安徽省马鞍山市2022-2023学年高三上学期第一次教学质量监测数学试题（解析版）

马鞍山市2023年高三第一次教学质量监测

数学试题

注意事项：

L答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名和座位号填在答题卡上.将条形码横贴在答题卡

“条形码粘贴处”.

2.作答选择题时，选出每小题K答案』后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的K答案X

信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他K答案』.K答案】不能答在试卷

上.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，K答案）1必须写在答题卡各题目指定区域内

相应位置上；如需改动，先划掉原来的K答案％然后再写上新K答案X不准使用铅笔和

涂改液.不按以上要求作答无效.

4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并收回.

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.设集合A={*">l},3={TQL2},则AlB=（）

A.{0,l,2}B.{1,2}C.{-l,0,l}D.{-1,0,1,2}

K答案HB

R解析」

"羊解D首先求集合A,再求AC3.

K详析Ue'>l=x>0,所以A={x∣x>0},B={-1,0,1,2）,所以A3={1,2}.

故选：B

2.若复数Z满足「_丘=3-i，则Z的虚部为（）

A.-1B.2C.1或2D.T或2

K答案UD

K解析H

K样解Il设复数z=α+bi（α力∈R）,然后利用复数的运算和概念即可求解

K详析D设复数z=α+bi（α,O∈R）,因为ZH=3-i，

a2+h2-b=3

即02+〃一齿一人=3一3所以〈,解得：h=-l或b=2,

a=l

所以Z的虚部为T或2,

故选：D∙

3.现有一组数据：663,664,665,668,671,664,656,674,651,653,652,656,则这组数据第85百分位

数是（）

A.652B.668C.671D.674

K答案，c

K解析H

K祥解赚据百分位数的定义，求得12x85%=10.2,即可确定第85百分位数为第11个数，可得K答案》

R详析2由题意这组数共12个，则12χ85%=10.2,

将这组数据从小到大排列为651,652,653,656,656,663,664,664,665,668,671,674,

故这组数据的第85百分位数为第11个数，即671,

故选：C

4.5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C=Wlog它表示在受噪音干扰的信道中，最

大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S,信道内部的高斯噪声功率N的大小，其

中士叫做信噪比.当信噪比士比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽

NN

W,而将信噪比一从IOoO提升至12000,则C大约增加了（参考数据：lg2=0.3010,lg3=0.4771,

N

Ig5=0.6990）（）

A.25%B.30%C.36%D.45%

K答案HC

K解析力

K祥解Il根据题意将信噪比*分别为1000,12000代入香农公式，列出等式，利用换底公式即可求出与，

即可求解.

q

心详析』因为当信噪比r比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计，

qs,

所以当士=1000时G=Wlog21000,当一二12000时G=WIOgN2000,

NN

C2_Iog212000Ig12000lg3+lg4+lgl000

所以=Iog100012000=

C1Iog21000IglOOOIglOOO

=l3+212+3所以6/=*.

gggl36ι-l≈0.36,

3ClO

所以C大约增加了36%,

故选：C.

5.己知平面向量α=(l,3),力=(—2,4),则α在b上的投影向量为()

A.(1,-2)B.(-1,2)

C.(1,3)

工答案』B

K解析H

ba∙b

R祥解2根据α在b上的投影向量是同CoS/耳=jψ”计算即可解决.

R详析D由题知，a=(1,3),6=(-2,4),

所以α∙0=-2+12=10,W=J4+16=26,

设α与6夹角为θ,

所以“在b上的投影向量是同cos∕(=/理-=-⑵，

故选：B.

6.己知抛物线片:y2=4x的焦点为尸，过尸且斜率大于零的直线/与用相交于A,B两点，若直线/与抛

物线用：丁=一4%相切，则∣AS∣=()

A.4B.6C.8D.10

K答案HC

R解析D

R祥解』由已知设直线AB的方程为y=MxT),k>U,由直线AB与抛物线E?相切，列方程求3

联立直线AB与抛物线Ei的方程，利用设而不求法结合弦长公式求IAB∣.

