北师大版初中数学七年级下册同步练习 第4章

1.如图，共有三角形的个数是（

2.如图所示，在AABe中，NACB是钝角，让点C在射线BD上向右移动，则（.）

A.AACB将变为锐,角三角形，而不会再是钝角三角形

B.AACB将先变为直角,三角形，然后再变为锐角三角形，.而不.会再是钝角三角形

C.AACB将先变为直角三角形，然后变为锐角三角.形，接着又由锐角三角形变为钝角三角形

D.ΔACB先由钝角三角形变为直角三角形,再变为锐角三角形，接着又变为直角三角形，

然后再次变为钝角三角形

3.一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3,这个三角形一定是（）

A.直角三角形B.锐角三角形

C.钝角三角形D.无法判定

4.若直角三角形中的两个锐角之差为22。，则较小的一个锐角的度数是（）

A.24oB.34°C.44oD.46°

5.在一个直角三角形中，有一个锐角等于60。，则另一个锐角的度数是（）

A.120oB.90°C.60oD.30o

6.如图所示，AABC中，点O,E分别在A8,BC边上，DE〃AC,Z6=50o,

NC=70°,那么Nl的度数是（）

A.70°B.60°C.50°D.40°

7.如图，三角形共有个.

8.如图，AB√CD,CE与AB交于点A,BE±CE,垂足为E.若NC=37。，则NB=.

9.如图所示，在△八8C中，AABC=ZACB,ZA=50O,8D为NA8C的平分线,

贝IJNBDC=

10.如图所示，在△48C中，ZABC=ZACB,CD平分N4C8交八8于点

D,AEZzDC交8C的延长线于点E,已知NE=36°,则/8=度.

11.已知，如图，。是AABC中BC边延长线上一点，尸为AB上一点，直线交Ae于E,

Nor8=90°,ZA=46o,No=50°.求NACB的度数.

BD

参考答案

1.D2.D3.A4.B5.D6.B

7.138.53°9.82.5°10.72

11.解：在aDFB中，VZDFB=90°,∕D=50°,ZDFβ+ZD+Zβ=180o,ΛZβ=40o.

在AABC中，VZΛ=46o，ZS=40o，：.ZACB=180°~ZA~ZB=94o.

L几位同学用三根木棒拼成的图形如图所示,则其中符合三角形定义

2.如图,过A,B,C,D,E五个点中任意三点画三角形.

(D其中以AB为一边可以画出个三角形;

(2)其中以C为顶点可以画出个三角形.

3.如图,以CD为公共边的三角形是；ZEFB是

的内角;在ABCE中,BE所对的角是,NCBE

所对的边是；以NA为公共角的三角形是.

A

4.在AABC中,若NA=95∖NB=40。,贝I」NC的度数为()

A.35oB.40oC.45oD.50o

5.在AABC中,NA：ZB:NC=3:4：5,则NC等于（）

A.45oB.60o

C.75oD.90o

6.如图,在AABC中,点DzE7F分别是三条边上的点,EF〃AC,DF〃AB,N

B=45∖NC=60°,贝IJNEFD等于（）

A.80oB.75o

C.70oD.65o

7.在一个直角三角形中,有一个锐角等于60。,则另一个锐角的度数是

（）

A.120oB.90oC.60oD.30o

8.（如图,直线a〃b,直线I与a,b分别相交于AzB两点,过点A作直线I

的垂线交直线b于点C,若/1=58。,则N2的度数为（）

9.如图,将一块含有30。角的直角三角尺的两个顶点放在长方形直尺的

一组对边上,如果/2=60。,那么Nl的度数为（）

O

A.60oB.50oC.40oD.30o

1O.⅛∆ABC中,NA=2Cr,NB=6（Γ,]J!∣Jz∖ABC的形状是（）

A.锐角三角形B.钝角三角形

C.直角三角形D.锐角三角形或钝角三角形

IL如图所示的三角形被木板遮住了一部分,这个三角形是（）

A.锐角三角形

B.直角三角形

C.钝角三角形

D.以上都有可能

12.根据下列条件,判断AABC的形状.

(l)ZA=40o,ZB=80o;

(2)ZA：ZB：ZC=2：3：7.

提升训练

13.如图,在AABC中,D,E是BC,AC上的点,连接BE,AD,交于点F,问:

⑴图中有多少个三角形?并把它们表示出来.

(2)∆BDF的三个顶点是什么?三条边是什么？

⑶以AB为边的三角形有哪些？

⑷以F为顶点的三角形有哪些？

14.如图,请猜想NA+NB+NC+ND+NE+NF的度数,并说明你的理由.

15.如图,已知AB〃CD,直线EF分别交ABzCD于点EzFzEP平分NBEF,FP

平分NDFE.试说明:APEF是直角三角形.

