河北省重点高中2024届高三年级上册学业水平选择性考试模拟数学试卷及答案

绝密★启用前

2024年普通高等学校招生全国统一考试

数学模拟试题

注意事项:

1.本试卷满分150分，考试时间120分许

2.冬春前，考生务必将自己的班级和姓名填写在答题纸上口

3.回各选择题叶.选出每小题答案后，用铅笔把答题纸对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案

写在答题纸上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.若集合人=(工|工一3>0}.则(CuA〉nN=

A.{0.1,2}a{1,2}Q(O,l,2,3}D.{1,2,3}

2.在递增的等比数列(%)中,若卬一。尸?必=3.则公比夕=

A.B.-rC.2D.£

3.已知函数fCr)=3，+z-6有一个零点工=1。.则x0属于下列哪个区间

4心)巳(14)C-(p2)D.(2*|)

4.如图是国家统计局发布的2022年5月至2023年5月全国煤炭进口走势图，每组数据中的增

全国煤炭进口月度走势图

A.90.2B.90.8C.91.4D.92.6

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—mw

5.如图是下列四个函数中某一个的部分图象,则该函数为

S)=i^T

工

D./(x)=

5)=备(1+1)，

6.已知离心率为哼的椭圆1+1=1Q»O)的左、右焦点分别为巳*2必工。.山)是椭圆

4<2b

上位于第一象限的一点，且COSZFIPF=一■•则xo=

20

.V31「后V3

A.—aDR."raC.^raDn.—a

44oL

7.已知对任意实数工，门函数f(z)满足fGry+l)=/(1+l)+/(y+l),则八z)

A有对称中心R有对称轴C是增函数D.是减函数

8.已知半径为R的球中有一个内接正四棱锥，底面边长为a,当正四棱锥的高为人时,正四棱锥

的体积取得最大值V,则

31

A.h—laB.h=_raC.h—aD.h=—a

乙4

二、选择题:本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

全部选对的得5分,部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知函数/(x)=lnJ.K!|

A.fG)是奇函数

R八工)是增函数

C.曲线y=/Gr)在工=e处的切线过原点

D.存在实数a,使得y=/(z)的图象与》=屋的图象关于直线y=工对称

10.先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，得到向上的点数分别为工~，设事件A="l+»=5”,

事件Az="y=/",事件4=2+2、为奇数”，则

A.P(AI)=4RP(A“T

C.A｝与A,相互独立D.A?与A3相互独立

11.已知复数z°=l—「2=工+少(工沙64,则下列结论正确的是

A.方程lz-z0|=2表示的z在复平面内对应点的轨迹是圆

B.方程Iz-z。|+1z-3I=2表示的z在复平面内对应点的轨迹是椭圆

C.方程IZ-Z0|-|Z-K|=1表示的H在复平面内对应点的轨迹是双曲线的一支

D.方程z+J(Z°+K)=|z-z0|表示的Z在复平面内对应点的轨迹是抛物线

12.已知定义:匕=17个；则下列命题正确的是

A.V66RB.若可，•则碑•碑

C.VzGR.ln(e；+1)—2D.若u.SR■则e?D*=e?

Li

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三、填空题:本题共4小题，每小题5分供20分.

13.若3cos2^—14cos8+7=0,则cos29=.

14.高三（1）班某竞赛小组有3名男生和2名女生，现选派3人分别领取数学、物理、化学竞赛资

料,则至少有一名女生的选派方法共有种.（用数字作答）

15.已知双曲线仍＞°）的左,右焦点分别为F-Fz，其右支上有一点P满足

ab

/HPF?=60°•过点曰向NBPFz的平分线引垂线交于点H,若lFzHl=g6,则双曲线

C的离心率，=.

16.在正四棱雄P-ABCD中.底面ABCD的边长为2.APAC为正三角形，点M,N分别在

PJ3.PD上，且PM=2MB.PN=2ND,过点A,M,N的截面交PC于点H.则四棱锥P-

AMHN的体积为.

四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

已知公差为d的等差数列的前”项和为S.,且满足4S“=nQ.+a“+i+l）.

