2023年上海市崇明区初三3月线下中考一模数学试卷含详解

2023年3月学业质量调研

九年级数学

（满分150分，时间100分钟）

一、选择题：（本题共6题，每小题4分，满分24分）每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.下列各组图形中，一定相似的是（）

A.两个矩形B.两个菱形C.两个正方形D.两个等腰梯形

2.将函数y=α√+法+c（α≠o）图像向右平移2个单位，下列结论中正确的是（）

A.开口方向不变B.顶点不变C.对称轴不变D.与y轴的交点不变

3.在Rt二ASC中，NC=90°,A3=4,AC=3,那么COSA的值是（）

3√7-34

A.-B.ɪ-C,-D.-

5443

4.已知e为单位向量，向量α与e方向相反，且其模为H的4倍；向量8与e方向相同，且其模为H的2倍，则

下列等式中成立的是（）

11-

Aa=2bB∙a=—2bC.⅛D.a=~~b

5.四边形ABC。中，点尸在边AO上，■的延长线交CQ的延长线于E点，下列式子中能判断AZ）〃BC的

式子是（）

FDEDrAFBFCAB_AFCEFED

A.-----——------B.-----——------D.-----——------

BCECDFEF~ED~~FDBEEC

6.如图，在＜48。中,CDA.AB,垂足为点O,以下条件中不能推出,ABC为直角三角形的是（）

CDBDAB_BCACAD

A.ZA=ZBCDB.--------------C~BC~~BDD.-----=------

ADCDBCBD

二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7.若γ3=V3且DC≠0,则x+一y=.

23y

8.计算：5a—3（2a—Z?）=.

9.点P是线段MN的黄金分割点，如果MN=IoCm,那么较长线段MP的长是cm.

10.如果抛物线y=（〃L2）f有最高点，那么加的取值范围是.

11.如果抛物线y=2Y一灰+1的对称轴是y轴，那么它的顶点坐标为.

12.己知点4（—2,y）、3（—3,%）为二次函数丁=（》+1）2图像上的两点，那么Xy2∙（填“>”、

“=”或）

13.若两个相似三角形周长比是4：9,则对应角平分线的比是.

14.飞机离水平地面的高度为3千米，在飞机上测得该水平地面上的目标A点的俯角为α,那么此时飞机与目标

A点的距离为千米.（用。的式子表示）

15.如图，在梯形ABCO中，AD/∕BC,NB=ZAer）=90°,"=45°,则迫C=.

16.如图，4ABC的两条中线AZ）和8E相交于点G,过点E作所〃BC交A。于点凡那么——=

AG

17.如图，菱形ABe。的边长为8,E为8C的中点，AF平分NE4D交Co于点F,过点尸作/=6〃AZ）,

18.如图，在RtZ∖A3C中，NC=90°,AC=4,8C=3,点。在AC边上，点E在射线AB上，将VADE沿

DE翻折，使得点A落在点A处，当AT）_LAC且C4'〃A3时，BE长为.

B

三、解答题（本大题共7题，满分78分）

19.计算：4cos300-cot45otan600+2sin2450

20.如图，在梯形A88中，AD//BC,且BC=34）,过点A作A七〃。C,分别交BCBD于点

E、F,若A5=α,5C=0.

（1）用以6表示8。和AF；

（2）求作B尸在aS方向上的分向量.（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量）

3

21.如图，。是上WC边上的一点，CD=2AD,AELBC,垂足为点E，若AE=9,SinNCBo=2.

（1）求Bo的长；

（2）若BD=CD,求tan∕B4E的值.

22.如图，一根灯杆AB上有一盏路灯A,路灯A离水平地面的高度为9米，在距离路灯正下方B点15.5米处有

4

一坡度为i=l：g的斜坡CD,如果高为3米的标尺E/竖立地面BC上，垂足为尸，它的影子的长度为4米.

图1图2

（1）当影子全在水平地面BC上（图1）,求标尺与路灯间的距离；

（2）当影子一部分在水平地面BC上，一部分在斜坡。。上（图2）,求此时标尺与路灯间的距离为多少米？

23.已知：如图，在梯形ABCf)中，AD//BC,ADBC,对角线AC与BO交于点/，点G是AB边上的中

2

点，连接CG交8。于点E,并满足以不=GE∙GC.

