江苏省南京市、盐城市2022-2023学年高三下学期2月开学摸底考试 数学 含答案

2022〜2023学年高三年级模拟试卷

数学

(满分：150分考试时间：120分钟)

2023.2

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中只有一个

选项符合要求.

an

1.a3+a9=2a6是“数列{&}为等差数列”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.若复数Z满足|z—1∣W2,则复数Z在复平面内对应点组成图形的面积为()

A.πB.2πC.3πD.4π

Y—1

3.已知集合A=]*』<0},若4CIN*=。，则实数。的取值范围是()

A.{1}B.(-8,1)

C.[1,2]D.(-∞,2]

4.把5个相同的小球分给3个小朋友，使每个小朋友都能分到小球的分法有()

A.4种B.6种C.21种D.35种

7ɔ

工_r

5.某研究性学习小组发现，由双曲线C：a2b1=Im>o,b>o)的两渐近线所成的角可

求离心率e的大小，联想到反比例函数y=；(ZWO)的图象也是双曲线，据此可进一步推断双

曲线y=1的离心率为()

A.√2B.2C.√5D.5

6.在AABC中，A”为边BC上的高且初=3HC,动点P满足崩BC=BC2,

则点尸的轨迹一定过AABC的()

A.外心B.内心C.垂心D.重心

7.若函数兀V)=X3+fox2+cx+d满足贝l-x)+./(l+x)=0对一切实数X恒成立，则不等式

/(2x+3M(XT)的解集为()

A.(0,+o0)B.(―8,—4)

C.(-4,0)D.(—8,-4)U(0,+∞)

8.已知四边形ABCQ是矩形，AB=3AD,E,F分别是AB,CZ)的中点，将四边形AEFQ

绕EF旋转至与四边形BCFE重合，则直线即，8尸所成角α在旋转过程中()

A.逐步变大B.逐步变小

C.先变小后变大D.先变大后变小

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.若X〜N(μ,σ2),则下列说法正确的是()

A.P(X<μ+σ)—P(X>μ—σ)

B.P(μ—2σ<X<μ+σ)<P(μ—σ<X<μ+2σ)

C.P(X<∕z+<τ)不随"，。的变化而变化

1

D.2(〃-2<7<*<〃+<7)随μ,σ的变化而变化

10.己知函数犬x)=3sinx—4cosx,若大㈤，地)分别为KX)的极大值与极小值，则()

A.tan«=-tanβB.tana=tmβ

C.sin«=—sinβD.cosa=~cosβ

11.已知直线/的方程为(次-l)χ-2ay+2a2+2=0,a∈R,。为原点，则()

A.若OPW2,则点P一定不在直线/上

B.若点P在直线/上，则OP22

C.直线/上存在定点P

D.存在无数个点P总不在直线/上

12.如图，圆柱。0,的底面半径为1,高为2,矩形ABCC是其轴截面，过点A的平面ɑ

与圆柱底面所成的锐二面角为。,平面ɑ截圆柱侧面所得的曲线为椭圆。,截母线EF得点P,

顺)

A.椭圆Ω的短轴长为2

B.tan6的最大值为2

C.椭圆C的离心率的最大值为整

D.EP=(I—cosZAOE)tanθ

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.(2x+5)5展开式中V的系数为.

14.设函数於)=sin(3x+1)(ω>0),则使於)在(一，，T)上为增函数的3的值可以为

(写出一个即可).

15.在概率论中常用散度描述两个概率分布的差异.若离散型随机变量X,Y的取值集合均为

It

\/P(X=j)

(0,1,2,3,…，〃}5∈N*),则X,Y的散度D(XnK)=,-gP(X=i)lnP(y二D.若X,Y

的概率分布如下表所示，其中0<p<l,则D(XIlY)的取值范围是.

X0_[

1ɪ

P

22

Y0_1

PLPP

2

a2¼-,n=2k-L

16.已知数列｛an｝,｛bn｝满足bn=，2其中k£N*,｛儿｝是公比为夕

、｛an+ι,n=2k,

的等比数列，则蜉=(用q表示)；若s+b2=24,则的=.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或

演算步骤.

17.(本小题满分10分)

已知数列｛〃〃｝满足m=3,an+ι=3an-4n,n∈N*.