16∙(1)如图①,CD是直角三角形ABC斜边AB上的高,图中有与NA相等

的角吗?为什么？

⑵如图②,把图①中的CD平移到ED处,图中还有与NA相等的角吗?

为什么？

⑶如图③,把图①中的CD平移至IJED处,交BC的延长线于点E,图中还

有与NA相等的角吗?为什么？

参考答案

L【答案】D

2.【答案】(1)3(2)6

解：⑴其中以AB为一边可以画出3个三角形，分别为

△ABEQABD,2XABC;⑵其中以C为顶点可以画出6个三角形,分别为

∆ABC,∆BCDZ∆BCE7∆ADC,∆DEC,∆ACE.

3.【答案】∆CDF-⅛ΔBCD^BEFJZBCE^EJ∆ABDZ∆ACE⅛∆ABC

4.【答案】C5.【答案】C6.【答案】B

7.【答案】D8.【答案】C9.【答案】D

10.【答案】B11•【答案】D

12.解乂I)NC=I80°-NA-NB=60°,因为40°<60°<80°<90°,所以AABC是锐

角三角形.

⑵设ZA=2x,ZB=3x,ZC=7x,

则2x+3x+7x=180°,解得x=15o.

所以NC=7xl5°=105°.

所以AABC是钝角三角形.

13.解:(1)8个:ZkABC,ZkABF,ZkABE,AABD,ABDF,Z∖AEF4ACD,ABCE

⑵三个顶点:B,D,F三条边:BD,BF,DF

(3)∆ABC,∆ABFZ∆ABD,∆ABE

(4)∆ABF,∆BDFZ∆AEF

14.解:猜想:NA+∕B+NC+ND+NE+NF=36(Γ∙

理由:因为NA+NB+NAMB=18Cr,NAMB+NBMP=18CΓ,所以NBMP=N

A+NB.同理得ZENM=ZE+ZF,ZMPC=NC+ND.又因为NBMP+Z

ENM+ZMPC=(180o-ZNMP)+(180o-ZMNP)+(180o-ZMPN)=540o-(Z

NMP+ZMNP+ZMPN)=360°,所以ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=360o.

分析：此题不能直接求出每个角的度数,但可将这些角放置在不同三

角形中,根据三角形内角和等于180。和补角的定义,得出NBMP=NA+

NB,NENM=NE+NF,NMPC=NC+ND,然后运用这些条件并结合三角

形内角和等于180。和补角求出NA+NB+NC+ND+NE+NF的度数.本

题体现了数学中的转化思想和整体思想.

15.解:因为AB〃CD,

所以NBEF+NDFE=180°.

又因为EP平分NBEF,FP平分NDFE,

所以∕PEF=2∕BEF,∕PFE=4∕DFE.

22

所以NPEF+NPFE=3NBEF+NDFE)=90°∙

2

又因为NPEF+ZPFE+ZP=180o,

所以NP=90°.

所以APEF是直角三角形.

16.解⑴有.

理由:因为CD_LAB,所以NB+NBCD=9(Γ.

因为NACB=90°,所以ZB+ZA=90o.

所以NBCD=NA.

(2)有.

理由:因为ED_LAB,所以NB+NBED=90°.

因为NACB=90°,所以ZB+ZA=90o.

所以NBED=NA.

⑶有.

理由:因为ED_LAB,所以NB+NE=9CΓ∙

因为NACB=90°,所以NB+NA=90°.

所以NE=NA.

