福建省福州铜盘中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题 2

福建省福州铜盘中学2023-2024学年九年级上学期月考数学

试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

3.如图，已知直线4〃右〃4直线NC和分别与直线4，4，4交于点/，B,c和

EF=3,则。E的长是（）

C.6D.9

2

4.一元二次方程x?=-6x的根是（)

A.x=-6B.x=0C.西=°，—6D.X]=0,x2~—6

5.将抛物线y=/+l先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，所得新抛

物线的解析式为（）

A.y=（x+3）-+3B.y=（x-3『-l

C.y=（x+3）2-1D.y=（x-3）~+3

6.如图，在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，

等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感.按此比例，如果雕像的高为2m,

设雕像下部高xm,则可列方程为（）

试卷第1页，共6页

B

A.x2=2x（2-x）B.2x=x（2-x）C.X2=2（2-x）D.d=2（2+x）

7.若尤=-2是关于x的一元二次方程x?-|■如c+小2=0的一个根，则根的值为（）

2

A.1或4B.-1或-4C.-1或4D.1或-4

8.“易有太极，始生两仪，两仪生四象，四象生八卦"，太极图是我国古代文化关于太

极思想的图示，内含表示一阴一阳的图形（一黑一白）.如图，在正方形48CD的内切

圆中画出太极图，然后在正方形内随机取一点，则此点取自太极图中黑色部分的概率是

()

9.扇叶型曲线如图所示放置，M（a,b）为曲线上第一象限内一点，将曲线绕点。顺时针

旋转,每次旋转45。，则第2022次旋转结束时，点”的坐标为（）

C.D.(b,a)

10.教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升TC,加热到100℃,

试卷第2页，共6页

停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系.直至水温

降至30℃,饮水机关机.饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序.若在水温为

30℃时，接通电源后，水温了（℃）和时间（min）的关系如图，为了在上午第一节下课时

（8：45）能喝到不超过50℃的水，则接通电源的时间可以是当天上午的（）

D.8:00

二、填空题

11.在一个不透明的口袋中装有红球和白球共40个，这些球除颜色外都相同，将口袋

中的球搅匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过

程，共摸了100次球，发现有20次摸到红球，则口袋中红球的个数约为.

12.反比例函数y=9图象上有两点/（-1,乂）、3（-2,%）,贝立y2（填“

或"="）.

13.如图，在OO中，弦/8=8,OC1AB,垂足为C,OC=3,则OO的半径为.

14.在半径为1的圆中，1。圆心角所对的弧长是.

15.某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球

飞行的高度〃（单位：m）与足球飞行的时间/（单位：s）之间具有二次函数关系，其

部分图象如图所示，则足球从踢出到落地所需的时间是.

16.已知内接于。O,/是的内心，若NBIC=NBOC,则/胡C的度数

是.

试卷第3页，共6页

三、问答题

17.解方程：2/-9x+10=0.

四、证明题

18.如图，在Y/3CD中，点£,尸分别在边4D,8C上，^.AE=CF,连接N尸，CE,

求证：四边形/EC尸是中心对称图形.

五、问答题

19.已知关于x的一元二次方程（加+1）/-2（机-1）》+加=0（加为实数），如果方程有

两个不相等的实数根，求优的取值范围.

六、证明题

20.如图，将“3C绕点/顺时针旋转&得到V/DE（。为锐角），点。与点3对应,

连接AD,CE.求证：AABDsAACE.

七、应用题

21.如图，有3张不透明的卡片，除正面写有不同的数字外，其它均相同.将这三张卡

片背面朝上洗匀后，第一次从中随机抽取一张，并把这张卡片标有的数字记作一次函数

y=h+b中的左，第二次从余下的两张卡片中再随机抽取一张，上面标有的数字记作一

次函数y=+b中的6.

试卷第4页，共6页

-3-54

⑴写出左为负数的概率；

(2)求一次函数y=h+方的图象经过一、二、四象限的概率.(用树状图或列表法求解)

八、作图题

(1)过点P作。。的一条切线P。，且。为切点(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法);

(2)在(1)的条件下，若PQ=dPM,求证：点〃在上.

23.某校九年级数学兴趣小组对函数/=二+2的图象和性质进行探究，通过描点、

x-1

连线的方式画出了该函数的图象如图所示.请结合图象回答下列问题：

2

②请尝试写出函数y=，7+2的一条性质：.

