《26.2 实际问题中的反比例函数》教案、导学案、同步练习

26.2实际问题与反比例函数第1课时实际问题中的反比例函数【教学目标】1．经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题；(重点)2．体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力．(难点)【教学过程】一、情境导入小明和小华相约早晨一起骑自行车从A镇出发前往相距20km的B镇游玩，在返回时，小明依旧以原来的速度骑自行车，小华则乘坐公交车返回A镇．假设两人经过的路程一样，自行车和公交车的速度保持不变，且自行车速度小于公交车速度．你能找出两人返回时间与所乘交通工具速度间的关系吗？二、合作探究探究点：实际问题与反比例函数【类型一】反比例函数在路程问题中的应用王强家离工作单位的距离为3600米，他每天骑自行车上班时的速度为v米/分，所需时间为t分钟．(1)速度v与时间t之间有怎样的函数关系？(2)若王强到单位用15分钟，那么他骑车的平均速度是多少？(3)如果王强骑车的速度最快为300米/分，那他至少需要几分钟到达单位？解析：(1)根据速度、时间和路程的关系即可写出函数的关系式；(2)把t＝15代入函数的解析式，即可求得速度；(3)把v＝300代入函数解析式，即可求得时间．解：(1)速度v与时间t之间是反比例函数关系，由题意可得v＝eq\f(3600,t)；(2)把t＝15代入函数解析式，得v＝eq\f(3600,15)＝240.故他骑车的平均速度是240米/分；(3)把v＝300代入函数解析式得eq\f(3600,t)＝300，解得t＝12.故他至少需要12分钟到达单位．方法总结：解决问题的关键要掌握路程、速度和时间的关系．【类型二】反比例函数在工程问题中的应用在某河治理工程施工过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y(天)与每天完成的工程量x(m/天)的函数关系图象如图所示．(1)请根据题意，求y与x之间的函数表达式；(2)若该工程队有2台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠15米，问该工程队需用多少天才能完成此项任务？(3)如果为了防汛工作的紧急需要，必须在一个月内(按30天计算)完成任务，那么每天至少要完成多少米？解析：(1)将点(24，50)代入反比例函数解析式，即可求得反比例函数的解析式；(2)用工作效率乘以工作时间即可得到工作量，然后除以工作效率即可得到工作时间；(3)工作量除以工作时间即可得到工作效率．解：(1)设y＝eq\f(k,x).∵点(24，50)在其图象上，∴k＝24×50＝1200，所求函数表达式为y＝eq\f(1200,x)；(2)由图象可知共需开挖水渠24×50＝1200(m)，2台挖掘机需要工作1200÷(2×15)＝40(天)；(3)1200÷30＝40(m)，故每天至少要完成40m.方法总结：解决问题的关键是掌握工作量、工作效率和工作时间之间的关系．【类型三】利用反比例函数解决利润问题某商场出售一批进价为2元的贺卡，在销售中发现此商品的日售价x(元)与销售量y(张)之间有如下关系：x(元)3456y(张)20151210(1)猜测并确定y与x的函数关系式；(2)当日销售单价为10元时，贺卡的日销售量是多少张？(3)设此卡的利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，若物价部门规定此卡的销售单价不能超过10元，试求出当日销售单价为多少元时，每天获得的利润最大并求出最大利润．解析：(1)要确定y与x之间的函数关系式，通过观察表中数据，可以发现x与y的乘积是相同的，都是60，所以可知y与x成反比例，用待定系数法求解即可；(2)代入x＝10求得y的值即可；(3)首先要知道纯利润＝(日销售单价x－2)×日销售数量y，这样就可以确定W与x的函数关系式，然后根据销售单价最高不超过10元，就可以求出获得最大日销售利润时的日销售单价x.解：(1)从表中数据可知y与x成反比例函数关系，设y＝eq\f(k,x)(k为常数，k≠0)，把点(3，20)代入得k＝60，∴y＝eq\f(60,x)；(2)当x＝10时，y＝eq\f(60,10)＝6，∴日销售单价为10元时，贺卡的日销售量是6张；(3)∵W＝(x－2)y＝60－eq\f(120,x)，又∵x≤10，∴当x＝10时，W取最大值，W最大＝60－eq\f(120,10)＝48(元)．方法总结：本题考查了根据实际问题列反比例函数的关系式及求最大值，解答此类题目的关键是准确理解题意．