4.1.2三角形的三边关系

基础训练

1.一个等腰三角形的两边长分别为4,8,则它的周长为（）

A.12B.16

C.20D.16或20

2.AABC的三边长a,b,C满足关系式（a-b）（b-c）（c-a）=0,则这个三角

形一定是（）

A.等腰三角形B.等边三角形

C.等腰直角三角形D.无法确定

3.已知AABC的三条边长分别为3,4,6,在AABC所在平面内画一条直

线,将AABC分割成两个三角形,使其中的一个是等腰三角形，则这样

的直线最多可画（）

A.6条B.7条C.8条D.9条

4.三角形的三边长分别为a,b,c,它们满足（a-b）2+∣b-Cl=0,则该三角

形是（）

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等边三角形D.等腰直角三角形

5.三角形按边可分为（）

A.等腰三角形、直角三角形、锐角三角形

B.直角三角形、不等边三角形

C.等腰三角形、不等边三角形

D.等腰三角形、等边三角形

6.下列说法:①等边三角形是等腰三角形;②等腰三角形也可能是直

角三角形;③三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和三边

都不相等的三角形;④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角

形和钝角三角形.其中正确的有（）

A.1个B.2个C3个D4个

7.若一个三角形的两边长分别为3和7,则第三边长可能是（）

A.6B.3C.2D.11

8.下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（）

A.2cm,3cm,5cmB.7cm,4cm,2cm

C.3cm,4cm,8cmD.3cm,3cm,4cm

9.下列长度的三条线段能组成三角形的是（）

A.5,6,10

B.5,6,11

C.3,4,8

D.4a,4a,8a（a>0）

10.长为9,6,5,4的四根木条,选其中三根组成三角形,选法有（）

A.1种B.2种C.3种D.4种

11.已知三角形的三边长分别为4,5,X,则X不可能是（）

A.3B.5C.7D.9

12.已知三角形的三边长为连续整数,且周长为12cm,则它的最短边

长为（）

A.2cmB.3cm

C.4cmD.5cm

13.在等腰三角形ABC中，AB=AC,其周长为20cm,则AB边的取值范围

是（）

A.1cm<AB<4cm

B.5cm<AB<10cm

C.4cm<AB<8cm

D.4cm<AB<10cm

14,一个等腰三角形的两边长分别是3和7,则它的周长为（）

A.17B.15

C.13D.13或17

提升训练

15.已知aABC的两边长分别为3和7,第三边的长是关于X的方程H

2

=x+l的解,求a的取值范围.

16.把一条长为18米的细绳围成一个三角形,其中两边长分别为X米

和4米.

⑴求X的取值范围；

⑵若围成的三角形是等腰三角形,求X的值.

17.如图，已知P是AABC内部的一点.

(1)度量AB,AC,PB,PC的长,根据度量结果比较AB+AC与PB+PC的大

小.

⑵改变点P的位置,上述结论还成立吗?请说明理由.

18.在平面内，分别用3根、5根、6根……火柴棒首尾依次相接,能搭

成什么形状的三角形呢?通过尝试,列表如下.

火柴棒数356

Γ△

1∆1

示意图・・・

1

12

形状等边三角形等腰三角形等边三角形・・・

问：(1)4根火柴棒能搭成三角形吗？

(2)8根、12根火柴棒分别能搭成几种不同形状的三角形?并画出它们

的小意图.

参考答案

L【答案】C

解：①当4为腰长时,4+4=8,故此种情况不存在;

②当8为腰长时,8-4<8<8+4,符合题意.

故此三角形的周长=8+8+4=20.

故选C.

2.【答案】A

3.【答案】B

解:如图，

当BCl=AC1,AC=CC2,AB=BC3,AC4=CC4,AB=AC5,AB=AC6,BC7=CC7时渚R能得

到符合题意的等腰三角形.

4.【答案】C5.【答案】C6.【答案】C

7.【答案】A8.【答案】D9.【答案】A10•【答案】C

IL【答案】D

解：5-4<x<5+4,即l<x<9,所以X不可能是9.

12.【答案】B13•【答案】B

14.错解:D

诊断:此题出错的原因在于只注意分类讨论而忽视三角形三边关系,当

腰长为3时,则三角形三边长分别为3,3,7,3+3<7,不符合三边关系,不能

组成三角形;当3为底边长时,此时三角形三边长分别为3,7,7,能组成

三角形.故此三角形的周长为17.

正解:A

15.解:解关于X的方程==x+l,得x=a-2.

2

由题意得7-3<x<7+3,

即4<x<10.

所以4<a-2<10.解得6<a<12.

所以a的取值范围是6<a<12∙

16.解:⑴依题意可得18-4-x-4<x<18-4-x+4,

解得5<x<9.

(2)当X为底边长时,则有4+4+x=18,

解得X=IO(不合题意,舍去)；

当X为腰长时,则有x+x+4=18,

解得×=7∙

此时三角形的三边长为4,7,7,符合题意.

17.解:⑴度量结果略.

AB+AC>PB+PC.

⑵成立.

理由:如图涎长BP交AC于点D.

b

B

在AABD中,AB+AD>BP+PD,①

在APDC中,PD+DC>PC.②

①+②,得AB+AD+PD+DC>BP+PD+PC,

即AB+AC>PB+PC.

18.解:(1)4根火柴棒不能搭成三角形.

(2)8根火柴棒能搭成一种三角形,示意图为2

12根火柴棒能搭成三种不同的三角形:(4,4,4),(5,5,2),(3,4,5),示意图如

1.三角形两边•的长分别是4和10,则此三角形第三边的长可”能是()

A.5B.6C.11D.16

2、如图，用四个螺丝将四条不可,弯曲的木条围成一个木框(形状不限)，不计螺丝大

小，其中相邻两螺丝的距离依次为3、4、5、7,且相邻两木条的夹角均可调整.若调整木

条的夹角时不破坏此木框，则任意两个螺丝间的距离的最大值为()

3.如图，已知AABC.

(1)若AB=4,AC=5,则BC边的取值范围是

(2)点D为BC延长线上一点，过点D作DE〃AC,咬BA的延长线于点E,若NE=55。,

ZACD=-125o,求NB的度数.

参考答案

1.C「

2.D；1

3.(1)1<BC<9;"

(2)VZA<D=125o,

.∖ZACB=180o-ZACD=55o,

VDE/7AC,•一

.∖ZBDE=ZACB=55o.