(1)求证：ZGAE=ZGCA;

(2)求证：AD-BC=2DF∙DE

3

24.如图，在直角坐标平面Xoy中，对称轴为直线X=1的抛物线旷=加+a+2经过点A(4,0)、点M(I,加),

与y轴交于点B.

(1)求抛物线的解析式，并写出此抛物线顶点。的坐标；

(2)联结Aδ,AM,BM,求SABM；

(3)过M作X轴的垂线与AB交于点P,Q是直线MP上一点，当-BMQ与,.AMP相似时，求点。的坐标.

25.已知RtΔA5C中，NBAC=90°,AB=AC=4,AO〃Be,点E为射线上的一个动点(不与A重

(2)在(1)的情况下，射线C4与BE的延长线交于点。，设AE=X,QF=y,求y关于X的函数解析式，并

写出定义域；

(3)当BE=3时，求CF长.

2023年3月学业质量调研

九年级数学

（满分150分，时间100分钟）

一、选择题：（本题共6题，每小题4分，满分24分）每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.下列各组图形中，一定相似的是（）

A.两个矩形B.两个菱形C.两个正方形D.两个等腰梯形

【答案】C

【分析】根据相似图形的定义，四条边对应成比例，四个角对应相等，对各选项分析判断后利用排除法解答.

【详解】A、两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故不符合题意；

B、两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意；

C、两个正方形，对应角相等，对应边一定成比例，一定相似，故符合题意；

D、两个等腰梯形同一底上的角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了相似形的定义，熟练掌握矩形、等腰梯形、菱形、正方形的性质是解题的关键.

2.将函数y=0√+加+c（α≠0）的图像向右平移2个单位，下列结论中正确的是（）

A.开口方向不变B.顶点不变C.对称轴不变D.与V轴的交点不变

【答案】A

【分析】根据二次函数图象的平移规律：左右平移，X改变：左加右减，y不变，即可判定B、C、D选项错误；开

口方向与。有关，“不变，则开口方向不变，则A正确.

【详解】开口方向与。有关，。不变，则开口方向不变，A选项正确；

左右平移，X改变，则顶点改变，B选项错误；

左右平移，X改变，则对称轴改变，C选项错误；

左右平移，X改变，则与了轴的交点改变，D选项错误.

故答案为：A.

【点睛】本题考查了二次函数图象的平移规律：左右平移，X改变：左加右减，y不变；上下平移，X不变，》改

变，上加下减；同时考查了二次函数图象开口方向，开口方向与。有关，“不变，则开口方向不变.

3.在RtABC中，NC=90°,A3=4,AC=3,那么COSA的值是（）

3√734

A.-B.—C.-D.-

5443

【答案】C

【分析】先画出图形，再由锐角三角函数定义求解即可.

AΓ3

【详解】解：CoSA=—=—,

AB4

故选：C.

⅛.'1

【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，解答本题的关键是余弦的定义.

4.已知e为单位向量，向量&与e方向相反，且其模为H的4倍；向量人与e方向相同，且其模为H的2倍.，则

下列等式中成立的是（）

--I,1,

Aa=2bB.a=—2bC∙a~~^D.a=~~b

【答案】B

［分析］根据平面向量的性质得到d=Te,b=2e，从而得到a=-2b-

【详解】解：根据题意知，α=Te,b=2e，

贝IJe=---α,e=-b,

42

则a=-2。，观察选项，只有选项B符合题意.

故选：B.

【点睛】此题考查了平面向量的知识.此题比较简单，注意掌握单位向量的知识.

5.四边形ABCQ中，点F在边AD上，版的延长线交CZ）的延长线于E点，下列式子中能判断AO〃BC的

式子是（）

FDEDAFBFCAB_AFEFED

A.B.----——-----D.----——-----

~BC~~ECDFEF'~ED~~FDBEEC

【答案】D

【分析】根据相似三角形的判定与性质、平行线的判定方法逐项判断即可.

FDED

【详解】解：A.—=——，结合NEED=NBEC不能证明右FEZABEC,不能推出NMD=N,因

BCEC

此不能判断4）〃BC,不合题意;

∆pBF

B.——=——，结合HB=ND-石，可证一可得NA=NH）E，可以判断A8〃DC,不能判

DFEF

断A£>〃BC,不合题意;

ABAF

C.—,结合ZAFB=ZDFE,不能证明AAyBS二£）方打，不能判断Ai9〃。。，也不能判断

AD//BC,不合题意;

EFFD

D.—=—,结合NKED=NBEC可证，FED^BEC,推出NEFD=NEBC,能够判断AO〃BC,符

BEEC

合题意;

故选D.