【类型四】反比例函数的综合应用如图所示，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为y℃，从加热开始计算的时间为x分钟．据了解，该材料在加热过程中温度y与时间x成一次函数关系．已知该材料在加热前的温度为4℃，加热一段时间使材料温度达到28℃时停止加热，停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度y与时间x成反比例函数关系．已知第12分钟时，材料温度是14℃.(1)分别求出该材料加热和停止加热过程中y与x的函数关系式(写出x的取值范围)；(2)根据该食品制作要求，在材料温度不低于12℃的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟？解析：(1)首先根据题意，材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例函数关系．将题中数据代入可求得两个函数的关系式；(2)把y＝12代入y＝4x＋4得x＝2，代入y＝eq\f(168,x)得x＝14，则对该材料进行特殊处理所用的时间为14－2＝12(分钟)．解：(1)设加热停止后反比例函数表达式为y＝eq\f(k1,x)，∵y＝eq\f(k1,x)过(12，14)，得k1＝12×14＝168，则y＝eq\f(168,x)；当y＝28时，28＝eq\f(168,x)，解得x＝6.设加热过程中一次函数表达式为y＝k2x＋b，由图象知y＝k2x＋b过点(0，4)与(6，28)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝4，,6k2＋b＝28，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k2＝4，,b＝4，))∴y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4＋4x（0≤x≤6），,\f(168,x)（x＞6）；))(2)当y＝12时，y＝4x＋4，解得x＝2.由y＝eq\f(168,x)，解得x＝14，所以对该材料进行特殊处理所用的时间为14－2＝12(分钟)．方法总结：现实生活中存在大量成反比例函数关系的两个变量，解答此类问题的关键是首先确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．三、板书设计1．反比例函数在路程问题中的应用；2．反比例函数在工程问题中的应用；3．利用反比例函数解决利润问题；4．反比例函数与一次函数的综合应用．【教学反思】本节课是用函数的观点处理实际问题，关键在于分析实际情境，建立函数模型，并进一步明确数学问题．将实际问题置于已有的知识背景之中，用数学知识重新解释“这是什么”，使学生逐步形成考察实际问题的能力．在解决问题时，应充分利用函数的图象，渗透数形结合的思想.26.2实际问题与反比例函数第1课时实际问题中的反比例函数班级九年级科目数学编写人第1课时共2课时课题实际问题与反比例函数课型新授课审核人学习目标1、我能灵活列反比例函数表达式解决一些实际问题2、我能写出实际问题中的反比例函数关系式，并能结合图象加深对问题的理解．学习重点运用反比例函数的意义和性质解决实际问题。学习难点分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式。学习过程一、交流预习1、反比例函数解析式的一般形式。2、反比例函数的图象和性质3、写出反比例函数的定义：__________________________________4、反比例函数的图象是________，当k＞0时，_____________当k＜0时，____________5、三角形中，当面积S一定时，高h与相应的底边长a关系。6、矩形中，当面积S一定时，长a与宽b关系。7、长方体中当体积V一定时，高h与底面积S的关系。8、一个水池装水12m3，如果从水管中每小时流出xm3的水，经过yh可以把水放完，那么y与x的函数关系式是______，自变量x的取值范围是______二、合作探究1.某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地，为了安全，迅速通过这片湿地，他们沿着路线铺了若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成的任务的情境。