VZE=55o,

，ZB=180o-ZE-ZBDE=180o-55°-55o=70o.

4.1.3三角形

课后作业

1.如图,在AABC中，已知点E、F分别是AD、CE边上的中点,且SABEF=4cr∏2,则SAABC

的值为.（）

A.Icm2B.2cm2C.8cm2D.,16一Cm2

2.三角形中NB的平分线和外角的平分线的夹,角是.（）.

A.60oB.90°.C.45°D.135°...

3.如图，在.AABC中，BD=CD,Z,ABE=ZCBE,BE交AD于点F.

(1),是AABC的角平分线;

(2),是ABCE的中线;

(3)⅛∆ABD的角平分线.

BDC

参考答案

1.D

2..B

3.(1)BE,(2)DE,(3)BF.

1.如图所示，在AA8C中，AD平分N8AC,.且与8C相交于点。，/8=40°,

NBAD=30°,则NC的度数是（）

A.70°B.80°C.100°D.110°

2.在aABC中,AC=5cm,AQ是AABC的中线，若AABD的周长比aAOC的周长大2cm,

则BA=.

3.如图，在AABC中，E是Be上的一点，EC=IBE,点。是Ae的中点，设aABC,△

AQF和ABEF的面积分别为SΔABC>SAADF和SABEF,且SAABC=12,则SAAOF-SABEF=.

4.任意画一个锐角三角形、一个直角三角形、一个钝角三角形，然后画出经过

每个三角形中最大角的顶点的角平分线、中线.观察这三个图形，说出所画的角

平分线、中线在三角形的内部还是外部.

5.如图所示，已知NXoy=90°,点八，8分别在射线OX,Oy上移动.BE是N

ABY的平分线，8E的反向延长线与NoAB的平分线相交于点C,则/AC8的,大小

是否变化?如果保持不变，请说明原因；如果随点48的移动而发生变化，求出

变化范围.

6.如图，已知AO是AABC的角平分线，ZCEB=90o,ZBAC=60o,NBCE=40°,求

NADB的度数.

7.在AABC中，ZA=∣ZB=∣ZΛCB,∕CQB=90°,CE是/ACB的角平分线，求NDCE

的度数.

C

AEDβ

参考答案

1.B2.7cm3.2

4.两者都在三角形的内部.

5.解：作NAB。的平分线交AC于点。，则N8OA=180°-(NDA8+NT>8A)=180°

-ɪ{AOAB+ZOBA)=135°,由8。，8E分别是NOBA和NYBA的平分线，可知

BD±CB,所以NACB=NBD4NDBC=135°-90°=45°.可见NACB的大小始

终为45°.

6.解：：A。是AABC的角平分线，ZBAC=60°,：.ZDAC^ZBAD=30°.VZCfβ=90",

ZSCE=40°,ΛZβ=50o,：.ZADB=180a-28—/8AD=I80°—30°-50°=100°.

11

7.解：VZA=^ZB=~ZACB,i^ZA=×,：.ZB=2×,NACB=3x.：/4+NB+/ACB=I80°,

Λx+2x+3x=180°,解得x=30°,ΛZΛ=30o,NACB=90°.VZCDβ=90o,ΛZADC

1

=90°,ΛZACD=SOQ-30°=60°.TCE是NACB的角平分线，；.∕ACE=]X90°=45°,

：.ZDCE=ZACD-ZACE=GOQ-45°=15°

1.如图，AD_LBC于点.D,GC_LBC于点C,CFJ_AB于点F,下列关于高的说法中错误

的是（）

A.aABC中，AD是BC边上的高

B..ZXGBC中，CF是BG边上的高

c.AABC中，GC是Be边上的高……

D.ZXGBC中，GC是BC边上的高

2..如图，CD±AB,垂足为D,AC±B.C,垂足为C；图中线段的长能表示点到直线（或

线段）距离的线段有（)

ADB

A.1条B.3条C.5条D.7条

3.如图，已知AABC中，AD是BC边上的高，点E在线段BD上，且AE平分NBAC,若

NB=40°,ZC=7,8o,贝∣J/EAD=°.

4.如图，AD,CE是AABC的两条高，已知AD=I0,CE=9,AB=12.

(1)⅛<∆ABC的面积;

⑵求BC的长.

参考答案

1.B

2.C

3.19

4.(I)SAABC=TAB∙CE=；x12x9=54.

⑵因为SAABC=AAB∙CE=}BC∙∙AD,所以权IOBC=54,即BC=,.

