北京市平谷区2022-2023学年九年级上学期数学期末考试（解析版）

平谷区2022-2023学年度第一学期教学质量监控试卷

初三数学

注意事项：

1.本试卷共8页，包括三道大题，28道小题，满分100分.考试时间120分钟.

2.在答题卡上准确填写学校名称、班级和姓名.

3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.

4.在答题卡上，选择题、作图题用25铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.

5.考试结束，请将试卷和答题卡一并交回.

一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意

的.

1.已知2x=3y（v*°）,那么下列比例式中成立的是（）

【答案】B

【解析】

【分析】根据比例的性质求解即可.

x2

【详解】解：A、•；一=;,

y3

，3x=2y,故A不符合题意；

DB、.・-^一-2，

32

A2x=3y,故B符合题意；

L「、.•.—x——_y—,

23

，3x=2y,故C不符合题意；

x3

D、*/-=->

2y

：.xy^6,故D不符合题意；

故选：B.

【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键.

2.如图，中，D、E分别为A3、AC边上的点，DE//BC,若AD=2BD，则=的值为

()

【答案】D

【解析】

【分析】先证明四=2,再证明△ADES/XABC,可得匹=22=2.

AB3BCAB3

【详解】解：；4）=23。，

.AD2

)(-----

AB3

•：DE//BC,

：./XADE^AABC,

.DEAD2

*'BC_AB_3'

故选D.

【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，证明△AD£SZ\ABC是解本题的关键.

3.抛物线y=2/向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（）

A.y=2(x+l)2+3B.y=2(%+1)2-3

C.y=2(x-l)2-3D.y=2(x-l)2+3

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数图象平移的方法：左加右减，上加下减，可得答案.

【详解】解：抛物线向左平移I个单位可得y=2（x+iy,再向下平移3个单位可得y=2（x+l）2—3,

故选：B

【点睛】本题考查二次函数图象的平移，准确掌握平移方法是解题的关键.

4.如图，每个小正方形的边长为1,点A、B、C均在格点上，则sinB的值是（）

34

B.-D.-

45

【答案】C

【解析】

【分析】过点A作AO1BC于点力，根据勾股定理求出AB的长度，再根据正弦的定义即可求解.

在RtAAB。中，AB=JS+S=打+42=5,

・・sinD=------=一，

AB5

故选：C.

【点睛】本题主要考查了勾股定理和正切的定义，解题的关键是构建直角三角形，根据勾股定理求出A8

的长度.

2

5.如图，若点A是反比例函数y=—（x>0）的图象上一点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B,点C是y

轴上任意一点，则一ABC的面积为（）

【答案】A

【解析】

【分析】设点A的坐标为（a,将A3长和点C到A3的距离用。表示出来，最后根据三角形的面积公

式即可求解.

【详解】解：设点A的坐标为

,/ABlx轴，

AB=-,

a

•.,点C在y轴上，

•••点C到AB距离为a,

a

故选：A.

【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数女值的几何意义以

及反比例函数的图象和性质.

6.如图，YA3GD中，点E为中点，若△AEO的面积为1，贝kBOC的面积为（）

A.2B.3C.4D.8

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意易证VAE0-VCBO,再根据点E为4）中点得出相似比，最后根据相似三角形的面积

比等于相似比的平方即可求出BOC的面积.

【详解】解：；四边形ABC。为平行四边形,

AD〃BC,AD=BC,

：.ZAEO=NCBO,ZEAO=ZBCO,

：.NAEO^NCBO,

:点E为A。中点，

11Api

AAE^-AD=-BC,即生=，

22BC2

△AEO的面积为1,

解得：sBOC=4；

故选：c.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握平行四边形对

边平行且相等，相似三角形面积比等于相似比的平方.

7.“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”这是《九章算术》

中的一个问题，用现代的语言表述为：如图，CD为。。的直径，弦4B_LCQ于E，CE=1寸，弦

43=10寸，则。的半径为多少寸（）

D

A.5B.12C.13D.26

【答案】C

【解析】

【分析】连接。4,构造直角三角形，根据垂径定理和勾股定理求解.

【详解】解：连接。4,如图所示，

D

设直径CO的长为2x,则半径OC=x,

8为（。的直径，弦A5J_C。于E，48=1（）,

22

而OA=OC=x，

根据勾股定理得V=52+（无-1）2,

解得x=13，

即。的半径为13寸.

故选C.

【点睛】此题考查了垂径定理和勾股定理；熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解决问题的关键.