X-1

22

(2)经观察发现，将函数y=—的图象平移后可以得到函数〉='？+2的图象，请写出一

Xx-1

种平移方法.

(3)在上述平面直角坐标系中，画出>=尤+2的图象，并结合图象直接写出不等式

试卷第5页，共6页

2

—；+2Vx+2的解集.

x-1

九、证明题

24.如图，在中AB=AC=6cm,BC=8cm,点E是线段BC边上的一动点(不

含B、C两端点)，连结AE,作/AED=NB,交线段AB于点D.

(1)求证：ABDEsACEA

(2)设BE=x,AD=y,请写y与x之间的函数关系式，并求y的最小值

(3)E点在运动的过程中，VNDE能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能,

请说明理由

十、问答题

25.已知抛物线>+6x+c与x轴的正半轴交于点A,与夕轴交于点5,当x>0时,

抛物线最低点的纵坐标为-4：当xWO时，抛物线最低点的纵坐标为-3.

⑴求b的关系式(用含6的代数式表示“)；

(2)若。/=。3,求抛物线的解析式；

(3)在(2)的条件下，W为抛物线对称轴上一点，过点M的直线交抛物线于C,。两

点，E为线段CD的中点，过点£作x轴的垂线，交抛物线于点F,探究是否存在定点M,

使得CD=4斯总成立，若存在，求出点M的坐标：若不存在，请说明理由.

试卷第6页，共6页

参考答案:

1.c

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解判断即可.

【详解】解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

B.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；

C.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；

D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图

形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原来的图形重合.

2.D

【分析】根据事件发生的可能性大小判断，即可得到答案.

【详解】解：“清明时节雨纷纷”这个事件是随机事件，

故选：D.

【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下,

一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事

件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.

3.C

【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可.

【详解】解：■：ll//l2//l3,

.ABED

•,正一

VAB=2BC,EF=3,

.2ED

••一=，

13

DE=6,

故选：C.

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，注意：一组平行线截两条直线，所截的线段

对应成比例.

4.D

【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可.

答案第1页，共17页

【详解】解：X2=-6X，

移项得：x2+6x=0>

x(x+6)=0,

解得：Xj=0,x2=-6.

故选：D.

【点睛】本题考查解一元二次方程，掌握公式法、因式分解法、配方法、直接开平方法是关

键.

5.D

【分析】根据上加下减，左加右减的平移规律进行求解即可.

【详解】解：将抛物线>=，+1先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，所得

新抛物线的解析式为y=(x-3)2+1+2=(x-3)2+3,

故选D

【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象的平移规律是：左加右减，上加下

减.

6.C

【分析】设雕像下部高为由，则雕像上部高为(2-x)m,根据雕像的上部与下部的高度比

等于下部与全部的高度比，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解.

【详解】解：设雕像下部高为则雕像上部高为(2-x)m,

根据题意得：色=宜2，即f=2(2—x).

2x

故选：C.

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方

程是解题的关键.

7.B

【分析】把x=—2代入关于x的方程f一+=得至IJ4+5加+加2=0,解关于m的

2

方程即可.

【详解】解：：x=-2是关于x的一元二次方程工2-3加x+/=0的一个根，

2

**.4+5m+m2=0

答案第2页，共17页

解得町=-l,m2=-4

故选B.

【点睛】本题考查一元二次方程根的定义和一元二次方程的解法，理解方程根的定义得到关

于m的方程是解题关键.

8.B

【分析】为了方便求解令正方形的边长为1,那么圆的直径也就是1,可以表示出正方形和

圆的面积，利用图形的对称性可以得到太极图黑色和白色部分各占圆的一半，这样就能得出

最后结果.

【详解】设正方形边长为1,

正方形面积耳=1x1=1,

圆的直径为1,则半径为;，

:.圆的面积S?==?，

太极图是旋转对称图形，所以黑色和白色部分各占圆面积的一半，

]]jrTT

••・太极图黑色部分面积邑=5、1=可，

所求概率为

31o

故选B.

【点睛】本题考查了内切圆的知识，圆和正方形的面积，以及旋转图形的对称性，利用对称

性得出黑色部分占太极图的一半是解答本题的关键.

9.A

【分析】根据题意，旋转8次一循环，按照旋转的规律，计算求解.