《认识三角形》练习

一、选择一一基础知识运用

1.三角形的下列四种线段中一定能将三角形分成面积相等的两部分的是（）

A.角平分线B.中位线C.高D.中线

2.下列说法错误的是（）

A.三角形的角平分线能把三角形分成面积相等的两部分

B.三角形的三条中线，角平分线都相交于一点

C.直角三角形三条高交于三角形的一个顶点

D.钝角三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部

3.角形的角平分线、中线和高（）

A.都是射线B.都是直线

C.都是线段D.都在三角形内

4.如图，ADlBCTD,BE，AC于E,CFJ_AB于F,GAJLAC于A,则aABC中，Ae边

上的高为（）

5.锐角三角形ABC的3条高线相交于点H,其中三角形的个数共有（）

A.12个B.15个C.16个D.18个

二、解答一一知识提高运用

6.如图，在AABC中，∕ACB=60°,NBAC=75°,AD_LBC于D,BE_LAC于E,AD与

BE交于H,则NeHD=O

7.如图，BD、CE是aABC的高，BD和CE相交于点0。

（1）图中有哪几个直角三角形？

（2）图中有与N2相等的角吗？请说明理由。

（3）若N4=55°,ZACB=65o,求/3,N5的度数。

8.如图，ZXABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点。，∕CAB=50°,

ZC=60o,求/DAE和NBe)A的度数。

9.如图在aABC中,且EF_LAB,Zl=

/2,试判断DG与BC的位置关系？并说明理由。

10.如图，己知AABC的高AD,角平分线AE,ZB=26O,NACD=56°,求NAED的度

数。

BED

11.如图，AABC中，ZABC=40o,ZC=60o,AD_LBC于D,AE是NBAC的平分线。

（1）求NDAE的度数；

（2）指出AD是哪几个三角形的高。

参考答案

一、选择一一基础知识运用

L【答案】D

【解析】（1）

三角形的角平分线把三角形分成两部分，这两部分的面积比分情况而定;

(2)

三角形的中位线把三角形分成两部分，这两部分的面积经计算得:

三角形面积为梯形面积的;

(3)

三角形的高把三角形分成两部分，这两部分的面积比分情况而定;

(4)

三角形的中线AD把三角形分成两部分,Z∖ABD的面积为∙BD∙AE,ZXACD面积为∙CD∙AE;

因为AD为中线，所以D为BC中点，所以BD=CD,

所以aABD的面积等于AACD的面积。

.∙•三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分。

故选Do

2.【答案】A

【解析】A、三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，错误；

B、三角形的三条中线，角平分线都相交于一点，正确；

C、直角三角形三条高交于直角顶点，正确；

D、钝角三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部，正确。

故选

Ao

3.【答案】C

【解析】三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段。

故选：Co

4.【答案】C

【解析】VAC边上的高是指过AC所对顶点B向AC所在直线所作的垂线

二在ADj-BC于D,BE_LAC于E,CF_LAB于F,GAJ_AC于A中，

只有BE符合上述条件。

故选Co

5.【答案】C

【解析】图中有6个直角，每一个直角对应两个直角三角形，

共有12个直角三角形：Z\AEB、∆AEC,∆HEB^ΔHECΛZXBFC、∆BFA,∆HFC^∆HFA^

∆CGA,∆CGB^∆HGA,∆HGB;

三个钝角三角形：4BHA∖∆CHA,∆CHB;

原来的一个锐角三角形：AABC;

共有16个三角形。

故选Co

二、解答一一知识提高运用

6.【答案】在AABC中，三边的高交于一点，所以CFLAB,

VZBAC=75°,HCF±AB,ΛZACF=150,

VZACB=60o,ΛZBCF=45o

在ACDH中，三内角之和为180°,

ΛZCHD=45o,

故答案为∕CHD=45°0

7.【答案】(1)直角三角形有：ABOE'∆BCE>∆ACE,∆BCDs∆COD,∆ABD;

(2)与N2相等的角是NL

理由如下：VBD>CE是AABC的高，

.∙.Zl+ZA=90o,Z2+ZA=9O°,

ΛZ1=Z2,

.∙.与/2相等的角是/1；

(3)VZACB=65°,BD是高,

.♦./3=90°-NACB=90°-65°=25°,

在ABOC中，ZBOC=180o-Z3-Z4=180o-250-55°=100°,

ΛZ5=ZBOC=100oO

8.【答案】VZA=50o,ZC=60o

ΛZABC=180o-50°-60°=70°,

又YAD是高，

ΛZADC=90o,

ΛZDAC=ISOo-90°-ZC=30o,

VAE.BF是角平分线，

∕CBF=NABF=35°,∕EAF=25°,

/.ZDAE=ZDAC-ZEAF=S0,

NAFB=NC+NCBF=60°+35°=95°,

ΛZBOA=ZEAF+ZAFB=25o+95°=120°,

.∙.NDAC=30°,NBoA=I20°。

故∕DAE=5°,ZBOA=120o。

9.【答案】DG与BC的位置关系为平行，理由如下：

VCD⅛∆ABC的高，

ΛCDlAB,

XVEFlAB,

ΛCD∕7EF,

二∕DCB=N2,

又Nl=N2,

ΛZDCB=Zl,

ΛDG/7BC,

DG与BC的位置关系为平行。

10.【答案】VZB=26o,ZACD=56o

ΛZBAC=30°

TAE平分/BAC

ΛZBAE=150

ΛZAED=ZB+ZBAE=41o.

