一题多解探寻圆锥曲线压轴破解之策与算法优化（1）2019全国2卷21解析

2019全国高考Ⅱ卷21题“一题多解”——谈谈圆锥曲线压轴题破解之策与算法优化【方法策略简述】一、解析几何大题多以圆锥曲线与直线综合应用的形式呈现，考察动态情形下的范围、最值、定点、定值等问题及存在探索性问题.二、解决此类问题的方法策略主要有三种：1、根与系数的关系法（主流方法）．设出动直线的方程（），与圆锥曲线方程联立消元得到关于的一元二次方程，得两根之和两根之积，同时兼顾的要求，利用两根之和两根之积进行整体代换整体变形而求解．2、多变量多参数联动变换法．此种方法有别于方法1，不联立方程消元求解，而是直接将所设出点的坐标代入曲线（直线）方程和题设中，得到若干个关于点的坐标与参数间的关系式，对这些关系式进行整体变形整体代换而求解．如弦中点问题常用点差法处理．此种方法对多变量多参数的代数式的驾驭能力及变换技巧是一种考验．3、设点求点法．方法1、2均采用了设而不求的策略．当问题中直线与曲线的交点易求时，可考虑直接求出点的坐标进行求解，即设点求点法．如：动直线过曲线上一已知点时，则另一交点坐标可直接求出；再如动直线与椭圆的交点易求出．【2019全国高考Ⅱ卷‧21】已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−.记M的轨迹为曲线C.（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.（i）证明：是直角三角形；（ii）求面积的最大值.【解析】（1）直线的斜率为，直线的斜率为，由题意可知：，所以曲线C是以坐标原点为中心，焦点在轴上，不包括左右两顶点的椭圆，其方程为；（2）法一：斜率单参，设点求点【分析】（i）设出直线的方程，与椭圆方程联立，求出P，Q两点的坐标，进而求出点的坐标，求出直线的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数关系求出的坐标，再求出直线的斜率，计算的值，就可以证明出是直角三角形；（ii）由（i）可知三点坐标，是直角三角形，求出的长，利用面积公式求出的面积，利用导数求出面积的最大值.【解析】（i）设直线的方程为,由题意可知,直线的方程与椭圆方程联立,即或,点P在第一象限，所以，因此点的坐标为直线的斜率为，可得直线方程：，与椭圆方程联立，，消去得，（*），设点，显然点的横坐标和是方程（*）的解所以有，代入直线方程中，得，所以点的坐标为，直线的斜率为：,因为所以，因此是直角三角形；（ii）由（i）可知：，的坐标为，，,,因为，所以当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，因此当时，函数有最大值，最大值为.【评析】引入参数控制动态过程，思路简单.直接算出点的坐标，直线方程，弦长，运算量大，但可以接受.思路二、多参联动，设而不求【分析】（i）设，则，再设出直线的方程为，与椭圆方程联立，得到根与系数关系，充分利用变量之间的关系去化简计算的值，就可以证明出是直角三角形；（ii），充分利用变量之间的关系，将面积化为变量的函数，再利用导数求出面积的最大值.【解析】(ⅰ)设，则，设直线的方程为，由题意可知，由联立消去得，则将点代入直线的方程为得，于是，，故，因此是直角三角形；(ⅱ)而由，故，，所以时，单调递增；时，单调递减；故时，最大为，