数字切比雪夫高通IIR滤波器

.><4.6>为了求切比雪夫滤波器在椭圆上极点的位置,我们首先要这样确定,在大圆和小圆上以等角度等间隔排列的那些点：这些点对于虚轴呈对称分布,并且没有一个点落在虚轴上；但当N为奇数时要有一个点落在实轴上,而当N为偶数时,就都不会落在实轴上。切比雪夫滤波器的极点落在椭圆上,起纵坐标由相应的大圆上点的纵坐标来表示,起横坐标由相应的小圆上点的横坐标来表示。切比雪夫滤波器是在通带或阻带上频率响应幅度等波纹波动的滤波器。在通带波动的为"I型切比雪夫滤波器",在阻带波动的为"II型切比雪夫滤波器"。切比雪夫滤波器在过渡带比巴特沃斯滤波器的衰减快,但频率响应的幅频特性不如后者平坦。切比雪夫滤波器和理想滤波器的频率响应曲线之间的误差最小,但是在通频带内存在幅度波动。5.双线性变换法设计IIR数字滤波器5.1设计原理脉冲响应不变法的主要缺点是产生频率响应的混叠失真。这是因为从S平面到Ｚ平面是多值的映射关系所造成的。为了克服这一缺点,可以采用非线性频率压缩方法,将整个频率轴上的频率X围压缩到-π/T～π/T之间,再用z=esT转换到Z平面上。也就是说,第一步先将整个S平面压缩映射到S1平面的-π/T～π/T一条横带里；第二步再通过标准变换关系z=es1T将此横带变换到整个Z平面上去。这样就使S平面与Z平面建立了一一对应的单值关系,消除了多值变换性,也就消除了频谱混叠现象。图5.1双线性变换的映射关系为了将S平面的整个虚轴jΩ压缩到S1平面jΩ1轴上的-π/T到π/T段上,可以通过以下的正切变换实现：〔式5.1〕式中,T仍是采样间隔。当Ω1由-π/T经过0变化到π/T时,Ω由-∞经过0变化到+∞,也即映射了整个jΩ轴。将式〔5.1〕写成〔式5.2〕将此关系解析延拓到整个S平面和S1平面,令jΩ=s,jΩ1=s1,则得：〔式5.3〕再将S1平面通过以下标准变换关系映射到Z平面：〔式5.4〕从而得到S平面和Z平面的单值映射关系为：〔式5.5〕〔式5.6〕式〔5.5〕与式〔5.6〕是S平面与Z平面之间的单值映射关系,这种变换都是两个线性函数之比,因此称为双线性变换。式〔5.1〕与式〔5.5〕的双线性变换符合映射变换应满足的两点要求。首先,把z=ejω,可得：〔式5.7〕即S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆。其次,将s=σ+jΩ代入式〔5.7〕,得：〔式5.8〕因此：〔式5.9〕由此看出,当σ<0时,|z|<1；当σ>0时,|z|>1。也就是说,S平面的左半平面映射到Z平面的单位圆内,S平面的右半平面映射到Z平面的单位圆外,S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆上。因此,稳定的模拟滤波器经双线性变换后所得的数字滤波器也一定是稳定的。5.2双线性变换的优缺点双线性变换法与脉冲响应不变法相比,其主要的优点是避免了频率响应的混叠现象。这是因为S平面与Z平面是单值的一一对应关系。S平面整个jΩ轴单值地对应于Z平面单位圆一周,即频率轴是单值变换关系。这个关系如式〔5.5〕所示,重写如下：〔式5.10〕上式表明,S平面上Ω与Z平面的ω成非线性的正切关系,如图5.1所示。由图5.1看出,在零频率附近,模拟角频率Ω与数字频率ω之间的变换关系接近于线性关系；但当Ω进一步增加时,ω增长得越来越慢,最后当Ω→∞时,ω终止在折叠频率ω=π处,因而双线性变换就不会出现由于高频部分超过折叠频率而混淆到低频部分去的现象,从而消除了频率混叠现象。图5.2双线性变换法的频率变换关系但是双线性变换的这个特点是靠频率的严重非线性关系而得到的,如式〔5.7〕与图5.1所示。由于这种频率之间的非线性变换关系,就产生了新的问题。首先,一个线性相位的模拟滤波器经双线性变换后得到非线性相位的数字滤波器,不再保持原有的线性相位了；其次,这种非线性关系要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段常数型的,即某一频率段的幅频响应近似等于某一常数〔这正是一般典型的低通、高通、带通、带阻型滤波器的响应特性〕,不然变换所产生的数字滤波器幅频响应相对于原模拟滤波器的幅频响应会有畸变,如图5.2所示。图5.3双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射对于分段常数的滤波器,双线性变换后,仍得到幅频特性为分段常数的滤波器,但是各个分段边缘的临界频率点产生了畸变,这种频率的畸变,可以通过频率的预畸变来加以校正。也就是将临界模拟频率事先加以畸变,然后经变换后正好映射到所需要的数字频率上。