（1）证明：2a.+d=2”d+h

(2)若a,=8,求

。2asa”a”+t

18.（本小题满分12分）

已知函数/（H）=6sinGur+8的部分图象如图所示.切|〈怖,且NACB=90°.

（D求3与中的值；

（2）若斜率为华的直线与曲线y=f（工）相切,求切点坐标.

4

19.（本小题满分12分）

如图,在四棱锥P-ABCD中,PAJ_平面ABCD,PA=2.底面ABCD为直角梯形,NBAD=

90°.AB=2.CD=AD=l.N是PB的中点，点M,Q分别在线段PD与AP上.且而=

kMP,AQ=/jQP.

（1）当久=1时,求平面MDN与平面DNC的夹角大小,

（2）若MQ〃平面PBC.证明苧=1+2九

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20.（本小题满分12分）

巳知H€[O,DJ（工）=6*.

（D证明:1+14/（工）〈"一；

1-x

（2）比较八21）与卜1+工r的大小.

1-X

21.（本小题满分12分）

已知抛物线C：V=2pr（P>0）上有一点P（l,m）（m>0）,F为抛物线C的焦点,

E（一§,0）,且|EP|=0PF|.

（D求抛物线C的方程；

⑵过点P向圆E：（工+/+/=尸（点P在圆外）引两条切线，交抛物线C于另外两点

A,B,求证:直线AB过定点.

22.（本小题满分12分）

某排球教练带领甲、乙两名排球主力运动员训练排球的接球与传球,首先由教练第一次传球

给甲、乙中的某位运动员，然后该运动员再传回教练.每次教练接球后按下列规律传球:若教

练上一次是传给某运动员，则这次有力的概率再传给该运动员，有仔的概率传给另一位运动

00

员.已知教练第一次传给了甲运动员，且教练第n次传球传给甲运动员的概率为八.

（1）求

（2）求团的表达式；

⑶设q“=12>”一11,证明：2（q,+i-q.）（sinq,+i—sinq,）<y.

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数学参考答案及评分细则

题号123456789101112

答案CBBDDCBCBCDACDACAC

1.C解析：•；C・A=(-8,3］"・(jA)nN=(OJ.2.3),故选C.

［命闻意图］该祓题考查集合的补集与交集运算，数学能力思维方面主要考查运算思维与抽象思维.

2.B解析:由超得0=。凶=3,43—%=。4—即=工联立可得4=得或4=一"!•(舍)，故选B.

［命题意图］该试题考查等比数列的运算,是高考常考点，数学能力思维方面主要考查运算思维、交换

思维、方程思想等.

3.B解析:由即知人工)在R上单调递增，，"4)=73-5.5<0,/(D=-2<0,/(y)=3--4.5,

又3-4."O.；./修)>0,故选B.

［命题意图］该试题考查零点存在定理和二分法，数学能力思维方面主要考查转化思想和特值思想.

4.D解析：由题得增速X%="黑等史X1OO%%92.6%,故选D.

［命题意图］该试题考查统计知识，是高考热点,数学能力思维方面主要考查数形结合和拓展思维.

5.D解析：对于A.函数八］)的定义域为(-8,-3)U(—3,-2川(-2,-l)U(-l，+8)・A不正

确;对于BJ(O)KO,B不正确;对于C,结合题中图象,八4)=:>八3)=盘>；•⑵=*C不正确.

故选D.

［命题意图］该试题考查函数的图象及其性质,是高考常考点，数学能力思维方面主要考查特值思想

与教形结合思想.

6.C解析:设|PFj=m(m>a)•则lPF/=2”-m,由-=q=匕,得2c="a,由余弦定理得3a?=

mZ+(2a—相产+日/^为-m).解得in=~a或m=］(舍)•则(入+,。)+父联立椭恻

方程解得工0=§0.故选C

W

［命题意图］该试题考查椭圆的定义与性质,是商考必考点，数学能力思维方面主要考查静态思维与

迁移思维.