K详析H抛物线g：y2=4x的焦点F的坐标为(1,0),

由已知可设直线AB的方程为y=%(x-1)，k>0,

-y2--4元

因为直线AB与抛物线七2相切，所以《只有一组解，

y=kx-k

所以方程公f-(2公一4卜+左2=0有且只有一个根，

故八=[一(2左2—4)，—4/=16—16Z2=0,又攵〉0,

所以Z=I,

y2=4x

联立厂,消九得f_6x+l=0，

ʃ=X-I

方程f-6x+l=0的判别式A=36-4>0,

设A(XI，则/+/=6,

所以∣A6∣=xl+x2+p=6+2-8,

故选：C.

7.已知函数/(x)=tan(3x+°)(0>0,|同<?的图象经过点(0,6)，若函数/(x)在区间[0,兀]内

恰有两个零点，则实数。的取值范围是()

'25"

A.B.2U

_353_,3,3j

^58^-581

C.D.

,3,3J

K答案，D

K解析U

K祥解11首先求。，再根据xe[0,π],求。尤+三的范围，结合正切函数的图象，列不等式，即可求力的取

值范围.

K详析H由条件可知/(0)=tano=√LI同<],所以°

/JtɪrJrTrTr

/(x)=tanωx+-,当尤∈[θ,π]时,ωx+-e-,ω-π+-,

若函数在区间［O,兀］上恰有2个零点，则2τt≤iυ∙7r+m<3τr,

58

解得—≤69<—.

33

故选：D

8.已知六棱锥的所有顶点都在半径为2的球的球面上，当六棱锥的体积最大时，其侧棱长为()

A侦B.26C辿D.逑

333

K答案UA

K解析D

K样解D结合球和正六棱锥的性质求出体积的表达式，令/(x)=4χ2-χ3(o<χ<4),求导，利用函数的

单调性求得取最值时的条件，进而求解即可.

K详析H由题意可知：六棱锥的底面六边形的顶点在同一个截面圆上.

易知当六边形为正六边形时，其面积最大.要使六棱锥的体积最大，则该六棱锥为正六棱锥.

不妨设正六边形的边长为∏(0<β≤2),六棱锥的高为Λ(0<Λ<4),

则正六边形的外接圆的半径为α∙由球的性质可知：(∕Z-2)2+∕=4,则/=4〃_〃2,

所以正六棱锥的体积IZ=1x6XLa2Xsin600×A=^-(4∕ι2-Λ3)>

322

设/(χ)=4X2-√(0<Λ<4),贝IJf'(x)=8x-3X2，

QQ

当Xe(O,§)时，f'(x)>O；当xe(§,4)时，f∖x)<O,

QQQ

所以函数f(χ)在(0,§)上单调递增，在(§,4)上单调递减，当X=：时，函数"O取最大值，

即Zz=§时，V取最大值，此时/=必，所以正六棱锥的侧棱长/=炉方=EI二豆=±西，

39V993

故选：A.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.己知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为rh=l,年=2,母线AB长为2,点E为AB的

中点，则()

B.圆台的侧面积为12π

C.圆台母线Ae与底面所成角为60。

D.在圆台的侧面上，从点C到点E的最短路径长为4

K答案，AC

K解析H

"羊解力根据已知求体积;过A作Af7/0。2交底面于F,判断出NABE即为母线AB与底面所成角；作

出圆台的侧面展开图，直接求出面积；圆台的侧面上，判断出从C到E的最短路径的长度为CE,等逐个判

断即可求解.

K详析》对于A：圆台的高为6，则圆台的体积V=-^π×(I2+1x2+2?)x6=K(Cm3),A正确；

对于B：由题意，圆台的侧面展开图为半圆环，

其面积为S=JX2τιx2x4—'x2兀xlx2=6兀.故B错误；

22

对于C：过A作Ab∕∕θ∣θ2交底面于R则«Q_L底面，所以NAB/即为母线A8与底面所成角.

BF1

在等腰梯形ABCD中，45=2,3/=2—1=1,所以0)5/43/二—=-

AB2

因为NABF为锐角，所以NABF=60°.故C正确;

对于D：如图示,在在圆台的侧面上,从C到E的最短路径的长度为CE.由题意可得：EB=FC=4,AB=2.