8.如果/表示汽车经撞击之后的损坏程度，经多次实验研究后知道，/与撞击时的速度v的平方之比是常

数2,则/与u的函数关系为（）

A.正比例函数关系B.反比例函数关系C.一次函数关系D.二次函数关系

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，列出/与v的函数关系式，即可进行解答.

【详解】解：根据题意可得：4=2,

v

整理得：/=2/,

与v的函数关系为二次函数关系；

故选：D.

【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是正确理解题意，根据题意列出正确的函数函数关

系式.

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9.函数y=中，自变量x的取值范围是.

【答案】x>3

【解析】

【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义的条件是：被开方

数为非负数.

【详解】依题意，得x-3K）,

解得:x>3.

【点睛】本题考查知识点为：二次根式的被开方数是非负数.

10.已知扇形的圆心角为120°,半径为3,则它的弧长为.

【答案】2n

【解析】

【分析】利用弧长公式带入求解.

【详解】解：扇形的圆心角为120°,半径为3,

所以弧长为：

.120〃x3。

I=--------=

180

故答案为：2Tl.

【点睛】此题考查了弧长公式；熟练运用公式是解题的关键.

2

11.如图，在RtZ\A8C中，NC=90，如果cos4=—,A8=6,那么AC的长为—.

3

【答案】4

【解析】

Ar2

【分析】根据cosA=—=—,再代入数据解答即可.

AB3

【详解】解：在Rt/XABC中

2

VZC=90°,cosA=—,

3

.“4c2

••cosA=---=-

AB39

又AB=6,

.AC2

••=—，

63

/.AC=4.

故答案为：4.

【点睛】本题主要考查利用锐角三角函数求解直角三角形的边长，熟记锐角三角函数的定义的内容是解此

题的关键.

12.如图，在0。中，A,B,C是。上三点，如果NACB=30，弦AB=5,那么O。的半径长为

【答案】5

【解析】

【分析】如图，作直径4),连接5。，则ND=NAC8=30°,?ABD90?,可得A£)=2AB=1(),

从而可得答案.

【详解】解：如图，作直径A。，连接BD，则NO=NAC8=30°,?ABE>90?,

,/AB=5,

/.AD=2AB=10,

：.C。的半径为5.

故答案为：5.

【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，含30°的直角三角形的性质，作出合适的辅助线构建直角三角

形是解本题的关键.

13.已知二次函数y=，*+Zzx+c翔）的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程^的解

【解析】

【分析】根据函数图象可知抛物线与坐标轴交于点（一3,0）,对称轴为尤=-1,根据对称性即可求得另一

个交点，进而求得方程以2+W+C=0的解.

【详解】解：•.•函数图象可知抛物线与坐标轴交于点（一3,0）,对称轴为x=-l，

另一个交点为（1,0）,

•・•X的一元二次方程ox2+fex+c=0的解为玉=-3,%2=1

故答案为：%,=-3,x2=1

【点睛】本题考查了图像法求一元二次方程的解，掌握二次函数的对称性是解题的关键.

14.如图，中，ZBAC=90，ADJ.BC于■D,BD=1，CD=4,则AO的长为—.

A

【答案】2

【解析】

【分析】先判定△ABOSACA。，再根据相似三角形对应边成比例即可求解.

【详解】解：；ZR4C=90，ADJ.BC,

：.N8+NC=90°,ZB+/BAD=90°,

•••ZB=ZBAD，

•；ZADB=ZCDA,

：./\ABD^/\CAD,

BDAD,

/.—=—,即nnAD?=800=1x4=4，

ADCD

解得：AD=2（负值舍去），

故答案为：2.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握有两个角相等的两个三角形相似，

相似三角形对应边成比例.

15.青藏铁路是当今世界上海拔最高、线路最长的高原铁路，因路况、季节、天气等原因行车的平均速度

在250~360（千米〃卜时）之间变化，铁路运行全程所需要的时间（小时）与运行的平均速度（千米/小

时）满足如图所示的函数关系，列车运行的平均速度最大和列车运行的平均速度最小时全程所用时间相差

【答案】2.2

【解析】

【分析】设铁路运行全程所需要的时间与运行的平均速度之间的表达式为/=把点（300,6）代入求出函

V

数表达式，即可求解.

