江西丰城中学2022-2023学年八年级上学期期末考试数学试卷(含解析)

2022-2023学年江西省宜春市丰城中学八年级第一学期期末数学试卷一．选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．下列计算中正确的是（）A． B． C． D．解：∵4﹣3＝，∴A选项的结论不正确；∵与不是同类二次根式，不能合并，∴B选项的结论不正确；∵+＝+2＝3，∴C选项的结论正确；∵2与3不是同类二次根式，不能合并，∴D选项的结论不正确．综上，计算正确的是：C．故选：C．2．下列线段a，b，c能组成直角三角形的是（）A．a＝2，b＝3，c＝4 B．a＝4，b＝5，c＝6 C．a＝1，b＝，c＝ D．a＝，b＝，c＝解：A、22+32≠42，不能组成直角三角形，不符合题意；B、42+52≠62，不能组成直角三角形，不符合题意；C、12+（）2＝（）2，能组成直角三角形，符合题意；D、（）2+（）2≠（）2，不能组成直角三角形，不符合题意；故选：C．3．直角三角形的两边长分别为6和10，那么它的第三边的长度为（）A．8 B．10 C．8或2 D．10或2解：当10为斜边时，第三边为＝8，当第三边为斜边时，第三边为＝＝，∴第三边为8或．故选：C．4．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AB∥CD，添加下列条件后仍不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB＝CD B．AD∥BC C．OA＝OC D．AD＝BC解：A、∵AB∥CD、AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形；B、∵AB∥CD、AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形；C、∵AB∥CD，∴∠BAO＝∠DCO，∠ABO＝∠CDO．在△ABO和△CDO中，，∴△ABO≌△CDO（AAS），∴AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形；D、由AB∥CD、AD＝BC无法证出四边形ABCD是平行四边形．故选：D．5．如图，菱形ABCD中对角线相交于点O，AB＝AC，则∠ADB的度数是（）A．30° B．40° C．50° D．60°解：在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ADC＝∠ABC，∵AB＝AC，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ADC＝60°，在菱形ABCD中，∠ADB＝∠CDB，∴∠ADB＝30°，故选：A．6．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，∠CAE＝15°，连接OE，则下面的结论：其中正确的结论有（）①△DOC是等边三角形；②△BOE是等腰三角形；③BC＝2AB；④∠AOE＝150°；⑤S△AOE＝S△COE．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个解：∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝45°，∴∠AEB＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AB＝BE，∵∠CAE＝15°，∴∠ACE＝∠AEB﹣∠CAE＝45°﹣15°＝30°，∴∠BAO＝90°﹣30°＝60°，∵矩形ABCD中：OA＝OB＝OC＝OD，∴△ABO是等边三角形，△COD是等边三角形，故①正确；∴OB＝AB，∠ABO＝∠AOB＝60°，∴OB＝BE，∴△BOE是等腰三角形，故②正确；∵∠OBE＝∠ABC﹣∠ABO＝90°﹣60°＝30°＝∠ACB，∴∠BOE＝（180°﹣30°）＝75°，BC＝AB，故③错误；∴∠AOE＝∠AOB+∠BOE＝60°+75°＝135°，故④错误；∵AO＝CO，∴S△AOE＝S△COE，故⑤正确；故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．化简：＝π﹣3．解：＝＝π﹣3．故答案是：π﹣3．8．一个正方形的对角线长为2，则其面积为2．解：方法一：∵四边形ABCD是正方形，∴AO＝BO＝AC＝1，∠AOB＝90°，由勾股定理得，AB＝，S正＝（）2＝2．方法二：因为正方形的对角线长为2，所以面积为：2×2＝2．故答案为：2．9．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，如果∠ADB＝30°，则∠E＝15度．解：连接AC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BE，AC＝BD，且∠ADB＝∠CAD＝30°，∴∠E＝∠DAE，又∵BD＝CE，∴CE＝CA，∴∠E＝∠CAE，∵∠CAD＝∠CAE+∠DAE，∴∠E+∠E＝30°，即∠E＝15°，故答案为：15．10．某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要680元．解：由勾股定理得AB＝＝＝12（m），则地毯总长为12+5＝17（m），则地毯的总面积为17×2＝34（平方米），所以铺完这个楼道至少需要34×20＝680（元）．故答案为：680．11．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，直线EF过O点，若AB＝2，BC＝4，∠ABC＝60°，则图中阴影部分的面积是．解：∵平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∴S△AEO＝S△CFO，∴阴影部分面积等于△BCD的面积，即为▱ABCD面积的，过点C作CP⊥AD于点P，∵CD＝AB＝2，∠ADC＝60°，∴DP＝1，CP＝，∴S平行四边形ABCD＝BC•CP＝4，∴阴影部分面积为，故答案为：．12．