2023-2024学年上海实验学校中学高三数学文上学期期末试卷含解析

2023年上海实验学校中学高三数学文上学期期末试卷

含解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.已知三棱锥P-ABC中，底面ABC是边长为2的正三角形，P/4J■平面ABC,且

PA=1,则点A到平面PBC的距离为（）

A.1B.

2回

C.2D.

~2

参考答案：

C

-y-=l（a>0）

2.已知双曲线力的实轴长为2,则该双曲线的离心率为

也_昱

A.2B.2C眄D.④

参考答案：

D

略

3.由曲线y=—+2x与直线y=x所围成的封闭图形的面积为（）

A.6B.3C.6D,3

参考答案:

A

4.执行如图所示的程序框图，则输出的A的值为（）

|开烂=11a匚4=2.4+】i=i+1"3

A.7B.15C.29D.31

参考答案：

B

【考点】程序框图.

【专题】算法和程序框图.

【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的A,i的值，当i=5时满足条件

i25,退出循环，输出A的值为15.

【解答】解：模拟执行程序框图，可得

A=0,i=l

A=l,i=2

不满足条件i>5,A=3,i=3,

不满足条件i25,A=7,i=4,

不满足条件i》5,A=15,i=5,

满足条件i>5,退出循环，输出A的值为15.

故选：B.

【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的A,i的值是解

题的关键，属于基础题.

5.若函数/⑶的反函数小―阿士（）

A.5/2—1B.l+xj'2C.1-D.3-2y/2

参考答案：

D

略

Jj(x3+mx^ix=0

6.若,则实数网的值为

J-1

A.3B.3C.-1D.-2

参考答案：

B

7.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这

种现象称为衰变。假设在放射性同位素葩137的衰变过程中，其含量M（单位：太

t

贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系：=其中Mo为t=0时销

137的含量。已知t=30时，脩137含量的变化率是-1052（太贝克/年）,则M

（60）=

A.5太贝克B.75In2太

贝克

C.150In2太贝克D.150太贝克

参考答案:

D

本题考查导数的意义和复合函数的求导法则.同时考查理解能力和应用知识解题的

-L1

”«）=弧230In2（-—）

能力。钻137含量的变化率为°-30,所以当t=30时,

M(30)=

,所以a=600,所以M(60)=150

8.在AABC中，BC=1且cosA=-10,B=4,则BC边上的高等于（）

111

A.1B.2C.3D.4

参考答案：

c

【考点】正弦定理.

【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinA,利用两角和的正弦函数公式可求

sinC的值，由正弦定理可求AB,设BC边上的高为h,利用三角形面积公式，即可计算得

解.

逗三

【解答】解：VcosA=-10,B=4,

I.......-3VT3运

.\sinA=vl-cosA=10,可得：sinC=sin(A+B)=5,

AB二BC返

由sinC-sinA,BC=1,可得：AB=3,

11

，Se，AB?BC?sinB=6,

设BC边上的高为h,SAABc=2_BC?h=-6,

1

h=3,

故选：C.

【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，正弦定理，

三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.

.4

v-1—x

9.已知中心在原点的双曲线渐近线方程为3,左焦点为(-10,0),则双曲线的方

程为()

金£1《-2=1上士1

A916B3664C169DM36

参考答案：

B

【分析】

ir=x—x

根据题意，分析双曲线的焦点在X轴上，又可知c=10,渐近线方程为3,所以可

b4

得G=进而可求得4、b的值，从而求出结果.

【详解】解：根据题意，要求双曲线的焦点为(-10,0),则其焦点在x轴上，且。=

10,

设双曲线的方程为-卜’=1,则有a2+b2=c2=l00,

4b4

又由双曲线渐近线方程为y=±Gx,则有"=5,

解可得：a=6,b=8,

■.

则要求双曲线的方程为：36-64=1；

故选:B.