【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、平行线的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法.

6.如图，在中，CDA.AB,垂足为点D,以下条件中不能推出UWC为直角三角形的是（）

CDBDAB_BCACAD

A.ZA=ZSCDB.-------------C~BC~~BDD.-------------

ADCDBCBD

【答案】D

【分析】此题根据直角三角形的定义和相似三角形的判定方法判断即可.

【详解】A.因为NA=ZBCZ）,ZA+ZACD=90°,所以NSC。+/48=90°,即一ABC为直角三角

形，故A正确.

B.因为02=的，而且NBOC=NADC=90°,所以ZkADCS那么NB=NACD,因为

ADCD

ZS+ZBCZ）=90°,所以NBCD+NACD=90°,即ABC为直角三角形，故B正确.

ΛDBC

C.因为——=——，而且NB=N所以CCoBSAe8,那么NACB=NBOC=90。，即ABC为直角三

BCBD

角形，故C正确.

AQΛΓ)

D.—=——，而且NBoC=NADC=90°,所以△">CS∖sg,因为CD=Cr),所以两三角形全等,

BCBDJz

只能说明一ABC为等腰三角形，无法说明是直角三角形，故D错误.

故选：D

【点睛】此题考查相似三角形，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定方法.

二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7.若］=］，且孙工0,则T

5,2

【答案】-##1-

33

由等式两边同时除以占X2

【分析】可得一二彳，进而根据分式的性质求解即可

y3

【详解】湾,且孙≠o,

x2

—二—

y3

故答案为：I

3

【点睛】本题考查了分式的性质，等式的性质，掌握分式的性质是解题的关键.

8.计算：5a-3(2a-b^=.

【答案】-a+3b

【分析】直接利用实数与向量相乘及平面向量的加减运算法则去括号求解即可求得答案.

【详解】解：5a-3(2a-b^

=5a-6a+3h

=­ci+3b`

故答案为：-α+30∙

【点睛】此题考查了平面向量的运算法则.注意掌握去括号时的符号变化是解此题的关键.

9.点尸是线段MN的黄金分割点，如果MN=IOCm,那么较长线段MP的长是cm.

【答案】(5百—5)

【分析】根据黄金分割点的定义，得到竺I=正二1,求解即可.

MN2

【详解】解：由题意，得：二1,即："£=立二1,

MN2102

.∙.MP=(5√5-5)cmi

故答案为：(5√5-5).

【点睛】本题考查黄金分割点.熟练掌握黄金分割点的定义，是解题的关键.

10.如果抛物线y=(m-2)f有最高点，那么m的取值范围是.

【答案】m<2

【分析】根据二次函数y=(m-2)f有最高点，得出抛物线开口向下，即m—2<0,即可得出答案.

详解】解：：抛物线y=(加一2)f有最高点，

•••抛物线开口向下，

m-2<0，

.*.m<2,

故答案为：m<2.

【点睛】此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟知二次函数的最值与开口方向的特点.

11.如果抛物线y=2f-"+i的对称轴是y轴，那么它的顶点坐标为.

【答案】（Ql）

【分析】由题意知X=——=0,即可解得抛物线为y=2∕+i,将X=O代入即可求得顶点坐标.

2a

【详解】解：∙.∙y=2f一法+1的的对称轴是y轴,

♦b~b∩

Ia2x2

解得：h=0

二抛物线为：y=2x2+↑,

2

将X=O代入y=2∕+ι得：y=2×0+l=l,

.∙.顶点坐标为（0』）.

故答案为：（0,1）.

h

【点睛】本题主要考查了二次函数的图象及其性质，二次函数y=GJ+∕χ+c的对称轴为直线X=——,与）,轴

72a

的交点为（0,c）.

12.已知点A（—2,y）、3（—3,%）为二次函数丁=（》+1）2图像上的两点，那么My2.（填“>”、

“=”或）

【答案】<

【分析】由于知道二次函数的解析式，且知道A、B两点的横坐标，故可将两点的横坐标代入二次函数解析式求出

%、为值，再比较即可

【详解】解：当x=-2时，

X=（-2+1）2=1,

当X=—3时，

%=（-3+1）2=4,

X<%•

故答案为：<.