【详解】解:2022+8=252……6,

在第二象限，

故选：A.

【点睛】本题考查了坐标规律，掌握旋转的规律是解题的关键.

10.C

【分析】先利用待定系数法求出开机加热时一次函数关系式＞=7X+30(0VXV10),进而求出

答案第3页，共17页

当y=50时x的值，再求出关机降温时反比例函数关系式y=阴，进而求出

当y=50时x的值，观察可知饮水机的一个循环周期为岑分钟，每一个循环内，在0Wx4,

及20VxV与时间段内，水温不超过50℃,最后逐项判断即可.

【详解】解：：开机加热时间每分钟上升7七，

从30℃到100℃需要10分钟.

设一次函数关系式为丁=左/+6,

将点(0,30),(10,100)代入尸编+6,得

b=30=7

10勺+6=100'解得16=30

一次函数关系式为＞=7x+30(0VxV10),

令y=50,则7x+30=50,

解得：X=y,

设反比例函数关系式为^=勺，

X

将点(10,100)代入关系式，得1°0=5,

解得升=1000，

反比例函数关系式为y=幽,

期O、1000汨I。。

将y=30代入y=----得x=H

x

1000

・••尸10<x<

x

令>=50,解得x=20，

饮水机的一个循环周期为詈分钟，每一个循环内，在OVxw］及20Vx(W时间段内，

答案第4页，共17页

水温不超过50℃.

；7:20至8:45之间有85分钟，85--x2=—«18.33,不在0VxV型及204xW跑时

3373

间段内，A选项不符合题意；

：7:30至8:45之间有75分钟，75—1^、2=生=8.33,不在04x4型及20VxV图时间

3373

段内，B选项不符合题意；

•；7：45至8:45之间有60分钟，60-"2=双合26.67,在0VxV型及204尤432时间段内，

3373

C选项符合题意；

•.•8:00至8:45之间有45分钟，45«11.67,不在OWxW四及20VxV四时间段

3373

内，D选项不符合题意；.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，求一次函数关系式，求反比例

函数关系式，求自变量的值，从图像中获取信息是解题的关键.

11.8

【分析】用总球数乘以摸到红球的概率即可求解.

201

【详解】解：根据题意，口袋中红球的个数约为40x就=40x《=8（个），

故答案为：8.

【点睛】本题考查利用频率估计概率，解答的关键是掌握用频率估计概率：大量重复实验时,

事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，可以用频率的集中趋

势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.

12.<

【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征；根据点A、B的横坐标利用反比例函

数图象上点的坐标特征即可求出必、%的值，比较后即可得出结论.

【详解】解：•.•反比例函数>=£图象上有两点题-1,乂）、3（-2,%）,左=6>0,在每一个

象限内，了随X的增大而减小，

又：-1>-2

*,•必<%，

故答案为：<.

答案第5页，共17页

13.5

【分析】先根据垂径定理得出NC的长，再由勾股定理即可得出结论.

【详解】解：连接

0C1AB,4B=8,

：.AC=4,

"：OC=3,

OA=^AC2+OC2=5.

【点睛】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键.

14-击/击，

【分析】根据弧长公式计算即可求解.

I_H7ir_lx%xl_兀

【详解】解:

-T80-180-180

TT

故答案为：—

【点睛】本题主要考查了弧长公式，若弧所在圆的的半径为尸，所对圆心角为心，则弧长

1=嘿,熟知弧长公式是解题的关键.

180

15.1.6s

【分析】先确定抛物线的对称轴方程，再根据抛物线的对称性可得出结论.

【详解】解：根据函数的图象可得抛物线的对称轴方程为：》=竺"=0.8,

因为抛物线与x轴的一个交点横坐标为0,

所以，抛物线与x轴的另一个交点横坐标为0.8x2=L6,

所以，足球从踢出到落地所需的时间是1.6s,

故答案为：1.6s

【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答.

16.60°或108°

答案第6页，共17页

【分析】当AA8C是锐角三角形时，得出N/=180°-N"C-N/C8=90°+；N/,得出

900+-ZA=2ZA,求解即可；当AABC是钝角三角形时，

2

Z/=360°-(360°--AIBA-AICA)=90°+^ZA,得出90。+3//=2(180。一//),求解

即可；当ABC是直角三角形时，不符合题意.