由七为AB中点，所以1E=3,所以CE=JC尸2+FE?=J4?+32=5.故D错误.

10.已知。是ABC的边BC上的一点(不包含顶点)，且AO=xAB+yAC,则()

A.x+y=lB.x+2y=l

C.λ∕x+λ∕γ≥√2D.Iog2%+Iog2γ≤-2

K答案HAD

K解析H

K样解》利用平面向量的线性运算，结合基本不等式，验证各选项的结果.

K详析D。是UWC的边BC上的一点(不包含顶点)，则有3。=；IBC(O<X<1),

得Ao-AB=MAe-AB),gpAD=λAC+(∖-λ)AB,

X=I—λ,

XAD=XAB+yAC,,

。=X

可得x+y=l,0<χ<l,0<y<l,2y∣xy<x+y=l,xy≤^,

所以A选项正确，B选项错误；

+=x+y+2y∕xy≤x+y+x+y=2,当且仅当X=y=；时等号成立，所以4+JJ<JΞ,

C选项错误；

Iog2X+Iog2y=Iog2(xy)≤Iog2；=一2,D选项正确.

故选：AD

11.已知直线/[l+α)x+y+2α=0(α∈R)与圆C：/+(y—2)2=4,则()

B.当α=l时，/被圆C截得的弦长为述

A.直线/必过定点

5

C.直线/与圆C可能相切D.直线/与圆。不可能相离

K答案XABD

K解析H

R祥解力将直线/变形为x+y+α(x+2)=0,即可求定点坐标，即可判断A：根据弦长公式求弦长，判

断B；根据直线/所过定点与圆。的关系，再结合直线方程的形式，即可判断CD.

K详析HA./:x+y+a(x+2)=0,联立1万+2—。，得Iy—2，所以直线过点(一2,2)，故A正确；

44

B.当α=l时，Γ.2x+y+2=0,圆心(0,2)到直线/的距离d=左弄=玄，弦长

=2√r2-J2=-√5,故B正确；

5

C.直线所过定点(-2,2)在圆上，过点(-2,2)与圆C相切的直线是X=-2,

但直线∕[l+α)x+y+2a=0(α∈R),表示斜率存在的直线，表示不了直线x=-2,

故不存在直线/与圆C相切，故C错误；

D.直线所过定点(-2,2)在圆上，所以直线/与圆C总有公共点，不可能相离，故D正确.

故选：ABD

12.已知函数/(x)=e"-In尤+(r-l)x,若/(χ)≥o恒成立，则实数/的可能的值为()

1112

A.-B.—C.~-D.一

e2eee

K答案XAD

K解析H

K样解》根据/(x)≥o转化成e"+比≥lnx+ehl∙v恒成立，构造函数g(x)y'+x,利用导数求解g(x)的单

IrlX

调性，问题进一步转化成及3Inr恒成立，构造缺力=_『，求解最值即可.

R详析U.f(x)=e"—InX+(7-l)x≥O=>e"+∕⅛≥lnx+x=etv+∕X≥lnx+eklx,

故/U)≥o恒成立，转化成eu+a>lnΛ+ehl，恒成立，

记g(x)*r+x,g,(x)=ev+l>O,则g(x)在(0,+8)单调递增，故由e"+比≥lnx+e"x得

g(a)3g(l∏x),故优3]nx恒成立，

iBΛ(x)=—,hf(x)=-~~等,故当％>e时,单调递减，当()<x<e时，∕zr(x)>O,∕z(x)

XX

单调递增，故当％=e时，MX)取最大值L

e

.lɪirJlnx)1

故由田俊znx1?」恒成立，B∣∏>—,故∕≥上,

XIXJmaXe

故选：AD

Kr点石成金9本题主要考查导数在函数中的应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能

力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方

程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；己知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，

解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知随机变量X服从正态分布N(〃,b2),若P(OWXWl)=P(5WXW6),则4=.

K答案13

K解析D

K祥解力根据正态分布曲线的对称性即可求解.