【点睛】本题考查了二次函数图像上的两点y值的大小，这类题目的一种算法是将两点的横坐标代入二次函数解

析式求出y值.

13.若两个相似三角形的周长比是4：9,则对应角平分线的比是.

【答案】4:9

【详解】试题解析：两个相似三角形的周长比是4:9.

这两个三角形的相似比是4:9.

对应角平分线的比等于相似比,是4:9.

故答案是：4:9.

点睛：相似三角形的周长比等于相似比.对应角平分线，中线，高之比都等于相似比.面积比等于相似比的平方.

14.飞机离水平地面的高度为3千米，在飞机上测得该水平地面上的目标A点的俯角为α,那么此时飞机与目标

A点的距离为千米.（用α的式子表示）

3

【答案】--

sɪna

【分析】构造直角三角形，利用锐角三角函数表示边长即可.

【详解】如图所示，飞机在8点处，AC为水平线，则3C±AC

BD//AC

Z.BAC-ZABD-a

,BC33

.∙.sina=——=——，解得AB=------

ABABSina

3

故答案为：--

C：∖A

【点睛】此题考查解直角三角形，解题关键是知道俯角是哪个角，然后利用正弦值求解.

S

15.如图，在梯形ABCO中，AD/∕BC,/B=NACD=90°,ND=45°,则产C=

【答案】y##05

ΛΓ

【分析】证明，ABCSACr＞，AC与AO为对应边，相似三角形的面积比等于相似比的平方，因此只需求出二三

即可.

【详解】解：∕A8=90°,ZD=45o,

NC4Z>=NO=45°,

ACCD,

AD=yjAC2+CD2=√2AC∙

,AC√2

•----=----.

AD2

AD//BC,

ZBC4=NCAD=45。，

又ZB=ZACD=90o,

ABC^.ACD,AC与AO为对应边,

.SAAfl2j饵11

,Sg[AD)[2J2

故答案为：ɪ.

【点睛】本题考查勾股定理、等腰三角形的判定、相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的面

积比等于相似比的平方.

FG

16.如图，4ABC的两条中线和BE相交于点G,过点E作EF〃BC交AD于点F,那么F=.

AG

4

【分析】根据重心的性质得到AG=2DG,BG=2GE,根据平行线分线段成比例定理计算即可.

【详解】解：YAABC的两条中线AD和BE相交于点G,

点G是aABC的重心，

.∙.AG=2DG,BG=2GE,

VEF√BC,

.FG_EGX

故答案为T.

【点睛】本题考查的是三角形的重心的概念和性质、平行线分线段成比例定理的应用，三角形的重心是三角形三

条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍.

17.如图，菱形ABCD的边长为8,E为BC的中点，A尸平分NE4。交Co于点尸，过点尸作EG〃AD,

交AE于点G,若CoS8=工，则FG的长为.

【分析】作A”垂直BC于”，延长AE和QC交于点时，然后通过证明A”是BE的垂直平分线，进而证明

MGFMEC,即可得出答案.

【详解】如图，作A”垂直BC于“，延长AE和。。交于点M，

菱形ABCo的边长为8,

.AB=AD=BC=8，

CBH1

COSD==—,

AB4

•••BH=2,

E为BC的中点，

BE=CE=4,

EH=BE-BH=2,

；•AH是BE的垂直平分线，

AE—AB=8，

BE=CE,ZAEB=ZCEM,

又AB//DM,

.∙./B=/MCE,

-NABE^MCE

AE=AB=EM=CM=8,

设GF-x,

AZ7平分ZE4T),

ZGAF=ZFAD,

又FG//AD,

ZGFA=ZFAD,

■.ZGAFZAFG,则AG=G/,

则AG=X,GE=S-x,

GF//BC,

^MGF_MEC,

,4_8

,•一=，

X16-x

解得：X=—

3

故答案为：—.

3

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质使用、垂直平分线的性质以及菱形的性质，作辅助线是本题的

关键.

18.如图，在RtzλA8C中，NC=90°,AC=4,8C=3,点。在AC边上，点E在射线AB上，将VA£>E沿

OE翻折，使得点A落在点A'处，当A。_LAC且C4'〃AB时，的长为.