【详解】解：当28C是锐角三角形时，如图所示：

•.,/是“3C的内心,

:.BI、C7平分//8C、ZACB,

：.ZIBC=-NABC,ZICB=-ZACB,

22

Z/=180°-ZIBC-21cB

=180°--ZABC--ZACB

22

=180°-；(/N8C+//C8)

180°-1(180°-Z^)

=I80°-90°+-ZA=90°+-ZA,

22

ZO=-Z.A,ABIC=ZBOC,

2

90°+-ZA=2ZA,

2

N4=60°；

当AA8C是钝角三角形时，如图所示:

答案第7页，共17页

是。3c的内心，

:.BI、CI平分/ABC、ZACB,

：.NIBC=-NABC,ZICB=-ZACB,

22

Z/=360°-(360°-ZX-AIBA-ZICA)

=360°-(360。一；(180。_/Z“

=360°-(360°-ZA-90°+^ZA^

=90°+-ZA

2

VZO=2(180°-ZA),ABIC=ABOC,

：.90°+1z^=2(180°-Z^),

NN=108°；

当AABC是直角三角形时，不符合题意；

故答案为：60。或108。.

【点睛】本题考查三角形的内心，角平分的定义，分情况讨论是解题的关键.

17.国=|■或%,=2

【分析】利用十字相乘因式分解，进而即可求解.

【详解】2X2-9X+10=0,

(2x-5)(x-2)=0,

.,・2x-5=0或x-2=0,

解得：西=|■或毛=2.

【点睛】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握“十字相乘法”是解题的关键.

18.见解析

答案第8页，共17页

【分析】先证明四边形NECF是平行四边形，根据平行四边形是中心对称图形进行推理即可.

【详解】证明：••・四边形48。是平行四边形，

.-.AD//BC,•1-AE=CF,

四边形是平行四边形，

，四边形AECF是中心对称图形.

【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定，掌握平行四边形是中心对称图形是解题的关键.

19.»?<-J3.m*-1

3

【分析】首先根据已知条件可得根的判别式大于0,且〃z+lwO,解得即为冽的取值范围.

【详解】解：由已知条件，得

A=[-2(加一1)1一4m+1)>0,且加+1w0

解得<g且加A-1.

m的取值范围为优且切H-1.

【点睛】此题主要考查利用一元二次方程根的情况求参数及一元二次方程的定义，熟练运用

这两个知识点是解题关键.

20.见解析

【分析】根据旋转的性质可得=4C=AE,NBAD=NCAE,从而得至1」要=当，

ACAE

即可求证.

【详解】解：绕点A旋转a得到V/DE,

AB=AD,AC=AE,/BAD=NCAE,

.ABAD

…就一定’

AABDsAACE.

【点睛】本题主要考查了图形的旋转，相似三角形的判定，熟练掌握图形的旋转的性质，相

似三角形的判定是解题的关键.

21.(1)上为负数的概率为(

(2)画树状图，

答案第9页，共17页

开始

：一共有6种情况，其中经过一、二、四象限的有2种,

，一次函数y=h+方的图象经过一、二、四象限的概率为:

【分析】本题考查了用树状图或列表法、概率的求法、一次函数1=而+6的图象与系数的关

系，熟练掌握树状图法是解决问题的关键.

(1)共有3张牌，2张为负数，让负数的个数除以数总个数即为所求概率.

(2)画出树状图，列举出共有多少种情况，其中满足一次函数、=辰+方经过一、二、四象

限，即左为负数，6为正数的情况占所有情况的多少即可.

【详解】(1)解：•.■共有3张牌，其中2张为负数，

.认为负数的概率为;.

(2)解:画树状图

开始

第一次-3-54

第二次4A-5-3A4-A3-5

一共有6种情况，其中满足一次函数>=日+&经过一、二、四象限，即方<0,6>0的情况

有两种，

.2-1

"6"3

所以一次函数>6的图象经过一、二、四象限的概率为g.

22.⑴见解析；

(2)见解析.

【分析】(1)以点M为圆心，的长为半径画弧交。。于点0,连接P。，则?。即为所求;

(2)连接设尸M=x,贝!|尸°=可得=OP=2PM=2x,在RtZXOP。

答案第10页，共17页

中，由勾股定理可得O0=x,从而得到。。的半径厂=工，即可求解.

【详解】（1）解：如图，尸。为所求作的。。的切线，其中。为切点.

