《26.1.1 反比例函数》教案、导学案、同步练习

《26.1.1反比例函数》教案【教学目标】1．理解反比例函数的概念；(难点)2．能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求解析式；(重点)3．能根据实际问题中的条件建立反比例函数模型．(重点)【教学过程】一、情境导入1．京广高铁全程为2298km，某次列车的平均速度v(单位：km/h)与此次列车的全程运行时间t(单位：h)有什么样的等量关系？2．冷冻一个物体，使它的温度从20℃下降到零下100℃，每分钟平均变化的温度T(单位：℃)与冷冻时间t(单位：min)有什么样的等量关系？问题：这些关系式有什么共同点？二、合作探究探究点一：反比例函数的定义【类型一】反比例函数的识别下列函数中：①y＝eq\f(\r(3),2x)；②3xy＝1；③y＝eq\f(1－\r(2),x)；④y＝eq\f(x,2).反比例函数有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：①y＝eq\f(\r(3),2x)是反比例函数，正确；②3xy＝1可化为y＝eq\f(1,3x)，是反比例函数，正确；③y＝eq\f(1－\r(2),x)是反比例函数，正确；④y＝eq\f(x,2)是正比例函数，错误．故选C.方法总结：判断一个函数是否是反比例函数，首先要看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的定义去判断，其形式为y＝eq\f(k,x)(k为常数，k≠0)，y＝kx－1(k为常数，k≠0)或xy＝k(k为常数，k≠0)．【类型二】根据反比例函数的定义确定字母的值已知函数y＝(2m2＋m－1)x2m2＋3m－3是反比例函数，求m的值．解析：由反比例函数的定义可得2m2＋3m－3＝－1，2m2＋m－1≠0，然后求解即可．解：∵y＝(2m2＋m－1)x2m2＋3m－3是反比例函数，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m2＋3m－3＝－1，,2m2＋m－1≠0，))解得m＝－2.方法总结：反比例函数也可以写成y＝kx－1(k≠0)的形式，注意x的次数为－1，系数不等于0.探究点二：用待定系数法确定反比例函数解析式【类型一】确定反比例函数解析式已知变量y与x成反比例，且当x＝2时，y＝－6.求：(1)y与x之间的函数解析式；(2)当y＝2时，x的值．解析：(1)由题意中变量y与x成反比例，设出函数的解析式，利用待定系数法进行求解．(2)代入求得的函数解析式，解得x的值即可．解：(1)∵变量y与x成反比例，∴设y＝eq\f(k,x)(k≠0)，∵当x＝2时，y＝－6，∴k＝2×(－6)＝－12，∴y与x之间的函数解析式是y＝－eq\f(12,x)；(2)当y＝2时，y＝－eq\f(12,x)＝2，解得x＝－6.方法总结：用待定系数法求反比例函数解析式时要注意：①设出含有待定系数的反比例函数解析式，形如y＝eq\f(k,x)(k为常数，k≠0)；②将已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系数；④写出解析式．【类型二】解决与正比例函数和反比例函数有关的问题已知y＝y1＋y2，y1与(x－1)成正比例，y2与(x＋1)成反比例，当x＝0时，y＝－3；当x＝1时，y＝－1.求：(1)y关于x的关系式；(2)当x＝－eq\f(1,2)时，y的值．解析：根据正比例函数和反比例函数的定义得到y1，y2的关系式，进而得到y的关系式，把所给两组数据代入即可求出相应的比例系数，也就求得了所要求的关系式．解：(1)∵y1与(x－1)成正比例，y2与(x＋1)成反比例，∴设y1＝k1(x－1)(k1≠0)，y2＝eq\f(k2,x＋1)(k2≠0)，∵y＝y1＋y2，∴y＝k1(x－1)＋eq\f(k2,x＋1).