254

【答案】—##3-

77

【分析】求出tan4=gg=3,勾股定理求出AB，根据题意，易得：AD=AD'>

AC4

∆,Γ)3

tanZDCA'=IanA=——=-,进而求出A。,CD的长，过H作A'”〃AC,过点E作EHLA'H,过点8

CD4

作BM上EH，交EH于点、M,延长BC交A归于点N,易得四边形ANCD,四边形NHA/均为矩形，分别

FM3

求出AN,CN,M",得到tanNEBM=tanA=——=-,设EM=3x,=4x,贝ij：BE=5x,分别用含X

BM4

的式子，表示出AE,E",A'H,利用勾股定理求出X的值，进而得解.

【详解】解：在RtAABC中，NC=9()o,AC=4,5C=3,

I-------------“BC3

ʌAB^^AB2+BC2=5；tanA=-ɪ-,

AC4

••♦将VAr)E沿Z)E翻折，使得点A落在点A'处，当A。，AC且C4'〃AS,

∙∙∙A0=AO',NeZM'=90。,NoG4=ZA,

,A'D3

tanZDCA=tanA=-----=—,

CD4

3

.∙.AD=ArD=-CD,

4

3

.∙.AD+CD=-CD+CD=AC=4,

4

.∙.AD=A'D=-

7

过A作A'H〃AC,过点E作石Hj_A7f,过点8作BΛ∕J>EH,交EH于点M,延长BC交A'”于点N,

E

VZC=90o,

.,.ABNA!=ADCN=ZCNH=90o,

.∙.四边形A1NCD,四边形NHMB均为矩形，

.∙.A'N=CD=-,CN=A'D=-,MH=BN=BC+CN=-,BM//NH//AC,

777

NEBM=ZA，

/lc*..EM3

tanZ.EBM=tanA=-----=—,

BM4

设EM=3x,5M=4x,则：BE=5χ,

ΛAE=AB+BE=5+5x,A'H=A'N+NH=A'N+BM=-+4x,EH=EM+MH=-+3x,

77

连接AE,贝I：AE=AE=5+5x,

、2、2

3+4X+史+3x

在Rt-ATffi中,A!E2=AH2+EH2即:（5+5x）2

I7

777

解得：X——,

7

25

BE=5×-

7T

故答案为：—.

7

【点睛】本题考查折叠的性质，矩形的判定和性质，解直角三角形.本题难度大，综合性强，根据题意，准确的

作图，构造特殊图形，是解题的关键.

三、解答题（本大题共7题，满分78分）

19.计算：4cos300-cot45otan600+2sin245°

【答案】l+√3

【分析】因为cos30。=且，cot45M,tan60o=√3-sin450=—，然后代入计算式即可得出答案.

22

【详解】CoS30°=，^，cot45o=l.tan60o=V3>sin45°=∙^,

22

n（万丫

.∙.原式=4xt—1XG+2X—=l+√3,

2I2）

故答案为：1+J5∙

【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的各种三角函数值是解题的关键.

20.如图，在梯形ABCz）中，AD//BC,且BC=3AD,过点A作AE〃OC,分别交BC、BD于点

E、F,若AB=a,BC=b.

A_D

Aκ

（1）用α力表示8。和AF；

（2）求作BF在αg方向上的分向量.（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量）

.12I-

【答案】（1）BD=-b-a,AF^-h+-a

393

（2）见解析

【分析】（1）利用向量的表示方法，由Bo=B4+AO即可求出80,利用平行线分线段成比例，求出AF=；AE,

即可求出AF；

（2）过点F1作G尸〃BC交AB于点G,FH〃AB交BC于点、H,则BG、即为所求.

【小问1详解】

解：AB=-BA

BD=BA+AD=-AB+AD

AB=a,BC=b,BC=3AD

111

:.BD=-AB+AD^-AB+-BC--a+-h=-h-a

333

AD//BC,AE//DC

.∙.四边形ADCE是平行四边形，AD=EC,AE=DC

BC=3AD,

BC=3EC,

.∙.BE=2EC,

AD=EC,

BE=2AD»

∖AD∕/BC,

；.二ADFs..EBF

.λd-λf_1

,~BE~^FE~2,

：.AF=-AE,

3

AE=DC,

：.AF=-AE^-DC=-(DA+AB+BC∖=-(-AD+AB+BC∖,

333、>3v>

AB=a,BC=b,BC=3AD,

.∙.AF=-∖--BC+AB+Bc]^-∖-BC+AB∖^-∖-b+a∖=-b+-a,

3(3J3(3)3UJ93

【小问2详解】

解：如图所示，过点r作G/〃BC交AB于点G,FH〃AB交BC于点、H,

BF在a、b方向上的分向量如图所示，BG-BH即为所求；

【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平面向量的线性计算，掌握平面向量的线性计算解题的关

键.

