△DEF与△ABC的面积比是(B)A．1∶2B．1∶4C．1∶5D．1∶6【解析】∵△DEF∽△ABC，∴eq\f(S△DEF,S△ABC)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(DE,AB)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4)，故选B.图27－3－1图27－3－23．如图27－3－2，已知△EFH和△MNK是位似图形，那么其位似中心是(A)A．点BB．点CC．点DD．点A【解析】根据位似图形的性质，连接对应点E与M，F与N，H与K，看它们的交点是哪一个，易知它们相交于点B，则B点就是它们的位似中心．4．如图27－3－3，正五边形FGHMN是由正五边形ABCDE经过位似变换得到的，若AB∶FG＝2∶3，则下列结论正确的是(B)图27－3－3A．2DE＝3MNB．3DE＝2MNC．3∠A＝2∠FD．2∠A＝3∠F【解析】位似图形是相似图形，所以对应边的比都等于相似比，则有eq\f(DE,MN)＝eq\f(AB,FG)＝eq\f(2,3)，所以3DE＝2MN.5．如图27－3－4，四边形ABCD的周长为12cm，它的位似图形为四边形A′B′C′D′，位似中心为O，若OA∶AA′＝1∶3，则四边形A′B′C′D′的周长为(B)图27－3－4A．12cmB．24cmC．12cm或24cmD．以上都不对【解析】∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是位似图形，∴eq\f(AD,A′D′)＝eq\f(OA,OA′)，又∵eq\f(OA,AA′)＝eq\f(1,3)，∴设OA＝k，则AA′＝3k，∴OA′＝AA′－OA＝3k－k＝2k，∴eq\f(AD,A′D′)＝eq\f(OA,OA′)＝eq\f(k,2k)＝eq\f(1,2)，即A′D′＝2AD，同理A′B′＝2AB，B′C′＝2BC，C′D′＝2CD，∴四边形A′B′C′D′的周长为A′B′＋B′C′＋C′D′＋D′A′＝2(AB＋BC＋CD＋DA)＝24cm.6．如图27－3－5，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为60cm，且幻灯片中图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为__18图27－3－57．如图27－3－6，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA＝10cm，OA′＝20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是__eq\f(1,2)__．图27－3－68．如图27－3－7，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是位似图形，且AA′＝OA′，那么五边形ABCDE是将五边形A′B′C′D′E′放大到原来的__2__倍，S五边形ABCDE＝__4__S五边形A′B′C′D′E′.图27－3－7【解析】因为AA′＝OA′，所以eq\f(OA′,OA)＝eq\f(1,2)，所以五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′的相似比为2∶1，面积比为4∶1.9．如图27－3－8，分别按下列要求作出四边形ABCD以O点为位似中心的位似图形．图27－3－8(1)沿AO方向放大为原图的2倍；(2)沿OA方向放大为原图的2倍．解：(1)如图所示，四边形A′B′C′D′符合题意；(2)如图所示，四边形A″B″C″D″符合题意．10．关于位似图形的表述，下列命题正确的是__②③__.(只填序号)①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．11．图27－3－9中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点和O点都在正方形的顶点上．图27－3－9(1)以点O为位似中心，在方格图中将△ABC放大为原来的2倍，得到△A′B′C′；(2)△A′B′C′绕点B′顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A″B′C″，并求边A′B′在旋转过程中扫过的图形面积．【解析】利用位似图形的性质和旋转解决问题．解：(1)如图中△A′B′C′；(2)如图中△A″B′C″，边A′B′在旋转过程中扫过的图形面积为S＝eq\f(90,360)π×(22＋42)＝eq\f(1,4)π×20＝5π.12如图27－3－10，正三角形ABC的边长为3＋eq\r(3).(1)如图，正方形EFPN的顶点E，F在边AB上，顶点N在边AC上，在正三角形ABC及其内部，以点A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面积最大(不要求写作法)；(2)求(1)中作出的正方形E′F′P′N′的边长；图27－3－10解：(1)如图，正方形E′F′P′N′即为所求．(2)设正方形E′F′P′N′的边长为x，∵△ABC为正三角形，∴AE′＝BF′＝eq\f(\r(3),3)x.∵E′F′＋AE′＋BF′＝AB，∴x＋eq\f(\r(3),3)x＋eq\f(\r(3),3)x＝3＋eq\r(3)，∴x＝eq\f(9＋3\r(3),2\r(3)＋3)，即x＝3eq\r(3)－3.第2课时位似图形的坐标变化规律1．如图27－3－11，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC的面积的eq\f(1,4)，那么点B′的坐标是(D)图27－3－11A．(3，2)B．(－2，－3)C．(2，3)或(－2，－3)D．(3，2)或(－3，－2)2．如图27－3－12，将△ABC的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1(顶点均在格点上)，它们是以P点为位似中心的位似图形，则P点的坐标是(A图27－3－12A．(－4，－3)B．(－3，－3)C．(－4，－4)D．(－3，－4)3．如图27－3－13，△ABO缩小后变为△A′B′O，其中A，B的对应点分别为A′，B′点A，B，A′，B′均在图中的格点上．若线段AB上有一点P(m，n)，则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为(D)图27－3－13A．(eq\f(m,2)，n)B．(m，n)C．(m，eq\f(n,2))D．(eq\f(m,2)，eq\f(n,2))【解析】∵△ABO缩小后变为△A′B′O，其中A，B的对应点分别为A′，B′点A，B，A′，B′均在图中的格点上，A点坐标为(4，6)，B点坐标为(6，2)，A′点坐标为(2，3)，B′点坐标为(3，1)，所以若线段AB上有一点P(m，n)，则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为(eq\f(m,2)，eq\f(n,2))．故选D.4.在平面直角坐标系中，已知点E(－4，2)，F(－2，－2)，以原点O为位似中心，相似比为eq\f(1,2)，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是(D)A．(－2，1)B．(－8，4)C．(－8，4)或(8，－4)D．(－2，1)或(2，－1)【解析】根据题意画出相应的图形，找出点E的对应点E′的坐标即可．根据题意得：则点E的对应点E′的坐标是(－2，1)或(2，－1)．5．已知四边形ABCD在直角坐标系中各顶点的坐标为A(6，0)，B(－2，－6)，C(－8，2)，D(0，8)，现将四边形ABCD以坐标原点为位似中心作四边形A1B1C1D1，且使四边形ABCD的周长是四边形A1B1C1D1的4倍，则C1的坐标为(A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,2)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,2)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(1,2)))【解析】相似图形的周长比等于相似比，根据图形位似变换的坐标变化规律，知C1的坐标为eq\b\lc\((\a\vs4\al\co1(－8×\f(1,4)，))eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(1,4)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－8×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))，2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))))，即eq