第4讲 均值不等式及其应用（原卷版）

第4讲均值不等式及其应用基础知识1.均值不等式ab≤a(1)均值不等式成立的条件:.

(2)等号成立的条件:当且仅当时取等号.

2.几个重要的不等式(1)a2+b2≥(a,b∈R).

(2)ba+ab≥(a,b同号(3)ab≤a+b22(a,b∈R)(4)a+b22≤a2+b22(a3.算术平均值与几何平均值给定两个正数a,b,数称为a,b的算术平均值;数ab称为a,b的几何平均值.均值不等式可叙述为:

.

4.利用均值不等式求最值问题已知x>0,y>0.(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值,是(简记:积定和最小).

(2)如果和x+y是定值p,那么当且仅当x=y时,xy有最大值,是(简记:和定积最大).

常用结论1.若x≠0,则x+1x≥2,当且仅当2.若ab≠0,则ba+ab3.若ab>0,x≠0,则ax+bx≥2ab,当且仅当x=±4.若a>0,b>0,则21a+1b≤ab≤a+分类训练探究点一直接用均值不等式例1(1)(多选题)若正实数a,b满足a+b=1,则下列说法错误的是 ()A.ab有最小值1B.a+b有最小值2C.1a+1bD.a2+b2有最小值2(2)已知3a=4b=12,则下列不等式不成立的是 ()A.a+b>4 B.ab>4C.(a-1)2+(b-1)2>2 D.a2+b2<3[总结反思]利用均值不等式比较大小,主要有两个思路:一是直接建立不等关系比较大小;二是观察待比较式子的结构特征,合理选取均值不等式或其变形形式,结合不等式的性质比较大小.变式题(多选题)下列函数中,最小值为4的是 ()A.y=x2+B.y=sinx+4sinx(0<x<πC.y=ex+4e-xD.y=x2+1探究点二变形用均值不等式求最值微点1配凑法求最值例2(1)已知实数a>0,b>0,1a+1+1b+1=1,则a+2b的最小值是A.32 B.22C.3 D.2(2)已知x>54,则函数y=4x+14x[总结反思]均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能,利用均值不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,先配凑出积、和为常数的形式,再利用均值不等式求解.微点2常数代换法求最值例3(1)已知a,b>0,2a+b=2,则ab+1a的最小值为 (A.32 B.2+C.52 D.2(2)若正实数x,y满足4x+y=xy,且x+y4>a2-3a恒成立,则实数a的取值范围为 (A.[-1,4] B.(-1,4)C.[-4,1] D.(-4,1)[总结反思]常数代换法主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求ax+by的最值”的问题,通常先将ax+by转化为ax+by·微点3消元法求最值例4若正数a,b满足1a+1b=1,则1a-1+4bA.4 B.6C.9 D.16▶应用演练1.【微点1】若log2x+log4y=1,则x2+y的最小值为 ()A.2 B.23C.4 D.222.【微点1】已知实数a,b满足ab>0,则aa+b-aa+2A.2-2 B.2+2C.3-22 D.3+223.【微点2】若直线2ax-by+2=0(a>0,b>0)过圆x2+y2+2x-4y+1=0的圆心,则9a+1b的最小值是 (A.16 B.10 C.12 D.4.【微点3】已知正数x,y满足3xy+y2-4=0,则3x+5y的最小值为 ()A.1 B.4 C.8 D.16探究点三均值不等式的实际应用例5如图1-4-1,将宽和长分别为x,y(x<y)的两个矩形部分重叠放在一起后形成的正十字形的面积为5.(注:正十字形指的是原来的两个矩形的顶点都在同一个圆上,且两矩形的长边所在的直线互相垂直的图形)(1)求y关于x的函数解析式.(2)当x,y取何值时,该正十字形的外接圆的面积最小?并求出其最小值.图1-4-1[总结反思]利用均值不等式解决实际应用题的基本思路:(1)设变量时一般把要求的变量定义为函数;(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后,再利用均值不等式求得函数的最值;(3)求最值时注意定义域的限制.变式题新能源汽车环保、节能,以电代油,减少排放,既符合我国的国情,也代表了世界汽车产业发展的方向.某公司投资144万元用于新能源汽车充电桩项目,第一年该项目的维修保养费为24万元,以后每年增加8万元,该项目每年可给公司带来100万元的收入.假设第n年年底,该项目的纯利润为f(n)万元.(纯利润=累计收入-累计维修保养费-投资成本)(1)写出f(n)的表达式,并求该项目从第几年开始盈利?(2)若干年后,该公司为了投资新项目,决定转让该项目,现有以下两种处理方案:①年平均利润最大时,以72万元转让该项目;②纯利润最大时,以8万元转让该项目.你认为以上哪种方案最有利于该公司的发展?请说明理由.同步作业1.已知x≥1,则当x+4x取得最小值时,x的值为 (A.1 B.2 C.3 D.42.若正实数a,b满足1a+12b=ab,则ab的最小值为A.2 B.22C.4 D.83.函数f(x)=x+2x+2(x>-2)的最小值是 (A.2 B.22C.22+2 D.22-24.已知正实数x,y满足x+y=2,则1x+2y的最小值是 (A.32+2 B.2C.3 D.425.(多选题)已知a>0,b>0,且2a+1b=1,则 (A.b>1 B.ab≤8 C.4a2+1b2≥126.用一段长为8cm的铁丝围成一个矩形模型,则这个矩形模型的最大面积为.

7.已知x,y为正实数,则4xx+3y+3A.53 B.C.32 D.8.若4x+4y=1,则x+y的取值范围是 ()A.(-∞,-1] B.[-1,+∞)C.(-∞,1] D.[1,+∞)9.已知数列{an}是各项均为正数的等比数列,若a3-a2=5,则a4+8a2的最小值为 ()A.40 B.20 C.10 D.510.已知xy=1,且0<y<22,则x2+4yA.4 B.9C.22 D.4211.若两个正实数x,y满足1x+4y=2,且不等式x+y4<m2-m有解,则实数m的取值范围是A.(-1,2)B.(-∞,-2)∪(1,+∞)C.(-2,1)D.(-∞,-1)∪(2,+∞)12.(多选题)下列说法正确的是 ()A.x+1x(x>B.x2+2C.x2D.2-3x-4x的最大值是2-413.(多选题)已知a>0,b>0,且a+b=1,则 ()A.a2+b2≥1B.2a-C