3

21.如图，。是边上的一点，CD=2A。,AELBC,垂足为点E,若A£=9,SinZCBD=-.

（1）求BD的长；

（2）若BD=CD,求tanNB4E的值.

【答案】（1）8（2）J

9

rʌτ~>-ɔ

【分析】（1）作。E1BC于点F,通过AE〃。尸可得一•=——，求出。尸的长度，根据SinNC80=二，

ACAE4

即可求解；

（2）先利用勾股定理求出CE的长度，根据等腰三角形三线合一可得3斤=。尸，再根据平行线分线段成比例求出

EF,进而求由BE,即可求出tan∕54E的值.

【小问1详解】

解：如图，作"'1BC于点、F,

DF工BC,AELBC,

∙∙∙AE//DF,

：.-C-D=-D--F,

ACAE

CD^2AD,

AC=AD+CD=3AD,

CDDF2

"AC^ΛE^3'

AE=9,

：.DF=-AE=6,

3

3

SinNCBQ=-,

4

DF3

.∙.——=-,

BD4

44

.∙.BD=-DF=—乂6=8；

33

【小问2详解】

解：BD=CD=8,

由（1）知DF—6,

•.在Rt△。尸C中，CF=∖JCDr-DF2=√82-62=2√7-

BD=CD,DF1BC,

ʌBF=CF=2√7，

AE//DF,

CFCDC

EFAD

EF=布,

•BE=BF-EF=S，

「/3.BE

AE9

【点睛】本题考查平行线的判定，平行线分线段成比例，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质等，难度

一般，解题的关键是利用平行线分线段成比例得出相应线段的比例关系.

22.如图，一根灯杆AB上有一盏路灯A,路灯A离水平地面的高度为9米，在距离路灯正下方B点15.5米处有

（1）当影子全在水平地面BC上（图1）,求标尺与路灯间的距离；

（2）当影子一部分在水平地面BC上，一部分在斜坡CO上（图2）,求此时标尺与路灯间的距离为多少米？

【答案】（1）标尺与路灯间的距离为8米；

（2）此时标尺与路灯间的距离为14米.

【分析】（1）由题意可知，AB_L8C,EPLBC得到A8〃七尸，则4EFGs∕∖ABG,把数值代入

EFFG

即可得到答案;

~∖B~BF+FG

（2）连接AE交C。于点过点M作MNIBC交BC延长线于点N,过点M作MGLAB于点G,交EF

于点“，设CM=X米，则/7C=（4—x）米，可证明，AGMsGHM,得到必=也，求出

v7EHHM

AG=（9—∣x1米，GM=115.5+gx）米，E"=（3—∣x）米，HM=（^4-x+∣A代入比例式得到关于X

的一元二次方程，解方程求得X的值，即可得到答案.

【小问1详解】

图1

由题意可知，ABLBC,EFLBC,

'.AB//EF，

：.AEFGs必BG,

.EFFG

"~AB~BF+FG

由题意可知，E尸=3,AB=9,FG=4,

.3=4

,,9^BF+4

解得BF=8,

即标尺与路灯间的距离为8米；

【小问2详解】

如图，连接AE交Co于点M，过点M作MNJ.BC交BC延长线于点N,过点M作MG，AB于点G,交EF

图2

•••影子长为4米，

.∙.FC+CM=4米,

设CM=X米，

.^.FC=(4-x)米，

•：BC=I5.5米,

•：ABɪBC,EF±BC,

；•AB//EF，

：.ZAGH=AEHM,ZBAE=ZFEM,

：.UAGMSJEHM,

.AGGM

—''~EH~~HM,"

43

.∙.CN=—X米，MN--x,

55

3

GB=彳X米,

：.AG=(9——X)米，GM=115.5+—龙)米，EH=(3—∣∙∙τ)米，HM=f4-x+-ɪ

34

9--x15.5+-x

5=5

o34

55

.,.2X2+9X-35=0.