2、京沈高速公路全长658km，汽车沿京沈高速公路从沈阳驶往北京，则汽车行完全程所需时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的函数关系式为三、达标训练2、有一面积为60的梯形，其上底长是下底长的，若下底长为x，高为y，则y与x的函数关系是．3、近视眼镜的度数y（度）与焦距x（m）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m．（1）试求眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式；（2）求1000度近视眼镜镜片的焦距．4、已知某矩形的面积为20cm2（1）写出其长y与宽x之间的函数表达式。(2)当矩形的长为12cm时，求宽为多少?当矩形的宽为4cm，求其长为多少?(3)如果要求矩形的长不小于8cm，其宽至多要多少?5、如图，面积为2的ΔABC，一边长为，这边上的高为，则与的变化规律用函数图象表示大致是（）6、如图所示是某一蓄水池每小时的排水量V（m3/h）与排完水池中的水所用的时间t（h）之间的函数关系图象．（1）请你根据图象提供的信息求出此蓄水池的蓄水量；（2）写出此函数的解析式；（3）若要6h排完水池中的水，那么每小时的排水量应该是多少？如果每小时排水量是5000m3，那么水池中的水将要多少小时排完7、完成某项任务可获得500元报酬，考虑由x人完成这项任务，试写出人均报酬y（元）与人数x（人）之间的函数关系式26.2实际问题与反比例函数同步检测附答案第一课时1.某种汽车可装油400L，若汽车每小时的用油量为（L）.（1）用油量与每小时的用油量（L）的函数关系式为；（2）若每小时的用油量为20L，则这些油可用的时间为；（3）若要使汽车继续行驶40不需供油，则每小时用油量的范围是.2.甲、乙两地相距250千米，如果把汽车从甲地到乙地所用的时间（小时），表示为汽车的平均速度为（千米/小时）的函数，则此函数的图象大致是（）.3.如果等腰三角形的底边长为。底边上的高为，则它的面积为定植S时，则与的函数关系式为（）A.B.C.D.第5踢图4.用电器的输出功率与通过的电流、用电器的电阻之间的关系是，下面说法正确的是（）第5踢图为定值，与成反比例 B．为定值，与成反比例C．为定值，与成正比例 D．为定值，与成正比例5.一定质量的二氧化碳，其体积V（是密度的反比例函数，请你根据图中的已知条件，下出反比例函数的关系式，当V=1.9时，=.第6题图6你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度（四面条的粗细（横截面积）S（的反比例函数，其图象如图所示.第6题图（1）写出与S的函数关系式；（2）求当面条粗1.6时，面条的总长度是多少米？7.蓄电池的电压为定植，使用此电源时，电流I（）和电阻R（成反比例函数关系，且当I=4A，R=5.（1）蓄电池的电压是多少？请你写出这一函数的表达式.（2）当电流喂A时，电阻是多少？（3）当电阻是10.时，电流是多少？（4）如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不超过10A，那么用电器的可变电阻应该控制在什么范围内？第一课时答案：1.（1）2.D，提示：由题意，得，故选D；3.C，提示：根据面积公式S=；4.B5.V=，提示：设V=6.解：（1）由于一定体积的面团做成拉面，面条的总长度（是面条的粗细（横截面积）S（的反比例函数，所以可设，由图象知双曲线过点（4，32），可得，即与S的函数关系式为（2）当面条粗1.6时，即当S=1.6时，当面条粗1.6时，面条的总长度为80米.7.（1）U=IR=4×5=20V，函数关系式是：I=（2）当I=1.5时，R=4.；（3）当R=10时，I=2A；（4）因为电流不超过10A，由I=可得，可变电阻应该大于等于2..§26.2实际问题与反比例函数（1）1.近视眼镜的度数y（度）与焦距x（m）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m．（1）试求眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式；求1000度近视眼镜镜片的焦距．2.如图所示是某一蓄水池每小时的排水量V（m3/h）与排完水池中的水所用的时间t（h）之间的函数关系图象．（1）请你根据图象提供的信息求出此蓄水池的蓄水量；（2）写出此函数的解析式（3）若要6h排完水池中的水，那么每小时的排水量应该是多少？如果每小时排水量是5000m3，那么水池中的水将要多少小时排完？3.A、B两城市相距720千米，一列火车从A城去B城．（1）火车的