R详析2由于P(OWXWI)=P(5WXW6),可知正态分布曲线关于x=3对称，故4=3

故R答案X为：3

14.若数列｛4｝是公差为2的等差数列，S5<3α4,写出满足题意的一个通项公式％=.

K答案》2n-48答案》不唯一)

K解析H

"羊解H设等差数列的首项为4，利用已知条件求出卬的范围，写出等差数列的通项公式即可.

K详析》设等差数列的首项为％,且公差d=2,

则S5<3a405q+IOd<3al+9d,

即q<-l,所以=q+(〃—l)d=2〃-2+q，

令k——2+q<—3,所以Ctfj—2〃+k(k<-3),

所以可取4=2〃—4

故K答案』为：2"—4(K答案》不唯一)

15.已知函数“X)与g(χ)的定义域均为R,/(%+l)为偶函数，g(x)的图象关于点(1,0)中心对称，若

/(x)+g(x)=dτ,则〃2)g⑵的值为.

R答案》2

K解析D

K祥解』通过赋值得/⑵+g⑵=3,结合函数对称性，奇偶性得到

f(x)+g(x)=f(2-x)-g(2-x)=x2-l,则〃2)-g⑵=T,解出即可.

K详析》因为/(x)+g(x)=χ2-i,令》=2得/⑵+g(2)=3,

又因为/(%+l)是偶函数，所以/(x)图像关于直线X=I对称，

即/(x)=∕(2-x)①

又因为g(x)的图像关于(1,0)中心对称，

所以函数力(X)=g(χ+D是奇函数，即〃(一X)=-〃(X),

g(-x+l)=-g(x+l),令一χ+1代换X,得g(χ)=-g(-χ+2)②

则将①②代入/(X)+g(x)得f(x)+g(x)=/(2-x)-g(2-Λ)=x2-l

令尤=()得/(2)-g(2)=-l结合/(2)+g(2)=3,解得/(2)=1,g(2)=2,

所以f(2)g(2)=2,

故R答案H为：2.

2

Y

16.已知椭圆C：一+=l(α>⅛>0)的焦距为2,过椭圆C的右焦点F且不与两坐标轴平行的直线交椭

aF

2

圆C于A,B两点，若X轴上的点P满足IPAl=IP@且∣PF∣>］恒成立，则椭圆C离心率e的取值范围为

口答案，0,孝

R解析D

K样解》根据给定条件，设出直线AB的方程，与椭圆方程联立，求出线段AB中点横坐标，即可列式求解

作答.

K详析》依题意，点尸（1,0）,设直线A3h="+l,f≠0,A（M,χ）,次/，为），

X=（V+1CCCCCC…

由4»2222,2消去X得：Sf+α）y+2Z?"一。=O,

b-x+ay=ab

,2b1tb2-a2b2八匚几…3』，上一/b1t、

贝n1l叮"当=一加寿2％=质/'线段的的中点M⅛='一而奇）’

因为∣E4∣=∣PB∣,则有WAβ,直线PM:y+fPr=-f（x--,）,

b广+crhr+«

令y=0得点P（Iw,0）,而〃一户=ι,有,：J=n，l、-<1，

tπ+Vbr+aIH+a"

21211

又IP可>彳，即I-K_7>；，因此0<κ一-<τ>即%2+片>3，

113bzt2+a23b^Γ+a23

依题意，从产+/>3恒成立，而恒有〃/2+“2>。2,因此q2≥3=α≥百，离心率e=L≤且，

a3

所以椭圆C离心率e的取值范围为0<e≤-.

3

故K答案U为：

H点石成金JF方法r点石成金J：求椭圆离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：①求出a,C,

代入公式e=£；

a

②只需要根据一个条件得到关于α,b,C的齐次式，结合"="一,2转化为”，C的齐次式，然后等式（不

等式）两边分别除以。或/转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知数列｛%｝,q=3,4=5,数列也｝为等比数列，满足b,,τ=4+h-a也,且打，2&,打成

等差数列.

（1）

%,（"为奇数）,.

