压轴小题05 一文搞定平面向量疑难问题（原卷版）

压轴小题05一文搞定平面向量疑难问题压轴压轴秘籍1.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．（1）．基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底．（2）基底给定，同一向量的分解形式唯一．2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．应用平面向量基本定理应注意的问题只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，基底可以有无穷多组．利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减运算或数乘运算.形如条件的应用（“爪子定理”）“爪”字型图及性质：（1）已知为不共线的两个向量，则对于向量，必存在，使得。则三点共线当，则与位于同侧，且位于与之间当，则与位于两侧时，当，则在线段上；当，则在线段延长线上（2）已知在线段上，且，则3、中确定方法（1）在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”字型图完成向量的表示，进而确定（2）若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量方程，可考虑两边对同一向量作数量积运算，从而得到关于的方程，再进行求解（3）若所给图形比较特殊（矩形，特殊梯形等），则可通过建系将向量坐标化，从而得到关于的方程，再进行求解4.平面向量系数和如图，为所在平面上一点，过作直线，由平面向量基本定理知：存在，使得下面根据点的位置分几种情况来考虑系数和的值=1\*GB3①若时，则射线与无交点，由知，存在实数，使得而，所以，于是=2\*GB3②若时，（i）如图1，当在右侧时，过作，交射线于两点，则，不妨设与的相似比为由三点共线可知：存在使得：所以（ii）当在左侧时，射线的反向延长线与有交点，如图1作关于的对称点，由（i）的分析知：存在存在使得：所以于是综合上面的讨论可知：图中用线性表示时，其系数和只与两三角形的相似比有关。我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图中，过作边的垂线，设点在上的射影为，直线交直线于点，则(的符号由点的位置确定)，因此只需求出的范围便知的范围5.极化恒等式恒等式右边有很直观的几何意义:向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的，恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系如图在平行四边形中,则在上述图形中设平行四边形对角线交于点,则对于三角形来说:极化恒等式的适用条件共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化(2)不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移，等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题在确定求数量积的两个向量共起点或共终点的情况下，极化恒等式的一般步骤如下第一步:取第三边的中点，连接向量的起点与中点;第二步:利用极化恒等式公式，将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差;第三步:利用平面几何方法或用正余弦定理求中线及第三边的长度，从而求出数量积如需进一步求数量积范围，可以用点到直线的距离最小或用三角形两边之和大于等于第三边，两边之差小于第三边或用基本不等式等求得中线长的最值(范围)。6.奔驰定理如图，已知P为内一点，则有.由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.7.奔驰定理的证明如图：延长与边相交于点则8.奔驰定理的推论及四心问题推论是内的一点,且,则有此定理可得三角形四心向量式（1）三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.（2）三角形的垂心：三角形三边上的高的交点叫做三角形的垂心，垂心和顶点的连线与对边垂直.（3）三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心，也就是内切圆的圆心，三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r.（4）三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心，也就是三角形外接圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等.奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.已知点在内部，有以下四个推论：①若为的重心，则；②若为的外心，则；或③若为的内心，则；备注：若为的内心，则也对.④若为的垂心，则，或研究三角形“四心”的向量表示，我们就可以把与三角形“四心”有关的问题转化为向量问题，充分利用平面向量的相关知识解决三角形的问题，这在一定程度上发挥了平面向量的工具作用，也很好地体现了数形结合的数学思想.压轴训练压轴训练一、单选题1．（2023春·江苏镇江·高三校考开学考试）已知平面向量满足，且，则的最大值为（

）A． B． C． D．2．（2022·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）已知与为单位向量，且⊥，向量满足，则||的可能取值有（

）A．6 B．5 C．4 D．33．（2023秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考期末）已知是面积为的等边三角形，四边形是面积为2的正方形，其各顶点均位于的内部及三边上，且可在内任意旋转，则的最大值为（

）A． B． C． D．4．（2023·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）已知直线l1：与l2：相交于点M，线段AB是圆C：的一条动弦，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．5．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）已知向量，满足的动点的轨迹为，经过点的直线与有且只有一个公共点，点在圆上，则的最小值为（

）．A． B．C． D．16．（2022·江苏盐城·江苏省滨海中学校考模拟预测）AB为⊙C：(x－2)2＋(y－4)2＝25的一条弦，，若点P为⊙C上一动点，则的取值范围是（

）A．[0，100] B．[－12，48] C．[－9，64] D．[－8，72]7．（2022秋·江苏南通·高三统考开学考试）已知锐角满足，且O为的外接圆圆心，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．8．（2022秋·江苏南通·高三开学考试）在中，，，过的外心O的直线(不经过点)分别交线段于，且，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．9．（2022秋·江苏泰州·高三姜堰中学校联考阶段练习）已知平面向量满足对任意都有成立，且，则的值为（

）A．1 B． C．2 D．10．（2022秋·江苏盐城·高三统考期中）已知点，及圆上的两个动点C、D，且，则的最大值是（

）A．6 B．12 C．24 D．3211．（2022·江苏盐城·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，，则线段CD长度的最小值为（

）A．2 B． C．3 D．12．（2022秋·江苏苏州·高三苏州中学校联考阶段练习）在中，，，，点在该三角形的内切圆上运动，若（，为实数），则的最小值为（

）A． B． C． D．13．（2023·江苏常州·校考一模）已知、是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上任意一点，以为直径作圆，直线与圆交于点（点不在椭圆内部），则A． B．4 C．3 D．114．（2023秋·江苏·高三校联考阶段练习）在中，，，E是AB的中点，EF与AD交于点P，若，则（

）A． B． C． D．1二、多选题15．（2023春·江苏南京·高三南京市第二十九中学校考阶段练习）已知为所在的平面内一点，则下列命题正确的是（

）A．若为的垂心，，则B．若为锐角的外心，且，则C．若，则点的轨迹经过的重心D．若，则点的轨迹经过的内心16．（2023秋·江苏泰州·高三统考期末）过圆：内一点作两条互相垂直的弦，，得到四边形，则（

）A．的最小值为4B．当时，C．四边形面积的最大值为16D．为定值17．（2023·江苏南通·校联考模拟预测）已知O为坐标原点，曲线在点处的切线与曲线相切于点，则（

）A． B．C．的最大值为0 D．当时，18．（2022秋·江苏苏州·高三校联考阶段练习）在△中，内角所对的边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（

）A．B．若，则C．D．若，且，则△为等边三角形19．（2022秋·江苏南通·高三统考阶段练习）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，是圆上两个不同的动点，是的中点，且满足．设到直线的距离之和的最大值为，则下列说法中正确的是（

）A．向量与向量所成角为B．C．D．若，则数列的前n项和为20．（2023秋·江苏南京·高三南京外国语学校校考阶段练习）半圆形量角器在第一象限内，且与轴、轴相切于、两点.设量角器直径，圆心为，点为坐标系内一点.下列选项正确的有（

）

A．点坐标为 B．C． D．若最小，则21．（2022秋·江苏扬州·高三统考阶段练习）已知向量．则下列命题正确的是（

）A．若，则 B．存在，使得C．与共线的单位向量为 D．向量与夹角的余弦值范围是三、填空题22．（2023秋·江苏苏州·高三常熟中学校考期末）已知是平面向量，与是单位向量，且，若，则的最小值为．23．（2022·江苏南京·统考模拟预测）平面向量，，满足，，，则．24．（202