当x＝0时，y＝－3；当x＝1时，y＝－1，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3＝－k1＋k2，,－1＝\f(1,2)k2，))∴k1＝1，k2＝－2，∴y＝x－1－eq\f(2,x＋1)；(2)把x＝－eq\f(1,2)代入(1)中函数关系式得y＝－eq\f(11,2).方法总结：能根据题意设出y1，y2的函数关系式并用待定系数法求得等量关系是解答此题的关键．探究点三：建立反比例函数模型及其相关问题写出下列问题中两个变量之间的函数表达式，并判断其是否为反比例函数．(1)底边为3cm的三角形的面积ycm2随底边上的高xcm的变化而变化；(2)一艘轮船从相距skm的甲地驶往乙地，轮船的速度vkm/h与航行时间th的关系；(3)在检修100m长的管道时，每天能完成10m，剩下的未检修的管道长ym随检修天数x的变化而变化．解析：根据题意先对每一问题列出函数关系式，再根据反比例函数的定义判断其是否为反比例函数．解：(1)两个变量之间的函数表达式为：y＝eq\f(3,2)x，不是反比例函数；(2)两个变量之间的函数表达式为：v＝eq\f(s,t)，是反比例函数；(3)两个变量之间的函数表达式为：y＝100－10x，不是反比例函数．方法总结：解决本题的关键是根据实际问题中的等量关系，列出函数解析式，然后根据解析式的特点判断是什么函数．三、板书设计1．反比例函数的定义：形如y＝eq\f(k,x)(k为常数，k≠0)的函数称为反比例函数．其中x是自变量，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．2．反比例函数的形式：(1)y＝eq\f(k,x)(k为常数，k≠0)；(2)xy＝k(k为常数，k≠0)；(3)y＝kx－1(k为常数，k≠0)．3．确定反比例函数的解析式：待定系数法．4．建立反比例函数模型．【教学反思】让学生从生活实际中发现数学问题，从而引入学习内容，这不仅激发了学生学习数学的兴趣，还激起了学生自主参与的积极性和主动性，为自主探究新知创造了现实背景．因为反比例函数这一部分内容与正比例函数相似，在教学过程中，以学生学习的正比例函数为基础，在学生之间创设相互交流、相互合作、相互帮助的关系，让学生通过充分讨论交流后得出它们的相同点，在此基础上来揭示反比例函数的意义.《26.1.1反比例函数》导学案一、课前预习1、什么是函数？2、什么是一次函数？3、什么是正比例函数？4、乘法表中乘积为12的两个因数之间存在什么关系？二、创设情境问题1京沪线铁路全程为1463km，某次列车的平均速度v（单位：km/h）随此次列车的全程运行时间t（单位：h）的变化而变化．问题2某住宅小区要种植一块面积为1000m2的矩形草坪，草坪的长y（单位：m）随宽x（单位：m）的变化而变化.问题3已知北京市的总面积为1.68×104km2，人均占有面积S（单位:km2/人）随全市总人口n（单位：人）的变化而变化．三、形成概念反比例函数定义：四、概念辨析下列函数中哪些是反比例函数?并说出它的k。哪些是一次函数?;;;;;;;;.五、例题探究例1.当m＝时，关于x的函数y=(m+1)是反比例函数？例2.已知y是x的反比例函数，并且当x=2时,y=6．（1）写出y关于x的函数解析式；（2）当x=4时,求y的值.（3）当y=8时，求x的值.例3.画出的图像.（思考：画出的图像）x……y……六、拓展练习1．已知y与x2成反比例，并且当x=3时，y=4．（1）写出y关于x的函数解析式；（2）当x=1.5时，求y的值；（3）当y=6时，求x的值.2.已知y-1与成反比例，且当x=1时y=4，求y与x的函数表达式，并判断是哪类函数？26.1.1反比例函数同步练习A组1、已知反比例函数y＝，当x=1时，y=-2，则k的值为（）A． 2 B．－ C．1 D．－22、若y与x成反比例，当x=-1时,y=4，则它的函数关系是.3、近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，则眼镜度数与镜片焦距之间的函数关系式为．4、已知变量y与x成反比例，当x＝3时，y＝－6.求：（1）y与x之间的函数关系式；（2）当y＝3时，x的值.5.在面积为定值的一组矩形中,当矩形的边长为7.5cm时,它的另一边长为8cm.