7.B解析:令i=_y=l,得/(2)="2)+/(2).；./(2)=0,令1=,=-1.得/(2)=2/(0)=0.

.../(0)=0；令y=-l,得/(1-工)=/(1+1)+/(0)=八1+工)，；./(工)的图象关于立级关于工

1对称,故选R

［命题意图］读试建考查抽象函数的性质•是高考常考点,数学能力思维方面主要考交就值思维与抽

象思维.

8.C解析:设球心到底面的距离为H.则人=R+«r.a=〃・，R?—上？....▽=,（7?+£）”周一工）.则

V=y（K+x）（J?+x）（2R-2x）Cy•（文士~+：+2/-2工），当且仅当氏+工=2K即

RAR4R

工时取等号，此时八=个，〃=段，即人=。，故选C.

S\90

［命题意图］该试底考查球内接正接锥的最值问题，是高考的常考点,数学能力思维方面主要考查莫

模思维与化归思维.

9.BCD解析:根据函数性质可得A错误,B正确；对于CJ'（H）=：,在工=e处的切线斜率为§，切

线方程为1=T"（H—e）,即jr=e）,显然过原点,C正确，当a=e时.y=/（工）的图象与y—a'的

图象关于直线¥=工对称,D正确.故选BCD.

［命题意图］该试题考查函数的奇偶性、单调性，导数的几何意义以及反函数等,数学能力思维方面主

要考查运算思想和数形结合思想.

41

10.ACD解析:满足事件4的有3.4），（2,3）,（3,2）.（4,1）共四种情形.其概率p（A/=合=5,

<50•/

A正确；满足事件Az的有（1,1）,⑵4）共两种情形,其概率P（A-=LB不正确；P（As）=〈,满

lo4

足事件AA的有（1,4）,（3.2）共两种情形.「（八人）=2=2闭）P（A3）,C正确；满足事件

lo

A2A3的只有（1.1）一种情形,P（A*3）="=P（A?）P（AS）.D正确.故选ACD.

OD

［命题意图］该试题考查古典慨型以及事件的相互独立性，是高考常考点之一，数学能力思维方面主

要考查分类思维和运算思维.

11.AC解析：由复数模的几何意义知A正确；由椭圆的定义知2a>|居吊|,但2=|2。一八|,故B不

正确；同理由双曲线的定义知C正确;对于D.由复数的几何意义知z在复平面内对应点到两定点的

距离相等,轨迹是直线，故D不正确,故选AC.

［命题意图］该试题考查复数模的几何意义、共筑复数等,是高考必考点，数学能力思维方面主要考

查跳跃思维与认知思维.

12.AC解析：对于A,显然正确；对于B・令』=一】,4=2,则e?・e：:=e?,《产、=e.借误；同理D也

错误;对于C,当zVO时Jn（e：+D=ln2一5>卜2.成立，当工20时，卜（亡+1）-'=

ln（e*+l）—Ine2=ln（e*+e、））ln2,正确，故选AC.

［命题意图］该试题考查新情境、新定义下的教学知识的应用.是高考热点题目，教学能力思维方面

主要考查创新思维和探索思维.

7-*.1

13.解析：由已知得6cos:^—3—Heos6+7=0,解得cos。n]或cos。=2（舍）.故cos26=200/6

［命是意图］该试题考查倍角公式以及一元二次方程，是高考常考点，数学能力思维方面主要考查方

程思想和运算思想.

14.54解析：由题得选派方法共有（CC+CG）A；=54种.

［命题意图］谟试题考查排列蛆合知识,数学能力思维方面主要考杳分类思想和抽象思维.

15.挛解析：延长F?H交曰P于点Q,则|FQI=6,丁ZF.PF,=60*,/.IPF/=IPQI=6,则

lF|Q|=2a，NFqFz=12O°,在△FiQFz中.由余弦定理得4c*=4/+6+勿6即2a=弘.则e=

J1+G），季

［命题意图］该试题考查双曲战的定义与性质、余弦定理，数学能力思维方面主要考查方程思想和拓

展思维.

476

16.-7-解析：如图,连接BD,交AC于点O,平面AMN交PC于点H,交PO于点GJ；PM=2MB.