理由：如图，连接。。，

由作法得：QM=OM,

为0尸中点,

QM=OM=PM,

：.AMOQ=AOQM,NP=ZPQM,

：.ZMOQ+ZP=ZOQM+ZPQM,

即ZMOQ+ZP=ZOQP,

■：ZMOQ+ZP+ZOQP=180°,

AOQP=90°,

即OQLPQ,

；。。为O。的半径，

尸。与。。相切；

(2)解:由(1)得,与。。相切于点0.

连接。。，

NOQP=9Q°.

设尸M=尤，贝1]20=氐.

・・•/是OF的中点，

0M=PM=x,OP=2PM=2x,

答案第11页，共17页

在RtZXOP。中，OQ=1op2—PQ2=彳,

即。。的半径厂=》，

/.OM=r,

.,.点M在。。上.

【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，点与圆的位置关系，勾股定理，尺规作图等知

识，熟练掌握切线的判定和性质，点与圆的位置关系是解题的关键.

23.(1)①X/1；②在第一象限内，y随x的增大而减小.(答案不唯一)

2

(2)将卜=-的图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位(答案不唯一)

x

(3)见解析，-1＜》＜1或尤22

【分析】(1)①根据分母不为零可求；

②根据反比例函数图象的性质可得；

(2)按照函数平移规律即可求得；

(3)描点，连线画出该函数的图象，结合图象即可求得.

【详解】(1)①XN1;

②在第一象限内，y随x的增大而减小.(答案不唯一，正确合理即可)；.

(2)将^=—2的图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，即可得到函数^=—2+2

xx-1

的图象；(答案不唯一，正确合理即可)；

(3)在平面直角坐标系内画出y=x+2的图象:

X—1

【点睛】本题考查的是反比例函数图象及其性质，掌握描点法画函数图象的方法，数形结合

答案第12页，共17页

是解本题的关键.

1410Q

24.(1)见解析；(2)y=~x一一x+6(0<x<8),一；(3)能，6cm或一。加

6332

【分析】(1)根据NBDE=NCEA,NB=NC证得结论；

(2)利用(1)中相似三角形的对应边成比例列出比例R式D等*=R笠F，则把相关线段的长度

ECAC

代入即可列出y与x的关系式.注意自变量x的取值范围要注明；

(3)根据三角形外角性质和三角形的边角关系知AE我AD.所以当4ADE是等腰三角形时,

分两种情况：①当AE=DE时，ABDE^ACEA；②当DA=DE时，ABAE^ABCA.所

以根据全等三角形和相似三角形的性质来求线段BE的长度.

【详解】(1)证明：VZBDE=180°-ZDEB-ZB,ZCEA=180°-ZDEB-ZAED,

又NB=NAED,

NBDE=NCEA,

：AB=AC,

Z.ZB=ZC,

AABDE^ACEA；

(2)解:VABDE^ACEA,

二"吗即驯二,

ECAC8-x6

1,4八210,、

..y=—x2-—x+6=—(x-4)-+—(0<x<8),

二当x=4,y有最小值是g；

(3)解:：/ADE是ABDE的外角，

AZADE>ZB,

VZB=ZAED,

AZADE>ZAED,

；.AE¥AD.

①当AE=DE时，

得△BDEgZiCEA,

BE=AC=6cm；

②当DA=DE时，ZBAE=ZAED=ZC,

又：/B=NB,

答案第13页，共17页

AABAE^ABCA,

,BA_BE

**BCBA，

口6BE

即n：一=——，

86

.369

・・BE=—=—cm,

82

g

△ADE为等腰三角形时，BE=6cm或—cm

2

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形外角的性质，二次函数的最值等知识

点.解答（3）题时，要分类讨论，以防漏解.

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25.（1）a=；

(2)y=x2—2x-3；

（3）存在,（1,一，）.

【分析】（1）根据题意分析得出当x=0时，V取得最小值，最小值为-3,即c=-3,进而

根据顶点公式进行计算即可求解；

（2）根据题意得出力（3,0）,进而待定系数法求解析式即可求解；

（3）设M（l,加），则直线的解析式为歹=履-左+加.代入二次函数解析式，根据一元二次方

程根与系数的关系得出项+々=左+2,xrx2=k-m-3,设5国,/-左+%），根据中点坐标

得出X