数字切比雪夫高通IIR滤波器设计6.1设计流程图数字切比雪夫高通IIR滤波器设计流程图如下：开始开始确定确定数字滤波器的技术指标把把数字滤波器频率特征转换成模拟滤波器的频率特征ChebyshevIChebyshevII型滤波器参数计算〔模拟域〕创建Chebyshev滤波器原型创建Chebyshev滤波器原型表达式从零极点增益形式转换成状态方程形式表达式从零极点增益形式转换成状态方程形式实现低通到高通滤波器类型的转换实现低通到高通滤波器类型的转换采用双线性变换法,从模拟高通到数字高通采用双线性变换法,从模拟高通到数字高通绘出频率响应绘出频率响应与幅频曲线绘出输入信号与绘出输入信号与输出信号波形绘出输入信号绘出输入信号与输出信号频谱图结束结束图6.1数字切比雪夫高通IIR滤波器设计流程图6.2程序设计与运行结果6.2.1设计过程数字滤波器的各项指标：fp=3000;fr=1500;fs=15000;rp=1;rs=50;把数字滤波器的频率特征转换成模拟滤波器的频率特征：WP=fp*2*pi;WR=fr*2*pi;ChebyshevII型滤波器参数计算〔模拟域〕：[N,wn]=cheb1ord<WP,WR,rp,rs,'s'>;创建Chebyshev滤波器原型：[Z,P,K]=cheb1ap<N,rp>;表达式从零极点增益形式转换成状态方程形式：[A,B,C,D]=zp2ss<Z,P,K>;实现低通到高通滤波器类型的转换：[AA,BB,CC,DD]=lp2hp<A,B,C,D,wn>;采用双线性变换法,从模拟高通到数字高通：[a,b,c,d]=bilinear<AA,BB,CC,DD,fs>;表达式从状态方程形形式转换成传输函数形式：[P,Q]=ss2tf<a,b,c,d>;绘出频率响应与幅频曲线：figure<1>;subplot<211>;freqz<P,Q>;[H,W]=freqz<P,Q>;axis<[0,1,-100,20]>;subplot<212>;plot<W*fs/<2*pi>,abs<H>>;gridon;xlabel<'频率/Hz'>;ylabel<'幅值'>;绘出输入信号与输出信号波形：n=0:399;t=n/fs;x=sin<2*pi*1500*t>+2*sin<2*pi*3000*t>+3*sin<2*pi*4000*t>;figure<2>;subplot<211>;plot<t,x>;axis<[0,0.005,-6,6]>;title<'输入信号'>;gridon;y=filter<P,Q,x>;ya=y*sinc<fs*<ones<length<n>,1>*t-<n/fs>'*ones<1,length<t>>>>;subplot<212>;plot<t,ya>;axis<[0,0.005,-6,6]>;title<'输出波形'>;gridon;绘出输入信号与输出信号频谱图：X=fft<x,512>;fx=15000*<0:511>/512;figure<3>;subplot<211>;plot<fx,X>;title<'输入信号频谱图'>;gridon;YA=fft<ya,512>;fy=15000*<0:511>/512;subplot<212>;plot<fy,YA>;title<'输出信号频谱图'>;gridon;6.2.2运行结果1.频率响应与幅频曲线。图6.2频率响应与幅频曲线2.输入信号与输出信号波形。图6.3输入信号与输出信号波形3.输入信号与输出信号频谱图。图6.4输入信号与输出信号频谱图7小结这次课设下来,对设计带通数字滤波器的整个过程有了很好的掌握,懂得了设计滤波器的基本方法,对双线性变换法,切比雪夫滤波器有了一定了解,同时呢也熟悉了MATLAB的环境,巩固了相关知识。最大的收获是初步了解了数字滤波器的原理与设计方法,加深了对滤波器的认识,一切从零开始,虽然没有以绝对完美结束,但在这么短的时间内能够设计成功已经出乎意料之外了,总之,收获还是很大的。在课程设计的过程中,我学到了很多东西,比如设计滤波器的一些基本函数的用法,各种模拟滤波器的特性,设计滤波器的一些基本方法。但更为重要的是,我对于解决一个问题的思路更加清晰,找到了属于自己的方法。当然,在设计的过程中,不可能避免的遇到了很多问题,如刚开始思路比较混乱,没有明确的方向。主要是如何将理论计算的模型转换为仿真模型。因为在理论上,将低通转换成高通,一般是变换将高通频率特征转换成低通原型频率特征；而在软件设计中,是对其传递函数进行修改,即变换其z域的表达式,设计初期一直不知道如何将其联系起来。后来发现,其实变换传递函数,也就是变换频率特征,是将变换后的频率代入原低通模型,而后得到高通模型的。通过这次课程设计,最重要的不是学到了多少东西,而是学会了在面对问题时,如何通过各种资源,各种途径去寻找解决问题的方法,这将会使自己受益终生。8参考文献[1]《数字信号处理与其MATLAB实现》,VinayK.Ingle主编,电子工业,1998年出版。[2]《Dig