第7讲　函数的单调性与最值（原卷版）

函数的单调性与最值基础知识1.函数的单调性(1)单调函数的定义一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,且I⊆D:①如果对任意x1,x2∈I,当x1<x2时,都有,则称y=f(x)在I上是增函数(也称在I上单调递增);②如果对任意x1,x2∈I,当x1<x2时,都有,则称y=f(x)在I上是减函数(也称在I上单调递减).

(2)函数的平均变化率的定义一般地,当x1≠x2时,称ΔfΔx=f(x2)-f(x1)x2-x1为函数y=f(x)在区间[x1,x2]((3)函数的单调性与平均变化率的联系图像描述自左向右看图像是

自左向右看图像是

单调区间单调递增区间单调递减区间平均变化率与函数单调性的联系ΔfΔx=f(ΔfΔx=f(2.函数的最值前提设函数y=f(x)的定义域为D,且x0∈D条件对于任意x∈D,都有

对于任意x∈D,都有

结论f(x0)为最大值,x0称为最大值点f(x0)为最小值,x0称为最小值点常用结论1.函数单调性的常用结论:(1)若f(x),g(x)均为区间A上的增(减)函数,则f(x)+g(x)也是区间A上的增(减)函数.(2)若k>0,则kf(x)与f(x)的单调性相同;若k<0,则kf(x)与f(x)的单调性相反.(3)函数y=f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y=-f(x),y=1f((4)函数y=f(x)(f(x)≥0)在公共定义域内与y=f(x(5)复合函数单调性的判断方法:若两个简单函数的单调性相同,则这两个函数的复合函数为增函数;若两个简单函数的单调性相反,则这两个函数的复合函数为减函数.简称“同增异减”.2.单调性定义的等价形式:设x1,x2∈[a,b],x1≠x2.(1)若有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0或f(x1)-f(x2)x(2)若有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0或f(x1)-f(x2)x13.函数最值的结论:(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值,当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取得.(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值.分类训练探究点一函数单调性的判断与证明例1(1)下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是 ()A.f(x)=3-x B.f(x)=x2-3xC.f(x)=-1x+1 D.f(x(2)判断函数f(x)=x-3x+2,x∈(-[总结反思](1)直接利用函数单调性可以判断一些组合函数的单调性,如“增+增”为增,“增-减”为增,“减+减”为减,“减-增”为减.(2)定义法证明函数单调性的一般步骤:①任取x1,x2∈D,且x1≠x2;②作差求Δf=f(x1)-f(x2);③变形(通常是因式分解和配方);④定号(即判断ΔfΔx的正负);⑤下结论(即指出函数f(x)在给定的区间变式题(1)(多选题)下列函数中,值域为R且在区间(0,+∞)上单调递增的是 ()A.y=2x3 B.y=x|x|C.y=x-1 D.y=x(2)(多选题)已知函数f(x)的定义域为D,如果对于任意的x1,x2∈D,当x1<x2时,都有f(x1)≤f(x2),且存在y1,y2∈D,当y1≠y2时,使得f(y1)=f(y2),那么就称f(x)为定义域上的“不严格增函数”.下列所给的四个函数中,为“不严格增函数”的是 ()A.f(x)=xB.f(x)=1C.f(x)=1D.f(x)=x探究点二求函数的单调区间例2(1)函数f(x)=log13(-x2+x+6)的单调递减区间为 (A.-2,12 B.-∞,12C.12,+∞ D.12,3(2)设函数f(x)=1,x>1,0,x=1,-1,x<1,g[总结反思](1)求函数单调区间的常见方法:①定义法;②图像法;③导数法.(2)求复合函数单调区间的一般步骤:①确定函数的定义域;②求简单函数的单调区间;③求复合函数的单调区间,其依据是“同增异减”.(3)单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示,有多个单调区间应分开写,不能用并集符号“∪”连接.变式题(1)已知函数f(x)的图像如图2-7-1所示,则函数g(x)=12f(x)的单调递增区间为 ()图2-7-1A.(-∞,-3],[0,3]B.[-3,0],[3,+∞)C.(-∞,-5],[0,1]D.[-1,0],[5,+∞)(2)函数y=f(x)是定义在R上的增函数,则函数y=f(|x-2|)的单调递减区间是 ()A.(-∞,-2) B.(-∞,2)C.(2,+∞) D.R探究点三利用函数单调性解决问题 微点1利用函数的单调性比较大小例3已知α,β∈R,且α>β>0,则 ()A.tanα-tanβ>0 B.lnα-lnβ>0C.tanα+tanβ>0 D.lnα+lnβ>0[总结反思]比较函数值的大小时,若自变量的值不在同一个单调区间内,则要利用其函数性质转化到同一个单调区间内进行比较,对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图像法求解.微点2利用函数的单调性解决不等式问题例4(1)已知函数f(x)=3e-x,x≤0,-4x+3,x>0,若fA.(-∞,1]B.(-∞,-3]∪[1,+∞)C.(-∞,1]∪[3,+∞)D.[-3,1](2)函数f(x)=ex+x-e,若实数a(a>0且a≠1)满足floga34<1,则a的取值范围为.