(1)试判断数歹U｛小一2〃一1｝是否是等比数列，并求｛为｝的通项公式；

(2〃-1)2"

(2)若仇=----------,求数列｛d｝的前〃项和S,.

。〃斯+1

18.(本小题满分12分)

在44BC中，已知AC=2,ZBAC=1j,尸为BC内的一点，满足AP_LCP,ZAPB

2π

(1)若AP=PC,求AABC的面积；

(2)若BC=币,求AP.

3

19.(本小题满分12分)

某校从2022年起积极推进劳动课程改革,先后开设了具有地方特色的家政、烹饪、手工、

园艺、非物质文化遗产等劳动实践类校本课程.为调研学生对新开设劳动课程的满意度并不

断改进劳动教育，该校从2022年1月到10月每两个月从全校3000名学生中随机抽取150

名学生进行问卷调查，统计数据如下表：

月份X246810

满意人数38095100105120

(1)由表中看出，可用线性回归模型拟合满意人数y与月份X之间的关系，求y关于X

的回归直线方程.=⅛ΛX+AΛ,并预测12月份该校全体学生中对劳动课程的满意人数.

(2)10月份时，该校为进一步深化劳动教育改革，了解不同性别的学生对劳动课程是否

满意，经调研得如下统计表：

满意不满意合计

男生651075

女生552075

合计12030150

请根据上表判断是否有95%的把握认为该校的学生性别与对劳动课程是否满意有关？

参考公式和数据：

∑ɪiʃ/-∏χ~yy](jj—J^)(J,—j)

,__________n(ad-be)1__________

K=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'其中n=a+b+c+d∙

P(K2k)0.100.050.025OOK)0.005

k2.70638415.0246.6357.879

4

20.(本小题满分12分)

如图，在四棱锥PABCD中，PAjJ氐面ABCD,ABlAD,平面PACl.平面PBD,AB

=AD=AP=2,四棱锥PABCD的体积为4.

(1)求证：BD1PC；

⑵求平面PAD与平面PCD所成锐二面角的余弦值.

21.(本小题满分12分)

如图，已知椭圆于+y2=l的左、右顶点分别为A,B,点C是椭圆上异于A,B的动

点，过原点O平行于AC的直线与椭圆交于点M,N,AC的中点为点D,直线OD与椭圆

交于点P,Q,点P,C,M在X轴的上方.

(1)当AC=小时，求cos/POM；

(2)求PQMN的最大值.

5

22.(本小题满分12分)

X-4-1

已知函数f(x)=T.

(1)当X>—1时,求函数g(x)=f(x)+χ2-1的最小值;

(2)已知xι≠X2,f(x1)=f(x2)=t,求证：∣XLX2∣>2Λ∕1-t.

6

2022〜2023学年高三年级模拟试卷（南京、盐城）

数学参考答案及评分标准

1.B2.D3.D4.B5.A6.A7.C8.D9.AC10.BCD11.BD12.ACD

13.8014.；(答案不唯一，满足即可)15.|0,+∞)161↑024

17.解：(1)因为0=3,所以〃]—2X1—1=0,所以数歹ij{〃〃一2〃一1}不是等比数列.(2

由〃〃+1=3〃“一4〃，得斯+]—2(〃+l)—l=3(〃〃一2〃一1),因为a↑-2X1—1=0,

所以小一2〃-1=0,即%=2k+L(5分)

(2/2—ɪ)∙2''2n+12”

(2)因为儿=(2〃+1)(2〃+3)=2n+3^~2n+l'”分)

*

一2

z22,32,-O

(25-+

2n)+••+∖33

1-27?.

Tr

18.解：⑴因为APLCRɪAP=CP,所以NcAP=W,

又NBA。=1'所以NBAP=帝,因为NAPB=会,所以N45P=今.