【详解】解：设铁路运行全程所需要的时间与运行的平均速度之间的表达式为r=人,

V

把点（300,6）代入得：6=金，

解得：々=1800,

设铁路运行全程所需要的时间与运行的平均速度之间的表达式为，=—,

v

,…1800……

当v=250时，t=----=7.2（小时），

250

当y=360时，1=史”=5（小时），

360

7.2-5=2.2（小时），

故答案为：2.2.

【点睛】本题主要考查了求反比例函数的表达式，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数表达式的方法

和步骤.

16.张老师准备为书法兴趣小组的同学购买上课的用具，在文具商店看到商店有A、B两种组合和C、。、

E、产商品及它们的售价，组合及单件商品质量一样，若该小组共有12人，其中，笔和本每人各需要一

份，砚台2人一方即可，墨汁"瓶张老师共带了200元钱，请给出一个满足条件的购买方案

—（购买数量写前面商品代码写后面即可，例如：2A+3B+-；〃最多买一瓶.

商品价格

组合A（1支笔+1个本+1方砚台+1瓶墨汁）25元

组合B（1支笔+1个本+1瓶墨汁）18元

C：1支笔5元

D：1个本4元

E：一方砚台10元

F：一瓶墨汁12元

【答案】①.5A+7C+7D+E②.5

【解析】

【分析】根据题意可得，一共需要12支笔，12个本，6方砚台，组合A是最便宜的，尽量多买A,再根据

砚台2人一方，则组合A最多买6件，剩余的钱不够买6人的笔记本和比，故组合4最多买5件，这样砚

台差一个，最后补全笔和本的数量即可.

【详解】解：根据题意可得，

砚台2人一方，

当够买6件组合4时，剩余的钱为：200-25x6=50（元），

还需要6个组合B或单独够买6支笔和6个本，

6个组合8需要：18x6=108（元），

单独够买6支笔和6个本，5x6+4x6=54元，

；50<108,50<54,

.•.最多够买5个组合A,

当够买5件组合A时，剩余的钱为：200-25x5=75（元），

再够买一个砚台，剩余的钱为：75—10=65（元），

单独够买7支笔和7个本，剩余的钱为：65—4x7—5x7=2（元），

综上：满足条件的购买方案为：够买5个组合A,再单独够买7支笔和7个本和1个砚台；墨汁对多有5

瓶.

故答案为：5A+1C+7D+E,5.

【点睛】本题主要考查了根据方案的选择，解题的关键是根据题意，确定组合4是最便宜的，应该尽可能

多的选择组合A,从而恰当的方案.

三、解答题（本题共68分，第17、18、20—23、25题，每题5分；第19、24题，每题6

分；第26—28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

17.计算：卜国+（1）-V27+2cos30°.

【答案】5->/3

【解析】

【分析】先将绝对值、负整数基、二次根式化简，将锐角三角函数转化为实数，再进行计算即可.

【详解】解：原式=G+5—36+2x且

2

=73+5-373+73

5-V3.

【点睛】本题主要考查了特殊角度的锐角三角函数的混合运算，解题的关键是的熟练掌握特殊角度的锐角

三角函数值，绝对值的定义，负整数幕的运算法则，以及二次根式的化简方法.

18.已知：如图，在中，。为A8边的中点，连接C£>,ZACD=NB,AB=4,求AC的长.

【答案】2&

【解析】

【分析】先证明,ABC^,ACD,再根据相似三角形对应边成比例即可求解.

【详解】解：；。为A3边的中点，43=4，

AD=^AB=2,

VZACD=ZB,ZBAC=ZCAD,

^ABC^.ACD

.ACAD

即AC2=AB-AD=8,

'A5-AC

解得：AC=2夜（负值舍去），

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握有两个角相等的两个三角形相似,

相似三角形对应边成比例.

19.已知二次函数y=x2-Zr-3.

（1）求该二次函数的顶点坐标；

（2）求该二次函数图象与x轴、y轴的交点；

（3）在平面直角坐标系X。），中，画出二次函数y=x2-2x-3的图象；

（4）结合函数图象，直接写出当—时，y的取值范围.

【答案】（1）（1,-4）

（2）该二次函数图象与x轴的交点坐标为（3,0）或（一1,0）,与y轴的交点坐标为（0,-3）

（3）见解析（4）-4<y<0

【解析】

【分析】（1）将二次函数表达式化为顶点式，即可进行解答；

（2）分别将y=0,x=0代入二次函数表达式，即可求出与x轴、y轴的交点坐标;

（3）根据列表，描点，连线的步骤即可画出二次函数的图象；

（4）根据图象即可进行解答.