[总结反思]利用函数单调性解不等式的具体步骤:(1)将函数不等式转化成f(x1)>f(x2)的形式;(2)考查函数f(x)的单调性;(3)根据函数f(x)的单调性去掉法则“f”,转化为形如“x1>x2”或“x1<x2”的常规不等式,从而得解.微点3利用函数的单调性求最值问题例5(1)已知a>0,设函数f(x)=2020x+1+20192020x+1+2019x3(x∈[-a,a])的最大值为MA.2019 B.2020C.4039 D.4038(2)已知x>0,则x+9x-3·x+25x+5的最小值为 ()A.1215 B.48C.79316 D.[总结反思]若函数f(x)在区间[a,b]上单调,则必在区间的端点处取得最值;若函数f(x)在区间[a,b]上不单调,则最小值为函数f(x)在该区间内的极小值和区间端点值中最小的值,最大值为函数f(x)在该区间内的极大值和区间端点值中最大的值.微点4利用函数的单调性求参数的范围(或值)例6(1)已知函数f(x)=ax2-x-a+2,若y=ln[f(x)]在12,+∞上为增函数,则实数a的取值范围是 ()A.[1,+∞) B.[1,2)C.[1,2] D.(-∞,2](2)若函数f(x)=(x-1)|x+a|在区间(1,2)上为增函数,则满足条件的实数a的值为.(写出一个即可)

[总结反思]利用函数的单调性求参数的范围(或值)的注意点:(1)视参数为已知数,依据函数的图像或单调性的定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数;(2)若分段函数是单调函数,则不仅要保证在各区间上单调性一致,还要确保在整个定义域内是单调的.▶应用演练1.【微点1】已知函数f(x)=1x-x,且a=fln32,b=flog213,c=f(20.3),则 ()A.c>a>b B.a>c>bC.a>b>c D.b>a>c2.【微点2】若f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,则不等式f(x)>f[8(x-2)]的解集是 ()A.(0,+∞) B.(0,2)C.(2,+∞) D.2,1673.【微点1】函数f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意两个正数x1,x2(x1<x2),都有f(x1)x1>f(x2)x2.记a=25f(0.22),b=f(1),c=-log53·A.c>b>a B.b>c>aC.a>b>c D.a>c>b4.【微点3】已知函数f(x)=2x+1+2m,x∈[A.-2 B.-4C.-8 D.-165.【微点4】函数f(x)=-x2-2ax+4在[2,5]上单调,则a的取值范围是.

同步作业1.在区间(0,+∞)上,下列函数与函数f(x)=1x的单调性相同的是 (A.y=4x B.y=x2-3xC.y=3x D.y=1-x2.函数f(x)的单调递增区间是(-2,3),则y=f(x+5)的单调递增区间是 ()A.(3,8) B.(-7,-2)C.(-2,8) D.(-2,3)3.函数y=log12(x2-3x+2)的单调递增区间是 (A.(-∞,1) B.(2,+∞)C.-∞,32 D.32,+∞4.已知函数f(x)=e-x-x,则不等式f(x-1)-f(2)<0的解集为 ()A.(-1,3) B.(-∞,3)C.(3,+∞) D.(-1,1)∪(1,3)5.已知函数f(x)=-x|x|+2x,则下列说法正确的是 ()A.f(x)的单调递增区间是(0,+∞) B.f(x)的单调递减区间是(-∞,-1)C.f(x)的单调递增区间是(-∞,-1) D.f(x)的单调递增区间是(-1,1)6.若函数f(x)=ax2+2x+5在(4,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是.

7.已知函数f(x)是定义在[0,+∞)上的减函数,且f(2)=-1,则满足f(2x-4)>-1的实数x的取值范围是.

8.函数y=2-xx+1,x∈(m,n]的最小值为0,则m的取值范围是A.(1,2) B.(-1,2) C.[1,2) D.[-1,2)9.已知函数f(x)的定义域为R,且对任意的x1,x2∈R,x1≠x2,都有[f(x1)-f(x2)](x1-x2)>0成立.若f(x2+1)>f(m2-m-1)对x∈R恒成立,则实数m的取值范围是A.(-1,2) B.[-1,2]C.(-∞,-1)∪(2,+∞) D.(-∞,-1]∪[2,+∞)10.若函数f(x)=2|x-2|,x≤2,log2(xA.a<0 B.a>0C.a≤0 D.a≥011.(多选题)已知a>b>0,函数f(x)=2x-4x,则 ()A.f(a2)<f(ab)B.f(b2)<f(ab)C.f(ab)<f(a2)D.f(ab)<f(b2)12.(多选题)设函数f(x)是定义域为R且周期为2的偶函数,在区间[0,1]上,f(x)=x2,x∈M,x,x∉M,其中集合M=xx=mmA.f43=49B.f(x)在[2m,2m+1](m∈N)上单调递增C.f(x)在mm+1,m+1m+2(m∈D.f(x)的值域为[0,1]13.已知函数f(x)=x+1|x|+1,则f(x2-2x)<f(2-x14.已知函数f(x)=x-a2x+a3在(1,3)上是减函数,则实数a15.若对任意x∈[a,a+2],均有(3x+a)3≤8x3,则a的取值范围是.

16.已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),且当x>1时,f(x)>0.(1)求f(1)的值;(2)证明:f(x)为增函数;(3)若f15=-1,求f(x)在125,125上的最值.17.已知函数f(x)=12x,g(x)=ax2+2x-3,a∈(1)当a=1时,求函数y=f[g(x)]的单调递增区间和值域;(2)求函数y=g[f(x)]在区间[-2,+∞)上的最大值h(a).18.已知f(x)为定义在(0,+∞)上的函数,