解得芯=-7（不合题意，舍去），W=I

经检验X=-是方程的解且符合题意，

2

3

・・・尸。=4一次=一米，

2

.∙.=15.5-之=14米，

2

.∙.此时标尺与路灯间的距离为14米.

【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、解分式方程、解直角三角形的坡度问题，熟练掌握相似三角形的

判定和性质是解题的关键.

23.己知：如图，在梯形ABeO中，AD//BC,AD=-BC,对角线AC与80交于点/，点G是AB边上的中

2

点，连接CG交BD于点E,并满足BG?=GE.GC.

（1）求证：ZGAE=ZGCA;

（2）求证：AD∙BC=2DF∙DE

【答案】（1）见解析（2）见解析

【分析】（1）根据线段中点得出AG=BG,再由相似三角形的判定和性质证明一GC4sG4E即可；

（2）根据相似三角形的判定和性质得出NGBE=NGCB,再由（1）得NGAE=NGc4,利用三角形外角的性质

得出NA£尸=NAC8,再由相似三角形的判定和性质得出AASdCB/，BF=2DF，继续利用相似三角形的

判定得出「ADES_FBC,再由其性质即可证明.

【小问1详解】

证明：：点G是AB边上的中点，

.*.AG=BG，

BG2=GE.GC，

AG2=GE.GC

.AGGE

''~GC~~AG'

又：NCG4=NAGE,

∙,∙.-GCAoσ..GAE.

/GAE=NGCA.

【小问2详解】

证明：=8G2=GE∙GC,

.BGGE

,"GC~~BG'

又：/CGB=/BGE,

：.aGCBSGBE.

∙∙.NGBE=NGCB.

由（1）得NGAE=/GCA,

∙.∙ZAEF=ZABE+ZBAE,ZACB=ZACG+NBCG,

∙.ZAEFZACB,

•：AD//BC,

:∙」ADFs^CBF.

∖,AD=-BC,

2

.ADDFAF_]

''~BC~~BF~~CF~2,

∙∙.BF=2DF,

'：AD//BC,

：.ZADB=/DBC,

∙.∙ZAEF=ZACB

.∙..ADEs-FBC.

∆∩rip

.叱=把即Az）BC=OE∙B∕7,

BFBC

BF=2DF,

.∙.AD.BC=2DF∙DE.

【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，三角形外角的定义、平行线的性质，熟知相似三角形的判定与性

质是解答此题的关键.

24.如图，在直角坐标平面Xoy中，对称轴为直线X=]的抛物线），=以2+-+2经过点A（4,0）、点M（I,加），

与y轴交于点8.

(1)求抛物线的解析式，并写出此抛物线顶点。的坐标;

(2)联结AB,AW,6M,求SABM；

(3)过”作1轴的垂线与AB交于点P,Q是直线MP上一点，当∙BMQ与二AMP相似时，求点Q的坐标.

ɪ3(325、

【答案】(1)y—~~χ+∙~x+2,顶点。的坐标为；,∙^^^；

22<28J

(2)3(3)(1,-1)或(1,∣∙

∖Z)

b3

【分析】(1)由对称轴为直线X=—的抛物线y=∕+fof+2经过点A(4,0),可列方程组，2a2,解方

2[16α+4"2=0

程组后即可得到函数解析式，化成顶点式求出定点坐标即可；

(2)求出点M和点B的坐标，作MNd.y轴于点M利用梯形面积减去两个直角三角形面积即可；

(3)过点M作MELy轴于点E,设直线MP交X轴于点C,先求出ΔAfiW各边的长度，证明NAMB=90°,

分两种情况分别求解即可.

【小问1详解】

_±_2

解：由题意得到＜^2∑-2f

16o+4h+2=0

1

a-——

解得彳2

b=-

2

1

抛物线的解析式为y=-5/9+-x+2,

2

..1ɔɪɜɪɔIf3Y25

.y=——X+—x+2=——X——)+,

222T

(325、

，顶点。坐标为彳,M；

12oy

【小问2详解】

1,3

当X=I时，y=——X+-x+2=：3,

22

.∙.点M(1,3),

1,3

当X=O时，y=一—%2+-x+2^=2,

22

8(0,2),

如图，联结A8,AM,,作MNJ.y轴于点N,

则ON=3,08=2,OA=4,MN=I,BN=ON-OB=T,

则梯畴X

SABM=SCW