(1)设矩形相邻的两边长分别为x(cm),y(cm),求y关于x的函数表达式.(2)若其中一个矩形的一条边长为5cm,求这个矩形与之相邻的另一边长.B组6、若变量y与x成正比例，变量x又与z成反比例，则y与z的关系是（）A.成反比例B.成正比例C.y与z2成正比例D.y与z2成反比例7、y与x+1成反比例，当x=2时，y=1，则当y=－1时，x=_________.8、某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x（元）与日销售量y（个）之间有如下关系：日销售单价x（元）3456日销售量y(个)20151210求y与x之间的函数关系式；9、已知与成反比例，与成正比例，并且当=3时，=5，当=1时，=-1；求与之间的函数关系式.参考答案A组D2、3、4、(1)y＝－，（2）－65、(1)(2)12B组6、A7、－48、9、解：设，，则y=。根据题意有：，解得：，，∴26.1.1反比例函数同步训练1.填空：（1）苹果每千克x元，花10元钱可买y千克的苹果，则y与x之间的函数关系式为；（2）矩形的面积为4，一条边的长为x，另一条边的长为y，则y与x的函数解析式为；(3)若是反比例函数，则m的取值是；（4）当m＝时，关于x的函数是反比例函数.2.下列关系式中的y是x的反比例函数吗？如果是，比例系数k是多少？（1）（2）（3）（4）xy=1(5)3.已知y=（m-2）x|m|-3是反比例函数，则m是什么？4.已知y是x的反比例函数，当x=2时，y=6.⑴写出y与x的函数关系式；⑵求当x=4时y的值.5.已知点P（x1，3）和点Q（-2，y1）满足反比例函数，则x1=，y1=.6.已知点P（2，-3）满足反比例函数，则k=.7.已知函数y＝y1＋y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x＝1时，y＝4；当x＝2时，y＝5.⑴求y与x的函数关系式；⑵当x＝－2时，求函数y的值.8.已知与成反比例，当时，；那么当时，的值为__________．9..已知函数，与成正比例，与成反比例，且当时，；当时，．求关于的函数关系式．参考答案1.（1），（2），（3）由得：，（4）.2.（1）是，；（2）是，，；（3）否；（4）是，（可化为）；（5）是，.3.由得：.4.（1）设，则，，y与x的函数关系式为；（2）当x=4时，.5.x1=-3，y1=.6..7.（1）设，，则，把x＝1，y＝4；x＝2，y＝5分别代入得：，解得：，所以，；（2）把x＝-2代入得：y＝-5.8..9.设，则，，.当时，=.26.1.1反比例函数课内同步精练●A组基础练习1．下列函数中是反比例函数的是（）A.y=-xB.C.D.2．下列说法正确的是（）A．圆面积公式S=πr2中，S与r成正比例关系B．三角形面积公式S=ah中，当S是常量时，a与h成反比例关系C．中，y与x成反比例关系D．中，y与x成正比例关系3．矩形面积是40m2，设它的一边长为x(m)，则矩形的另一边长y(m)与x的函数关系是（)A.B.y=40xC.D.4．s、v、t分别表示路程、速度与时间，当v为常数时,s与t的函数关系为，属于函数；s为常数时v与t的函数关系式是.5．九年级的全体师生500人准备用10000只纸鹤来表达对2008年北京奥运会的美好祝愿，如果每人每天折x只，y天能够完成，求y关于x的函数关系式．●B组提高训练6.圆柱的侧面积是10π，则圆柱的高线长h与圆柱的底面半径r之间的函数关系是.7.一个无盖的长方体木箱的体积是400O0cm2,(1）如果它的底面积为acm，高为hcm，求h关于a的函数关系式．(2）如果这个长方体的底是边长为xcm的正方形，求它的表面积S（cm2）关于x的函数关系式．课外拓展练习●A组基础练习1.当路程一定时，速度v与时间t之间的函数关系是()A．正比例函数B．反比例函数C．一次函数D．不能确定2.下列函数式中，属于反比例函数的是（)A.y=x+2B.C.D.3．当三角形面积是8cm2时，它的底边上的高h(cm）与底边长x(cm)之间的函数解析式是.4．把化为的形式为；比例