【小问1详解】

解：2r_3=（1）2_4,

该二次函数的顶点坐标为（1,T）.

【小问2详解】

把y=0代入y=x?—2x-3得：Q=x2-2x-3>

解得：玉=3,x2=-\,

该二次函数图象与x轴的交点坐标为（3,0）或（—1,0）,

把x=（）代入y=/_右_3得：y=-3,

该二次函数图象与），轴的交点坐标为（0,—3）；

【小问3详解】

列表：

X.......-i0123.......

y.......0-3-4-30.......

函数图象如图所示:

【小问4详解】

由图可知：当一时，-4<y<0.

【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握y=（x-〃）？+左的顶点坐标为

（〃,女）,牢记坐标轴上点的坐标特征.

20.如图，己知劣弧AB，如何等分A8?下面给出两种作图方法，选择其中一种方法，利用直尺和圆规

完成作图，并补全证明过程.

方法一：①作射线。4、0B；

②作/AQB的平分线。。，与A8交于点G

点C即为所求作.

证明：平分ZAOB,

ZAOC=ZBOC

()(填推理的依据).

方法二：①连接A3；

②作线段的垂直平分线即，直线EF与AB交于点C;

点C即为所求作.

证明：：£：尸垂直平分弦AB，

二直线三户经过圆心0,

(_)(填推理的依据).

【答案】方法一：画图见解析，AC，BC，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；方法二：画图

见解析，AC'BC，垂径定理.

【解析】

【分析】方法一：按照作图语句提示作图，再根据圆心角与弧的关系进行证明即可；

方法二：按照作图语句提示作图，再根据垂径定理进行证明即可；

【详解】解：方法一：如图，点C即为所求作.

,D

证明：:。。平分/AOB,

ZAOC=ZBOC

•*.AC=BC（在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等）.

方法二：如图，点C即为所求作.

证明：•；£：/垂直平分弦AB,

直线瓦'经过圆心O,

AC=BC（垂径定理）•

【点睛】本题考查的是复杂的作图，平分弧的作图，熟练的利用基本作图解决复杂的作图是解本题的关

键，同时考查了角平分线的定义，线段的垂直平分线的性质.

21.某班同学们来到操场，想利用所学知识测量旗杆的高度.方法如下：如图，线段AB表示旗杆，己知

A,C,。三点在一条直线上，首先用1.5米高的测角仪在点C处测得旗杆顶端B的仰角为65，在点。处

测得旗杆顶端B的仰角为45,其中，线段CE和。歹均表示测角仪，然后测量出C。的距离为5.5米，

连接石产并延长交A6于点G.根据这些数据，请计算旗杆的长约为多少

米.卜in65°«0.9,cos65°«0.4,tan65°«

【答案】12米

【解析】

【分析】设BG=x,根据锐角三角函数，将Gb和GE用x表示出来，最后根据G/-G£=£/，列出方

程求解即可.

【详解】解：:CD=5.5米，

EF=CD=5.5米,

设3G=x,

•••ZBFG=45°,NBEG=65°,

tan45°tan65°tan65°

•：GF-GE=EF,

x””

：.x-----------=5.5,

tan65°

-tan65°,八0

解得：x=5.5x-------------«10.5,

tan65°-1

AG=1.5米，

A8=6G+AG*12米，

答：旗杆AB的长约为12米.

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是熟练掌握解直角三角形的方法和步骤.

22.已知：一次函数y=日-2(攵。0),与反比例函数y=—(〃?w0,x>0)的图象交与点4(2,4).

（2）已知点尸（0,〃）（〃>。）过点2作垂直于〉轴的直线，与反比例函数的图象交于点B,与一次函数的

图象交于点C,横、纵坐标都是整数的点叫做整点.若线段BC、AC与反比例函数图象上之间的部

分围成的图象中（不含边界）恰有3个整点，直接写出〃的取值范围.

Q

【答案】（1）一次函数的表达式为y=3x-2；反比例函数的表达式为丁=—

X

（2）1K力<2或7v〃<8

【解析】

【分析】⑴把点A（2,4）分别代入丁="一2（%。0）和丁=:（〃2H0,%>0）求出％和根的值即可；

（2）画出图形，分两种情况进行讨论即可.