11.【答案】(I)：AD_LBC于D,

.∙.NADB=∕ADC=90°,

VZABC=40o,ZC=60o,

二NBAD=50°,ZCAD=30o,

ΛZBAC=500+30°=80°,

VAE是NBAC的平分线，

ΛZBAE=40o,

ΛZDAE=50o-40°=10°。

(2)AD⅛∆ABE>∆ABD.∆ABC^∆AED>∆AEC^z^ADC的高。

4.2图形的全等

课后作业

1.对于图形的全等，下列叙述不正确的是（）

A.一个图形经过旋转后得到的图形，与原来的图形•全等

B.一个图形经过中心对称后得到的图形，与原来的图形全等

C.一个图形放大后得到的图形，与原来的图形全等

D.一个•图形经过轴对称后得到的图形，与原来的图形全等

2.观察如下图所示的各个图形，其中全等图形正确的是（）.

A.②丝④B.⑤0⑧C.①/⑥D.③且⑦

3.如图，MBCgAAED,ZC=4Oo,NEJC=30°,/8=30°,则NEJO=()；

A.3OoB.700-C.4OoD.HO0

4.公路BC所在的直线恰为ND的垂直平分线，则下列说法中：①小明从家到书店与小

颖从•家到书店一样远；②小明从家到书店与从家到学校一样远；③小颖从家到书店与从家

到学校一样远；④小明从家到学校与小颖从家到学校一样远正确的是O

A.①③B.②③C.②④D.@@

5.如图，/O是三角形48C的对称轴，点E、尸是/。上的两点，若BD=2,AD=3,则

图中阴影部分的面积是______.

小C

6.如图，ZUBC四ΔDEF,ZA=-25°,/8=65°,BF=∙3cm,求/OFE的度数和EC的长.

,X<F

参考答案

1.C

2.C

3.D

4.B

解析：Y公路BC所在的直线恰为AD的垂直平分线，

ΛΔABC^ΔDBC,

ΛCA=CB,BA=BD,

故可判断出②小明从家到书店与从家到学校一样远;③小颖从家到书店与从家到学校一

样磔；

而无法判断出①小明从家到书店与小颖从家到书店一样远;④小明从家到学校与小颖从

家到学校一样远，

故选B.

5.3

解析:：轴对称的两个图形全等，

.∙.阴影部分的面积是整个三角形面积的一半，

即阴影部分的面积等,于ΔABD的面积，

而AAB-D的面积"=0.5χ2χ3=3,

故答案为：3.

6.ZZ>FE=65o;EC=3cm.

解析:根据已知条件，AABCgZWEF,可知∕E=NB=65°,BF=BC,可证EC=BF=3cm,

做题时要正确找出对应边，对应角.

∆ABC中∙NA=25°,ZB=650,

.∙.ZBCA=180o-ZA-ZB=180o-25o-65o=90o,

∙/ΔABC^ΔDEF,

ΛZBCA=ZDFE,BC=EF,

ΛEC=BF=3cm,

.,.ZDFE=90o,EC=3cm.

《图形的全等》练习

一、选择一一基础知识运用

1.下列说法正确的是（）

A.全等三角形的三条边相等，三个角也相等

B.判定两个三角形全等的条件中至少有一个是等边

C.面积相等的两个图形是全等形

D.全等三角形的面积和周长都相等

2.如图，已知AABC丝ACDE,其中AB=CD,那么下列结论中，不正确的是（）

A.AC=CEB.ZBAC=ZECDC.ZACB=ZECDD.ZB=ZD

3.已知图中的两个三角形全等，则Na的度数是（）

4.下列命题①两个图形全等，它们的形状相同；②两个图形全等，它们的大小相同;

③面积相等的两个图形全等；④周长相等的两个图形全等.其中正确的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.已知：如图AABC乌ADCB,其中点A与点D,点B与点C分别是对应顶点，如果

AB=2,AC=3,CB=4,那么DC的长为（）

6.下列四个图形中，全等的图形是（)

OOO

①②

A.①和②B.①和③C.②和③D.③和④

二、解答一一知识提高运用

7.如图，方格纸中是4个相同的正方形，婉婷同学在这张方格纸上画了/1、/2、Z3

(2)

（1）在图（1）中，两个足球的形状相同吗？它们的大小呢？

（2）在图（2）中，两个正方形物体的形状相同吗？

10.如图所示的图案是由全等的图形拼成的，其中AD=0.5cm,BC=Icm,则AF的长度

为多少？

D

E

Il.如图，Z∖ABC四Z∖BAD,A和B,C和D分别是对应顶点，若AB=6cm,AC=4cm,BC=5cm,

则AD的长为多少。

参考答案

一、选择一一基础知识运用

L【答案】BD

【解析】全等三角形的三条对应边相等，三个对应角也相等，A不正确;