同;〃为偶数;'求数列间的前2〃项和L

（2）记数列｛%｝满足:c,=<

K答案Il(I)α,,=2"+l("∈N*),bn=2"

,4

2),

(2)ηn=2π+π+-(4-l)

R解析』

K祥解』(1)首先判断数列｛"｝为等比数列，数列｛4｝是等差数列，求数列｛4｝的通项公式，再根据条

件求数列｛d｝的首项，即可求得数列｛2｝的通项公式；

(2)根据(1)的结果，利用分组转化法，利用等差，等比求和公式求和.

K小问1详析』

由题意，d+∣=an+lbn-anbn,%=3,α2=5,令〃=1得24=3，又数列｛4｝为等比数列,所以⅛+∣=22,

即数列｛"｝为公比为2等比数列.

所以由bn+l=an+ibn-anbn可得2bn=an+tbl,-anbn即an+l-an=2,数列由,｝是首项为3,公差为2的等差

数列，

数列｛%｝的通项公式：an=3+2("-l)=2"+l("∈N*).

由打，24,々成等差数列，得：b2+b5=4a4,2仇+164=36,b、=2,有2=2".

R小问2详析)

+为奇数)

由m知/'数列｛qj的奇数项是首项为3,公差为4的等差数列，偶数项是以首

[2",(般为偶数)

项为4,公比为4的等比数列.

τ/、〃八/.ʌɔ〃(〃T)“4(1-4,')

T2π=^+ai+a5+--+a2l^)+(b2+b4+b6+---+b2,1)=3n+—--•4+———

Z1—4

ɔ4

=2n2+n+-(4n-l).

,,_tanβ+tanC2al+sin2C-cos2C∕τ_/r■(>__

18.已知条A件：①------------=­；②-----------------------=13；③√30=2ncsιnBr+不.在这j三个

tanBbl+sin2C+cos2CI3)

条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.问题：在一ABC中，角A,8,C所对的边分别是“，b,

J满足：.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.

(1)求角C的大小；

(2)若ABC为锐角三角形，c=B,求/+〃的取值范围.

2

π

K答案X(1)C=-

3

53

(2)

4,2

K解析』

K祥解》(1)选择条件①时利用三角恒等变换公式化简即可求解，选择条件②时利用三角恒等变换公式化简

即可求解，选择条件③时利用正弦定理和三角恒等变换公式化简即可求解;

(2)根据正弦定理可得α=sinA,⅛=sinB,从而/+O?=Sin?A+sin?B，再根据B=W-A,即可得到

1JT

a2+⅛2=l+-sin(2A--),利用三角函数的性质即可求取值范围.

26

K小问1详析』

tanB+tanC

选择条件①

tanB

tanB÷tanC_sinBcosC+cosBsinC_sin(B+C)_sinA_a

tanBSinBcosCsinBcosCsinBcosCbcosC

所以‘一=网，于是COSC=4，又Ce(O,兀)，所以C=工.

bcosCb23

l÷sin2C-cos2C

选择条件②=∖∣3：

1+sin2C+cos2C

l+sin2C-cos2C_2sinCcosC+2sin2C_2sinC(cosC+sinC)

因为=tanC,

1+sin2C+cos2C2sinCcosC+2cos2C2cosC(cosC+sinC)

解得tanC=G,又Ce(O,兀)，所以。=三.

选择条件③√3fl=2csin(β+-)：

3

则Ga=c(sinB+∖∕3cosB)，

由正弦定理得：√3SinA=sinCsinB+√3sinCcosB)

即>∕3sin(B+C)=sinCsinB+ʌ/ɜsinCcosB,

整理得：ʌ/ɜsinBcosC=SinCsinB>

由SinBH()得：tanC=G,又Ce(0,2,所以C=乙.