【小问1详解】

解：把点4（2,4）代入丁="—2（攵。0）得：4=2左—2,

解得：攵=3,

...一次函数的表达式为：y=3x—2,

把点A（2,4）代入y=—（mH0,X>0）得：4=彳，

解得：m=8,

Q

・•・反比例函数的表达式为：>=一；

X

【小问2详解】

如图所示，

①当线段BC在点A上方时，点尸在7和8之间时，恰有3个整点,

此时7<〃W8；

此时1Wn<2；

综上：当1W〃<2或7<〃W8时，恰有3个整点.

【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数

表达式的方法和步骤，会画函数图象.

23.如图，在Rt^ABC中，ZACB=90，AO平分/B4c交BC边于点。，DE上AB于点E,若

4

BD=5,COSJB=-,求AC的长.

【答案】6

【解析】

4

【分析】先根据30=5,cos8=w求出的的长度，即可根据勾股定理求出再根据角平分线的性质

4

可得CO=OE,即可求出的长度，最后根据cosB=g,求出AB的长度，即可根据勾股定理求出AC

的长度.

4

【详解】解：；DELAB,BD=5,cosB=-,

4

・•.在中，BE=BD-cos5=5x-=4,

在RtZkBO七中，根据勾股定理可得：DEVBEP-BE?=552-42=3,

,/AD平分NBAC,ZACB=90，DE±AB,

：.CD=DE=3,

3C=B£>+C£>=5+3=8,

在RtZ\A8C中，AB=-^=W,

cosB

...在中，根据勾股定理可得：AC=y/AB2-BC2=V102-82=6

【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，角平分线的性质，解题的关键是掌握根据锐角三角函

数解直角三角形的方法和步骤，角平分线上的点到两边的距离相等.

24.如图，已知锐角/ABC，以A6为直径画：。，交边于点M,BO平分NABC与。交于点

D,过点。作于点E.

A

D

CEMB

（1）求证：DE是O。的切线；

（2）连接OE交8。于点凡若NABC=60，AB=4,求。E长.

【答案】（1）见解析（2）。F=迪

5

【解析】

【分析】（1）连接。。，根据。O=BO可得NQD3=NQBO,根据角平分线的定义NZ58E=NQ3。，

则/ODB=/DBE,最后根据DEA.BC,NDBE+NBDE=90。,即可证明

/ODE=ZODB+NBDE=90°；

（2）连接A。,。。，可得NAZ汨=90°,即可求出A。长度，根据勾股定理求出8。的长度，进而求出

8E的长度，通过证明VOOFsV跳声，即可根据相似三角形对应边成比例求解.

【小问1详解】

证明：连接。O,

DO=BO,

/.ZODB=ZOBD,

V平分/ABC，

NDBE=/OBD,

：.NODB=NDBE,

DEIBC,

：,ZDBE+NBDE=90。,

：.NODE=ZODB+NBDE=90°,

.•.。后是（。的切线；

【小问2详解】

如图：连接A。,。。，

为直径，43=4，

ZAQB=90°,

,/ZABC=60.BD平分NABC，

：.ZABD=ZDBC=-4ABC=30°,

2

AD=^AB=2,

在Rt^ABD中，根据勾股定理可得BD=yjAB1-AD2=2G，

：.DE=-BD=>/3,

2

在R3BDE中，根据勾股定理可得BE=yjBD2-DE2=3，

「NODE=90。，DEIBC,

：.OD//BC,

：.ZODF=NEBF,ZDOF=ZBEF,

：.7DOFWBEF,

DODF„2DF

---=---，即n；=尸，

BEBF326-DF

解得：。尸=迪.

5

【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，角平分

线的定义，解题的关键是熟练掌握相关内容并灵活运用.

25.某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，若设距水枪水平距离为x米

时水柱距离湖面高度为y米，y与x近似的满足函数关系y=a（x-h）2+k（a<0）.现测量出x与〉的几组

（1）求出满足条件的函数关系式；

（2）身高1.75米的小明与水柱在同一平面中，设他到水枪的水平距离为桃米（相。0）,画出图象，结合

图象回答，若小明被水枪淋到机的取值范围.

【答案】（1）抛物线为：y=—；（x—3p+4

（2）画图见解析，6</«<7

【解析】

【分析】（1）由表格信息先求解抛物线的对称轴，再求解得到坐标，再把（0,1.75）代入求解即可；

（2）先画抛物线的实际图象，结合图象再求解抛物线与x轴的交点坐标，从而可得答案.