10.已知G是的重心，点F是AGBC内一点，若4尸=,则“的

取值范围是()

参考答案:

c

略

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.若与"是定义在R上的奇函数，且满足八・4=-/(,)，给出下列4个结论：

(1)/(2)=。；(2)是以4为周期的

函数；

(3)/(*+?)=/(-*)；(4)的图像关于直线，•。对

称；

其中所有正确结论的序号是.

参考答案：

(1)(2)(3)

略

12.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x-a)?+(y-a+2):I,点A(0,-3),若

圆C上存在点M,满足|AM|=2|M0|,则实数a的取值范围是.

参考答案：

[0,3]

【考点】J5：点与圆的位置关系；IR：两点间的距离公式.

【分析】设点M(X,y),由题意得X，(y-2)2+x2+y2=10,若圆C上存在点M满足

MA2+M02=10也就等价于圆E与圆C有公共点，由此能求出实数a的取值范围.

【解答】解：设点M(x,y),由题意得点A(0,2),0(0,0)及MA'MO』。，

即/+(y-2)2+x2+y2=10,整理得x2+(y-1)M,

即点M在圆E：x2+(y-1)三4上.

若圆C上存在点M满足MA2+MO2=1O也就等价于圆E与圆C有公共点，

所以|2-1|WCEW2+1,

即|2-l|wJa2+(a-3)2w2+l,

整理得1W2a2-6a+9W9,解得0WaW3,

即实数a的取值范围是[0,3].

故答案为：[0,3].

13.已知非负实数X,，满足2/Ju+zyrY=力则动(r的最大值

为.

参考答案：

1+4应

14.等差数列中，若生+々+%=15,43+4+09=3,则%+%+%=.

参考答案：

9

15.如图所示，一种树形图为：第一层是一条与水平线垂直的线段，长度为1,第二层在

第一层线段的前端作两条与其成135。角的线段，长度为其一半；第三层按第二层的方法

在每一条线段的前端生成两条与其成135。角的线段，长度为其一半.重复前面的作法作

图至第n层，设树形的第n层的最高点至水平线的距离为第《层的树形图的总高度，则到

第二层的树形图的总高度庆=,当n为偶数时，到第n层的树形图的总高度%

水平线

参考答案:

4+々4./O

16.已知等差数列｛aj,右ai+az+as=-24,ai8+ai9+a2o=78,贝！JS20_.

参考答案：

180

【考点】等差数列的性质.

【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列.

【分析】由条件-24,ai8+ai9+a2o=78可得到ai+a2o=18,再由等差数列的前20项和

的式子可得到答案.

【解答】解：*.*ai+a2+a3--24,ais+ai9+a2o-78

・・ai+a2o+a2+ai9+a3+ai8=54=3(ai+a2o)

・・ai+a2o=18

20

.二S20=2(ai+azo)~180

故答案为：180

【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式的应用.考查等差数列的性质.比较基

础.

17.在数列｛aj中，ai=l,n22时，an=an-i+n,若不等式，，对任意n£N*恒成立，

则实数入的取值范围是.

参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.多面体ABCOE/中，9CI/EF,kF=<6,ZVWC是边长为2的等边三角形，四边形

AC。/7是菱形，NANCr"，M,N分别是AB,。尸的中点.

(1)求证：MV〃平面4M；

(2)求证：平面Z6C_L平面ZCD尸.

参考答案：

⑴证明：取配的中点。，连接0M.

因为分别是题刀尸的中点，所以在菱形40尸中，GHUAF,

在AAJC中，OMH9C

又BCHEF,所以&/〃M,

OM[]0N-0,所以平面O4W"平面dM,

■Mu平面所以“N〃平面ZEV.

⑵证明：连结

儿傅。是边长为2的等边三角形，所以A0J_ZC,*?=有，

四边形*0口是菱形，尸=2,•.•41C=60,

；.OR1ACQR=B,

,:RF=&,：,BdA*=BF、,

：.BO±OF

又用。n/c=o,所以AO_L平面ZC。尸

Mu平面ZAC,所以平面Z3C_L平面/CDF.