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8cm，BC＝12cm，M是BC上一点，且BM＝9cm，点E从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点F从点C出发，以3cm/s的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t，则当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t＝或解：①当点F在线段BM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则有t＝9+3t﹣12，解得t＝，②当F在线段CM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则有t＝12﹣9﹣3t，解得t＝，综上所述，t＝或s时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．故答案为：或三．（本大题5小题，每小题6分，共30分）13．计算：（1）；（2）（+1）（3﹣）﹣．解：（1）原式＝3﹣+4+4＝7+3；（2）原式＝3﹣5+3﹣﹣2＝﹣2．14．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE＝CF．求证：BE∥DF．解析：证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD＝BC，AD∥BC，∵AE＝CF，∴DE＝BF，又∵DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∴BE∥DF．15．先化简，再求值：a+，其中a＝2020．如图是小亮和小芳的解答过程．（1）小亮的解法是错误的；错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：＝|a|；（2）先化简，再求值：a+2，其中a＝﹣2．解：（1）小亮的解法是错误的，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：＝|a|，故答案为：小亮；＝|a|；（2）原式＝a+2＝a+2|a﹣3|，∵a＝﹣2＜3，∴原式＝a+2（3﹣a）＝a+6﹣2a＝6﹣a＝8．16．若x，y是实数，且y＝++3，求3的值．解：由题意得，4x﹣1≥0，1﹣4x≥0，解得，x＝，则y＝3，则3＝3×＝．17．如图，在每个小正方形的边长都为1的方格纸中有线段AB，点A、B均在小正方形的顶点上．（1）在方格纸中以AB为对角线画矩形ACBD，点C、D均在小正方形的顶点上，且点C在AB的右侧，该矩形的面积为4；（2）以AC为边画平行四边形ACEF（非矩形），点E、F均在小正方形的顶点上，且平行四边形ACEF的面积为4．解：（1）矩形ACBD即为所求；（2）▱ACEF即为所求．四.（本大题3小题，每小题8分，共24分）18．先化简再求值，其中a＝+1．解：原式＝，＝，＝，当a＝+1时，原式＝．19．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且BE＝CF．AE与BF交于点O．猜想：AE与BF的关系，并给出证明．解：AE＝BF且AE⊥BF，证明如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠C＝90°，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（SAS）∴AE＝BF，∠BAE＝∠CBF，∵∠ABE＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠CBF+∠AEB＝90°，∴∠BOE＝90°，即AE⊥BF．20．如图，AD是等腰△ABC底边BC上的高．点O是AC中点，延长DO到E，使OE＝OD，连接AE，CE．（1）求证：四边形ADCE的是矩形；（2）若AB＝17，BC＝16，求四边形ADCE的面积．解析：（1）证明：∵点O是AC中点，∴AO＝OC，∵OE＝OD，∴四边形ADCE是平行四边形，∵AD是等腰△ABC底边BC上的高，∴∠ADC＝90°，∴四边形ADCE是矩形；（2）解：∵AD是等腰△ABC底边BC上的高，BC＝16，AB＝17，∴BD＝CD＝8，AB＝AC＝17，∠ADC＝90°，由勾股定理得：AD＝＝＝15，∴四边形ADCE的面积是AD×DC＝15×8＝120．五.（本大题2小题，每小题9分，共18分）21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在斜边AB上，E、F分别在直角边CA、BC上，且DE⊥AC，DF∥AC．（1）求证：四边形CEDF是矩形；（2）连接EF，若C到AB的距离是5，求EF的最小值．解析：（1）证明：∵DF∥AC，∠C＝90°，∴∠DFB＝∠C＝90°，∴∠DFC＝90°＝∠C，∵DE⊥AC，∴∠DEC＝90°＝∠DFC＝∠C，∴四边形CEDF是矩形；（2）解：连接CD，如图所示：由（1）可知，四边形CEDF是矩形，∴CD＝EF，∴当CD有最小值时，EF的值最小，∵当CD⊥AB时，CD有最小值，∴CD⊥AB时，EF有最小值，∵C到AB的距离是5，即点C到AB的垂直距离为5，∴CD的最小值为5，∴EF的最小值为5．22．如图1，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，经过点O的任意一条直线分别交AD，BC于点E，F．（1）求证：OE＝OF；（2）如图2，如果点E，F分别是AD，BC的中点，AB＝5，BC＝12．在对角线AC上是否存在点P，使∠EPF＝90°？如果存在，请求出AP的长；如果不存在，请说明理由．解析：证明：∵▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，∴AO＝CO，AD∥BC，∴∠EAC＝∠FCO，在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF；（2）存在，由（1）可知，OE＝OF，AO＝CO，∵∠EPF＝90°，∴OP＝EF，∵AE∥BF，AE＝BF，∠B＝90°，∴四边形ABFE是矩形，∴EF＝AB＝5，∴OP＝EF＝2.5，在Rt△ABC中，AC＝，∴AO＝CO＝AC＝6.5，∴AP'＝AO﹣OP'＝6.5﹣2.5＝4，AP″＝AO+OP″＝6.5+2.5＝9，∴AP的长为4或9．