判定两个三角形全等的条件中至少有一个是等边，B正确；

面积相等的两个图形不一定是全等形，C不正确；

全等三角形的面积和周长都相等，D正确，

故选：B、Do

2.【答案】C

【解析】V∆ABC⅛∆CDE,AB=CD

ΛZACB=ZCED,AC=CE,ZBAC=ZECD,ZB=ZD

,第三个选项NACB=/ECD是错的。

故选Co

3.【答案】D

【解析】•••图中的两个三角形全等

a与a,C与C分别是对应边，那么它们的夹角就是对应角

二Zα=50o

故选D。

4.【答案】B

【解析】①两个图形全等，它们的形状相同，故正确：

②两个图形全等，它们的大小相同，故正确；

③面积相等的两个图形全等，错误；

④周长相等的两个图形全等，错误.

所以只有2个正确，

故选Bo

5.【答案】A

【解析】；AABCgZ∖DCB,点A与点D,点B与点C分别是对应顶点，

.∙.CD的对应边是AB,

.∙.DC=AB=2.

故选A,,

6.【答案】D

【解析】③和④可以完全重合，因此全等的图形是③和④。

故选：D0

二、解答一一知识提高运用

7.【答案】由题意可知aABC丝Z∖EDC,

.,.Z3=ZBAC,

XVZl+ZBAC=90o,

ΛZl+Z3=90°,

VDF=DC,

二/2=45°,

ΛZ1+Z2+Z3=135度，

故答案为：135«

8.【答案】由图知：Z^ADE与ADEC,Z∖EHK与aCJF,∆ADC⅛∆ABC,四边形AGKE

与四边形CFKE,四边形AGKD与四边形CFKD是重合的，即是全等的图形。

9.【答案】（1）这两个足球的形状相同，大小不等。

（2）这两个正方形物体的形状相同。

10.【答案】由题可知，图中有8个全等的梯形，所以AF=4AD+4BC=4X0.5+4Xl=6cm.

11.【答案】VΔABC^ΔBAD,A和B,C和D分别是对应顶点

ΛAD=BC=Scmo

1.如图，下列三角形中，与AABC全等的是（）

2.如图,已知AC=FE,BC=DE,点A,D,B,F在一条直线上,要利用“S如”

证明AABCZZkFDE,还可以添加的一个条件是（）

C.BF=DBD.以上都不对

3.满足下列条件的两个三角形不一定全等的是（）

A.有一边相等的两个等边三角形

B.有一腰和底边对应相等的两个等腰三角形

C.周长相等的两个三角形

D.斜边和一条直角边对应相等的两个等腰直角三角形

4.如图，在AABC和AFED中，AC=FD,BC=ED,要利用“SSS”来判定AABC

和AFED全等时,下面的4个条件中：

①AE=FB;②AB=FE;③AE=BE;④BF=BE,可利用的是（）

A.①或②B.②或③C.①或③D.①或④

5.如图，在方格纸中，以AB为一边作AABP,使之与AABC全等，从

P∣,P2,P3,Pl四个点中找出符合条件的点P,则点P有（）

AI个B2个C3个D4个

6.如图,AB=DE,AC=DF,BC=EF,贝!jZD等于()

A.30oB.50°

C.60oD.100°

7.如图，已知AE=AD,AB=AC,EC=DB,下列结论:

①NC=NB;②ND=NE;③NEAD=NBAC;④NB=NE.其中错误的是

()

A.①②B.②③C.③④D.只有④

8.工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下:如图，已知NAoB是

任意一个角，在边0A,OB上分别截取OM=ON,移动角尺,使角尺两边相

同的刻度分别与M,N重合,过角尺顶点P作射线OP,则OP是NAOB的

平分线,其理由是.

9.王师傅用4根木条钉成一个四边形木架如图所示.要使这个木架不

变形,他至少还要再钉上几根木条？()

A.0根B.1根C.2根D.3根

10.如图，建高楼常需要用塔吊来吊建筑材料,而塔吊的上部是三角形

结构,这是应用了三角形的哪个性质？

高楼塔吊

答:

11.如图，AB=AC,AD=AE,BE=CD,试说明：ΔABD^ΔACE.

BED

提升训练

12.如图,已知AB=AC,AD=AE,BD=CE,且B,D,E三点共线.试说明:Z3=

13.如图，点B,F,C,E在直线1上（F,C之间不能直接测量），点A,D在1

异侧，测得AB=DE,AC=DF,BF=EC.

⑴试说明：Z^ABC也zλDEF;

⑵指出图中所有平行的线段,并说明理由.