B

19.(本题12分)

已知几何体E—ABC。如图D7—13所示，其中四边形ABC。为矩形，AABE为等

边三角形，且AO=,AE=2,OE=，点/为棱BE上的动点.

(1)若。成平面AFC,试确定点F的位置；

(2)在(1)的条件下，求二面角E—。。一尸的余弦值.

参考答案：

解：(1)连接8。交AC于点M,若。成平面AfC,

则。EIIFM,点M为8。中点，则/为棱BE的中点.........4分

(2)4。=,AE=2,DE=,：.DA1AE.

又四边形ABCD为矩形，••.D41面ABE.

方法1：以中点。为坐标原点，以0E为x轴，以为y轴，以0M为z

轴，建立空间直角坐标系，如图所示.

设平面DCE的法向量〃=(x,y,z),

令x=l,则〃=(1,0,1).

设平面DCF的法向量机=(x,y,z).

令x=2,则m=(2,0,1).

设二面角E—。。一斤的平面角为仇cos0==....................12分

方法2：设二面角E—DC—A的平面角为a,

取AB中点O,CD中点N,

E0L平面ACO,ONLCD,••.ZONE就是二面角E—DC—A的平面角..…6分

：/ONE=a,tanot=1..........................8分

同理设二面角F-DC-A的平面角为£,

tan»=.........................................................10分

设二面角E—OC一/为仇0=a—fi,••.tan6,=,.-.cos6)=........12分

略

1

20.设函数f(x)=12x+a|+1x-a|(xGR,实数a<0).

5

(I)若f(0)>5,求实数a的取值范围；

(II)求证：f(x)NJI

参考答案：

【考点】R5：绝对值不等式的解法；5B：分段函数的应用.

【分析】(I)去掉绝对值号，解关于a的不等式组，求出a的范围即可；(II)通过讨

论x的范围，结合基本不等式的性质求出求出f(x)的最小值即可.

11_5

【解答】(I)解：：a<0,；.f(0)=|a|+|-a|=-a-a>2,

即a2+2a+l>0,

1

解得aV-2或-2VaVO；

。,1

3x+a»

a

1

-x-a—，7<X<1

a

1,1X《工

-o3x-a+—，

(II)证明：f(x)=12x+a|+1x-a|

aa1

当x2-2时，f(x)2-2-a；

1aa1

当a<x<-2时，f(x)>-2-a；

12

当xWa时，f(x)-a-a,

.•.f(x)广会匕2/发)T)=亚,

a1

当且仅当-~2=~1即a=-加时取等号，

.*.f(x)

【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查解绝对值不等式问题，是一道中档题.

1,x>0

<0,x=0

21.对x£R,定义函数sgn(x)=-1，x<°

(1)求方程x?-3x+l=sgn(x)的根；

(2)设函数f(x)=[sgn(x-2)]?(X2-2|X|),若关于x的方程f(x)=x+a有3个

互异的实根，求实数a的取值范围.

参考答案：

【考点】函数与方程的综合运用；函数的图象；根的存在性及根的个数判断.

【分析】(1)利用已知条件，列出方程，逐一求解即可.

(2)求出函数的解析式，得到a的表达式，画出图象，通过a的范围讨论函数零点个数

即可.

【解答】解：(1)当x>0时，sgn(x)=1,解方程X2-3X+1=1,得X=3(x=0不合题意

舍去)；

当x=0时，sgn(x)=0,0不是方程x?-3x+l=0的解；

当xVO时，sgn(x)=-1,解方程x?-3x+l.=-1,得x=l或x=2(均不合题意舍去).

综上所述，x=3是方程x?-3x+l=sgn(x)的根.…

x2-2x,x>2

f(x)=<-J+2x,0<x<2

(2)由于函数-x2-2x,x<0,

x2-3x,x>2

a='-x2+x,0<x<2

则原方程转化为：-x2-3x，X<0.

数形结合可知：

①当a<-2时，原方程有1个实根；

②当a=-2时，原方程有2个实根；

③当-2<a<0时，原方程有3个实根；

④当a=0时，原方程有4个实根;

0〈a〈工

⑤当4