3

R小问2详析)

由(1)知，C=],β=y-A,ABC为锐角三角形，所以

由正弦定理Q=——=---=1,得α=sinA,b=sinB,

sinAsinBsinC

l-cosf^-2A

于λu'a2+b2=sin2A+sin2β=sin2A+sin2(^-A)=--"+

2

=1-∣[cos2A+cos(y-2A)]=1-ɪ(ɪcos2Λ-sin2A)

化简得，=ι+lshl(2A-二)，

26

因为二<A<二,所以2<2A—二<2,所以J<sin(2A-二)41,

6266626

—<1+—sin(2A——)≤—，

4262

(53

故小万的取值范围为『5

19.如图，在四棱锥P—ABC。中，底面ABC。为正方形，PD，底面ABC0,PD=DC=4,M为线

段尸。的中点，N在线段BC上，且BN=LBC.

4

(1)求证：平面QMN_L平面PBC；

(2)求直线AB与平面DWN所成角的正弦值.

K答案，(1)证明见K解析Il

⑵遮

34

K解析D

K祥解II(I)证法1：几何法，要证明面面垂直，转化为证明线面垂直，利用垂直关系转化为证明Z)Ml

平面PBC,即可证明；

证法2：向量法，以点。为原点建立空间直角坐标系，分别求平面OMN和平面PBC的法向量，证明法向

量垂直，即可证明面面垂直；

(2)证法1,几何法，利用平行关系，以及等体积转化求点C到平面Z)MN的距离，即可求得线面角；

证法2：向量法，利用线面角的向量法，即可求解.

K小问1详析』

证法1：因为尸底面ABeO,BCU底面ABC。，所以PDLBC,

又ABCD为正方形,所以BCI.CD，

且PZ)CCD=O,PDU平面PCD,CDU平面PCD,所以BC工平面PC。，

又DWU平面PCD，所以BCLOM,

因为Po=QC,〃为线段PC的中点，所以Z?A/_LPC,

且JBCCPC=C,BCU平面PBC,PCU平面尸BC,所以Zwl平面尸BC,

而Z)MU平面。肱V,所以平面OMN_L平面PBC.

证法2：以。点为坐标原点，以D4,DC，Z)P分别为X轴，y轴，Z轴，建立空间直角坐标系。一肛z,

如图，由已知可得O(0,0,0),M(0,2,2),N(3,4,0),P(0,0,4),3(4,4,0),C(0,4,0),则

DM=(0,2,2),ON=(3,4,0),PB=(4,4,-4),PC=((),4,-4).

设平面DMN法向量为勺=(Xl,%,z∣),

2yl+2z.=0

由nl_LDW,公上DN得飞∙DM=0,%∙DV=0,所以《_

3玉+4y1=O

44

令Z]=l,得X=-1,x1,所以勺=(1,-1,1).

设平面PBC的法向量为%=(9,％,Z2)，

4x,+4y,-4z,=O

由%_LPB,巧_LPC得吗PB=O,%∙PC=O,所以"：_4"_八一

4y2—4Z2=O

令Z2=l,得％=1，工2=。，所以4=(0,1,1)，

因为々•4=0,所以〃所以平面OMN_L平面PBC.

K小问2详析H

方法1：因为底面ABCD为正方形，所以AB〃C£>，

所以直线AB与平面DMN所成角等于直线CD与平面DMN所成角，设所求角为。，

因为BCl平面PeD,CMU平面PC。，

所以BCLCM,

故MN=NMC2+CM=J（2⑹2+3?=后,DN=√DC2+CN2=√42+32=5-DM=2血，

MN2+DM2=ON2,所以ADMN=90°,

所以SADMN=回，又S=6,点M到平面CZ）N距离为2,

II12

设C点到平面。MN的距离为〃，由Z-DMN=%-aw,得qx6χ2=M后又h,得力=χ,

33V34

又8=4,所以sinθ=4-=±区.

CD34

方法2：因为AB=。C=（0,4,0）,平面DWN的法向量为n1=g,-l,l）,

∖AB-n∖3Λ^4

设直线与平面DMN所成的角为θ，则sinθ=|cos<AB,n>∣=J~~--⅛=.

xIABrIr〃J34

20.为了了解养殖场的甲、乙两个品种成年水牛的养殖情况，现分别随机调查5头水牛的体高（单位：cm）

如下表，请进行数据分析.