小问1详解】

解：由表格信息可得抛物线过（2,3.75）,（4,3.75）,

...抛物线的对称轴为直线：x=—=3,

2

顶点坐标为：（3,4.0）,

.••抛物线为：y=«（x-3）2+4

把（0,1.75）代入可得，9a+4=1.75,

解得：玉=-1,々=7,

，小明被水枪淋到m的取值范围为：6<m<7.

【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，画二次函数的图象，理解题意，灵活的运用抛物线的对称性

解题是关键.

26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线丁=62+云（。彳0）,设抛物线对称轴为x=L

（1）当抛物线过点（-2,0）时，求，的值；

（2）若点（—2,根）和（1,〃）在抛物线上，若"1>〃,且即加>0,求f的取值范围.

【答案】（I）t=-\

（2）当a>0时，—</<—；当a<0时，Z<—1

22

【解析】

【分析】(1)把点(―2,0)代入丁=以2+以，得出〃和b的数量关系，即可求解;

(2)根据题意进行分类讨论即可，当。>0时，当时.

【小问1详解】

解：把点(—2,0)代入旷=必2+以得：0=4。一2Z?,

：.4a=2b,整理得：2a=b,

抛物线的对称轴为x=--=-1,

2a

t—■

【小问2详解】

当龙=0时，y=0,

.•.该函数经过(0,0),

设该函数与x轴的另一个交点坐标为(0,a),

0+aa

/.t=---=—

22

①当。>0时，

,・•点(-2,m)和(1,n)在抛物线上，跳〉心,amn>0,

m>n>0

即点(-2,加)到对称轴距离大于点(1,小到对称轴距离，

；・z—(―2)>1—，，用津得：/>—5，

•・•该函数经过(0,0)、(1,〃)，且〃>0

该函数与工轴的另一个交点横坐标a<1,

a1

—〈一,

22

1

t<-,

2

・••当Q>0时.，

22

②当a<0时,

二点（一2,加）和（1,“）在抛物线上，m>n,amn>0,

••m>Q>nJ

即点（-2,加）到对称轴距离小于点（1,〃）到对称轴距离,

r-(-2)<l-z,解得：t<~,

•.•该函数经过（0,0）、（-2,m）,且加>0

...该函数与x轴的另一个交点横坐标a<—2,

a,

一<-1）

2

t<-1»

.,.当a<0时，r<-l；

综上：当。>0时，—<r<—；当.<0时，f<—1.

22

【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称轴的求法以及二

次函数图象上点的坐标特征.

27.如图，ABC中，。为AC边中点，E为延长线上一点，连接EO并延长，使。尸=OE,连接

BF.

（1）依题意补全图形;

（2）连接8。，若。石2+3/2=45?,猜想BD与。E的数量关系，并证明.

【答案】（1）补全图形见解析

（2）BD=DE，证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据题意延长ED至E，再连接防即可；

（2）连接8。，AF证明.AQPqCDE（SAS）,可得AQ=CE,再证明AF?+8/^=A8?，可得

ZAFB=90°,再利用直角三角形斜边上的中线的性质可得结论.

【小问1详解】

解：如图，补全图形如下:

【小问2详解】

BD=DE，理由如下:

连接BD，AF，

•.•。为AC边中点,

AD-CD,

,/DF=DE,ZADF=ZCDE,

,ADF-CDE（SAS）,

:.AF=CE,

CE2+BF2=AB2，

\F-+BFZ=AB2，

ZAFB=90°,

,:DE=DF，

BD=DE.

【点睛】本题考查的是根据题意画图，勾股定理的逆定理的应用，全等三角形的判定与性质，直角三角形

斜边上的中线的性质，作出适当的辅助线构建全等三角形是解本题的关键.

28.如图，平面直角坐标系中，矩形A3CD,其中4(1,0)、3(4,0)、。(4,2)、。(1,2)定义如下：若点

P关于直线/的对称点P'在矩形A8CQ的边上，则称点P为矩形A3CD关于直线/的“关联点”.

(1)已知点片(—1,2)、点£(—2,1)、点A(T,1)、点巴(-3,-1)中是矩形ABC。关于〉轴的关联点的是

(2)。。的圆心。(一g』］半径为I，若0。上至少存在一个点是矩形A8CD关于直线1=，的关联

点，求f的取值范围；

(3)。。的圆心0(〃?,1)(加<0)半径为广，若存在f值使.。上恰好存在四个点是矩形ABC。关于直线

x=/的关联点，写出r的取值范围，并写出当，取最小值时f的取值范围(用含，"的式子表示).

【答案】⑴月(-1,2),£(-4,1)

(2)