由AC=2,所以AP=&,在aAB尸中，由正弦定理，得-%=当

sin-sin1

近3

解得，所以∣--分∖

AB=SSMBC=3×AC×ABsinZBAC=×√322(57

(2)在aABC中，由余弦定理，得7=4+A"—2A8,所以AB=3.(7分)

Tr

令NCAP=α,则NBAP=W-a,ZABP=a,在aAPC中，AP=2cosα.(9分)

在aABP中，由正弦定理，得一三=黑?，所以tanα=半，(11分)

.4/1ðɪlɪCAJ

smT

因为αd(0,W),所以Ct=聿，所以4P=2X坐=√3.(12分)

19.解：(I)X=W(2+4+6+8+10)=6,j≈∣(80+95+100+105+120)=100,

5

Z(xi-X)(yi-y)=(2-6)(80-100)+(4-6)(95-100)+(6-6)(100-100)+(8-6)(105

i=l

-100)+(10-6)(120-100)=80+10+0+10+80=180,

错误!错误！=错误！=错误！，(2分)

9

-分

2

9

得y关于X的回归直线方程为％=^x+73,（4分）

7

令X=I2,得W=I27,(5分)

据此预测12月份该校全体学生中对劳动课程的满意人数为3OOOX弩127=2540(人).(6

分)

(2)提出假设Ho：该校的学生性别与对劳动课程是否满意无关.(8分)

22

rη,,n(ad-bc)150(65×20~55×10)25

∏l∣K?=--------------------------------------------------=----------------------------------=—AA417

人J(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)120×30×75×7564,1/,

(10分)

因为P(K223.841)=0.05,而4.17>3.841,

故有95%的把握认为该校的学生性别与对劳动课程是否满意有关.(12分)

20.(1)证明：设AC∩BD=O,在平面PAC内过点A作AH_LPO,垂足为H,

因为平面PACI.平面PBD,平面PACrl平面PBD=PO,

所以AH_L平面PBD.(3分)

又BDU平面PBD,所以BDl.AH.

因为PA_L平面ABCD,BDU平面ABCD,所以BD_LPA.

因为BD1.AH,PA∩AH=A,PAU平面PAC,AHU平面PAC,

所以BD，平面PAC,又因为PCU平面PAC,所以BD_LPC.(6分)

(2)解：由AB=AD=2,AB_LAD知BD=2√^,

由(1)知BDLAC,所以VPABCD=TS四边彩ABCDXPA=；×∣×2√2×AC×2=4,

所以AC=3√5.(8分)

以｛油,AD,AP｝为基底建立如图所示空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),B(2,

0,0),D(0,2,0),C(3,3,0),P(0,0,2),易知平面PAD的一个法向量为m=(1,0,

0),

设平面PCQ的法向量为∕i2=(x,y,z),又丽=(0,2,-2),PC=(3,3,一2),

[2y-2z=0,

得「CC取z=3,则X=—1,y=3,则"2=(—1,3,3),(10分)

[3x十3y—2z=0,

—1ʌ/19

所以COS〃2〉=√T+9+9〜19，⑴分)

所以平面玄。与平面PCD所成锐二面角的余弦值为喀.(12分)

21.解：(1)由AC=小知点C(0,1),

因为。为AC的中点，且4(—2,0),所以£)(—1,I),所以心C=^,kop——|，(2

分)

8

（解法1）直线MN的方程为y=4X,

联立方程4，得加=乎，所以M（√2,哗）,同理p（—也，噂）,

"|，一「

所以cosNPoM=

（解法2）由k0M=2,%OP=-J知NPoM=兀-2NMo8,由ZOM=2知tanNBoM=4,

所以cosN8。M=邛,所以CoSNPOM=COS（兀-2NMoB）=一1.（4分）

（解法3）由NPOM=<∂>,∂Λ∕）=<δ>,AC>=（OD,AC〉求解.

（2）设点C（X°，yo），由A（—2,0）知。（老/，）,

^ι-⅜

则以c="sw=焉'k°P=koD=谭二'k°M%°p=鼎'ɪ=⅛⅛=一

I>（6分）

设直线OM的方程为>=日，

y~~kx^ɔ

4A-Ic4+

联立方程K+y2=ι,得∕=ττ而‘尸讦而,则°"=ττ而,（8分）

2

,f1.91÷16⅛

由％M∙%P=-W，知OP-=T^P-'

…ɔɔ4+4F1+16F八

（解Zt法I）OM-OP-=1+43'1+4A∙2，（10分）

令l+4F=f,f>l,则OM2.0产=,（，十3）7（,4f_2.=-9（1）2+y+4≤苧（当t=2时

取等号），

所以PQ∙MN的最大值为I（I（12分）

H…ɪ,,,4+4⅛2,1+16⅛2OM2+OP25

（解法2）由OM2+