甲品种137128130133122

乙品种Hl110109106114

（1）已知甲品种中体高大于等于130Cm的成年水牛以及乙品种中体高大于等于IIICm的成年水牛视为“培

育优良”，现从甲品种的5头水牛与乙品种的5头水牛中各随机抽取2头.设随机变量X为抽得水牛中“培

育优良”的总数，求随机变量X的分布列与期望.

（2）当需要比较两组数据离散程度大小的时候，如果两组数据的测量尺度相差大，或者数据的量纲不同，

直接使用标准差来进行比较是不合适的，此时就应当消除测量尺度和量纲的影响.而变异系数（C.V）可以做

到这一点，它是原始数据标准差与原始数据平均数的比，即变异系数的计算公式为：变异系数

准美

=子瞬*100%•变异系数没有量纲，这样就可以进行客观比较了•从表格中的数据明显可以看出甲品种的

平均数

体高水平高于乙品种，试比较甲、乙两个品种的成年水牛的变异系数的大小.（参考数据：√25^2≈5.02.

V6.8≈2.61)

R答案II(I)分布列见K解析2，E(X)=2

(2)甲品种的成年水牛的变异系数大

K解析H

K祥解根据古典概型概率公式，结合组合数公式，根据X的取值，分别求概率，即可求分布列和数

学期望；

(2)根据数据，分别求两组数据的平均数，标准差，即可求两个品种的变异系数，比较大小.

K小问1详析》

随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4,

P(X=O)=^lj

=0.03,P(X=I)==0.24,

c5c5

「2「2./ɔlzɔl/ɔl/ɔɪ.厂2厂2厂2/ɔl/ɔl./ɔl「2

P(X=2)=CZG+CSC;CCS+CSG=046,P(X=3)=C3GC3+年C=θ24,

P(X=4)=⅛⅛=0.03.

随机变量X的分布列为:

X01234

P0.030.240.460.240.03

随机变量X的期望E(X)=OXo.03+1x0.24+2x0.46+3x0.24+4x0.03=2.

R小问2详析)

2222

^=1(137+133+130+128+122)=130,⅛=∣(7+3+0+2+8)=25.2,s,l,≈5.02.

___11

X乙=j(l11+110+109+106+114)=110,⅛=-(12+0+l2+42+42)=6.8,⅛≈2.61.

根据公式，甲品种的变异系数为%x100%a3.86%,乙的变异系数为"ɪXlOO%≈2.37%,

130IlO

所以甲品种的成年水牛的变异系数大.

21.平面直角坐标系。孙中，P(%,%乂闻>α)是双曲线C：二∙-*=l(α>0,⅛>0)上一点，A,

a^b^

8分别是双曲线C的左，右顶点，直线Q4,PB的斜率之积为3.

(1)求双曲线C的渐近线方程：

(2)设点尸关于X轴的对称点为Q,直线PB与直线QA交于点M,过点M作X轴的垂线，垂足为N,

求证：直线PN与双曲线C只有一个公共点.

K答案U(1)y=±y∕3x

(2)证明见K解析』

K解析D

22

K祥解D(I)根据斜率公式，结合点尸(%,九)满足与一与=1,即可求双曲线的渐近线方程;

ab^

(2)首先利用点P的坐标设直线QAPB的直线方程，并联立求交点M的坐标，并求直线PN的方程，与

双曲线方程联立，证明A=O.

K小问1详析工

r2v22

由题意，A(—α,0),B(a,O),P(XO,%)满足鼻—4=],即此=勺h(片一片)

a~b'a

%%=巾=¥=匕

-22—ɔ2~2

÷ClAo-QXQ—Cl~—Cl~Cr

所以双曲线C的渐近线方程为y=±也X.

K小问2详析》

由题，A(-α,O),B(a,O),直线PB:y=—α),直线QA:>=二+α).

XQ-ax0+a

联立直线尸5与直线QA方程，解得XM=幺，故XN=幺.

⅞⅞

由(1)知双曲线C：3f-y2=3/,故y：=3(x；-/),

于是直线PN：)'=一⅛Y"一工')，即y=T¾(x—幺)，即y=也X-犯，与双曲线C联立得:

⅞-----⅞-a⅞%%