14.如图，已知线段AB,CD相交于点O,AD,CB的延长线交于点

⑴试说明：NA=NC;

(2)在(1)的解答过程中，需要作辅助线,它的意图是什么？

15.如图,在aABC中，AC=BC,D是AB上的一点,AE_LCD于点E,BF±CD

于点F,若CE=BF,AE=EF+BF.试判断AC与BC的位置关系,并说明理由.

参考答案

L【答案】C

2.【答案】A

解：根据已知条件AC=FE,BC=DE,可知要利用"SSS〃证明4ABCgZ^FDE,

只需要满足AB=FD即可.而当AD=FB时,可得到AB=FD,故选A.

3.【答案】C4.【答案】A5.【答案】C

6.【答案】D7.【答案】D

8.【答案】SSS

解：在AOPM和AOPN中,0M=ON,PM=PN,OP=OP,所以AOPMZA

OPN(SSS),所以NPoM=/P0N,即OP平分NAOB.

9.【答案】B10.【答案】稳定性

11.错解:因为AB=AC,AD=AE,BE=CD,

所以AABD之AACE(SSS).

诊断:对于三角形全等的判定,应严格遵守判定定理中对边和角的要求,

避免出现不加考虑而直接使用题设中的条件来判定三角形全等的情

形.

正解:因为BE=CD,

所以BE+ED=CD+DE.

所以BD=CE.

AB≈AC,

在AABD⅛∆ACE中，BD=CE,

AD=AE,

所以AABD0^ACE(SSS).

12.解:在AABD和AACE中,

(AB=AC,

AD=AE,

BD=CE,

所以AABD0ZiACE.

所以NBAD=N1,NABD=N2.

因为NBAD+NABD+NADB=180。，

Z3+ZADB=180o,

所以N3=NBAD+NABD.

所以N3=N1+N2∙

13.解:⑴因为BF=CE,

所以BF+FC=FC+CE,即BC=EF.

AB=DE,

i⅛∆ABC⅛∆DEF中,因为AC=DF.

BC=EF9

所以ZkABC之ADEF(SSS).

(2)结论:AB〃DE,AC〃DF.

理由:因为AABC之Z∖DEF,

所以NABC=NDEF,NACB=NDFE.

所以AB〃DE,AC:〃DE

14.解⑴如图,连接OE.

A

DB

E

在AEAO⅛∆EC0中，

(OA=0C(已知)，

=EC(已知)，

(OE=0E(公共边)，

所以ZkEAOgAECO(SSS).

所以NA=∕C(全等三角形的对应角相等).

⑵构造全等三角形.

解：本题运用了构造法,通过连接OE,构造40AE,AOCE,将欲说明相等

的NA,NC分别置于这两个三角形中,然后通过说明全等可得NA=NC.

15.B：AC±BC.

理由如下:因为CE=BF,AE=EF+BF,CF=CE+EF,

所以AE=CF.

(AC=CB.

在ZkACE和ZkCBF中，AE=CF1

CE=BF.

所以AACE也Z∖CBF(SSS).

所以NCAE=NBCF.

在Rt∆ACE中，

因为NCAE+NACE=90°,

所以NACE+NBCF=9(Γ∙

所以NACB=90°.所以AC±BC.

1.如图，，⑴连结AQ后，当AD=,AB=,BD=时，可用"SSS'推得△

ABD^∆DCA.

(2)连结BC后，当AB=,BC=,AC=时，可推得AABC,丝ADCB.

2.如图,在aABC中，已知AB=AC,D为BC的中点，则ZABD&CD,根据是

AD与BC的位置关系是.

3.如图,已知AD=BE,BC=EF,AC=DF.

求证：⑴BC〃EF；(2)NC=NBoD..

4.如图，点B一、C、D、E在同一直线上，已.知AB=EC,AD=FE,BC=DF,探索AB与EC

的位置关系？并说明理由.

参考答案

l.r.(I)DADCCA⑵DCCBDB

2.SSSAD±BC

3.⑴YAD=BE,

.∙.AD+DB=BE+DB,即AB=DE,

VAB=DE,AC=DF,BC=EF,.一

Λ∆ABC^∆DEF,

ΛZB=ZE,

BC〃EF

(2)VBC√EF,

/.ZDOB=ZF,.

,∙,NC=/F,

Λ.ZDOB=ZC

4.AB与EC的位置关系是：AB∕/EC.

理由：VBC=DF,

BD=CF.

在aABD和aFCE中

BD=CE

■AD=EF

AB=FC

Λ∆ABD^∆FCE(S.S.S.)

ΛZB=ZFCE,ΛAB/7FC.

1.如图,已知∕A=∕D,∕1=∕2,那么要得到AABC丝Z∖DEF,还应给出的条件可以是

)

E

A.ZE=ZBB.ED=BCC.AB=EFD.AF=CD

2.下列条件中,能判定AABC岭ADEF的是（）

A.AB=DE,BC=EF,AC=