PN=2ND,.•.PG=2GO,即点G是APB。的重心.也是APAC的重心，二H是PC的中点,

；.PCLAH，•:PCLBD,:.PCJLMN，又AHflMN=G,二匹_1_平面AMHN,故旷片…=；•

14而

PH♦行・AH・MN=*.

49

［命通意图］该武题考查截面问题、线面垂直、求几何体体积以及三角形重心的性质等，数学能力思

维方面主要考查空间想象以及逻辑推理.

17.解：（1）当n=l时.4Si=ai+az+l，即2ai=d+1，..............................................................<2分）

.•.%=5+（"—Dd=；（d+D+（“-1）4，即2a.+d=2”d+l.........................................（4分）

（2）仁0,-8"・16+6=&/+1,解得（/=3..*.a.=3n—1,.......................................................（6分）

.I________1________1/_J______]_}.................................................................（8分）

,,^77-（3n-l）（3n4-2）313n—13“+2〃

.・.JJ…+-1-

a\ai。0

」（上」+工」+...+，;一占）

3\25十58十3n—13“+2，

3\23”+2

n

（10分）

2（3n+2）・

［命题意图］试试题考查数列的性质、等在数列的定义与性质、裂项求和等，数学能力忌雄方百生-

考查克换思维和跳跃思维.

1&解：（1）如四•过点C向1r轴引奄残文十点D,

由正弦曲蝶的性唐知AD=3DB,

由射影定理如CD'=AD•DB,而CD=G"・3=3DB・DB,

.\DB=1...................................................................................（3分）

（4分）

（6分）

（8分）

令y/（j）=^-^..*.cos停工一：）=孝，则金工一：=2"±（（Aez）,

.*.x=u或工=4戈+1（AWZ）,

；.其切点坐标为（43—4）或（缺+l.亨卜AEZ）...............................................................（12分）

［命题意图］该试题考查三角函数的图象与性质、射影定理、导数的几何意义等,数学能力思维方面

主要考查探索思维和拓展思维.

19.解：（1）珑立如图所示的空间直角坐标系，则D（l,0,0）,C（l,l,0）,B（0,2,0）,P（0.0,2）.

当a=1时,

则丽=(一/.1,0｝而=.................................分)

设平面MDN的法向量为m=(工,斗N).平面DNC的法向量为n=(a,b,c),

•'"一"j■工+，=0且-H+y+z=O.—a+c=O且-a+6+c=0,令y=l,a=l，

»Jffl=(2,l.l).n=(l,0,l),...................................................................................................分)

・/\373

••cos<m.!!>=——z:=—

762f

平面MDN与平面DNC的夹角大小为30°................................................................................

(2)证明：设M(H'.y',z'),由DM=AAfP,得(1'-l.y'.5)=乂一jr',一y'.2-J),

...M(击.0,3)，

同理由标=n5,得Q(0,0,徉^)，,乂(？=(一不%,0.徉^—^^)..................(9分)

丽二(0,2,-2),病=(1.-1,0)，设平面PBC的法向量为p=(x,,yl,z1),

.,.2yi_2zt=0且][_yi=0,令工i=l•则p=(l,l・l),....................................................(11分)

Ap•-一名=0,即〃=1+2A......................................................(12分)

1十人1十〃I十八

［命题意图］该试题考查空间向黄中的求夹角、线面平行等问题，是高考常考点，数学能力思维方面

主要考查创新思维和数形结合思想.

20.解：（1）证明：宴证工+l&/（jr）&E，即证工+】&/4七，

..................................................................................................................................................（1分）

由〃（工）＞0.得工＞0,由〃Gr）V0,得工V0,.......................................................................（2分）

.•/（工）在工=0处取得最小值，即AGr）2A（0）=0"・e*》H+l..........................................（4分）

当工610,1）时，二7'＞工+1,用一工代替工，得©-'》1一工＞0,

・•・/《「一.结论成立.

1-X

不等式工+14/G）&±成立.....................................................（6分）

（2）Yf（2x）=e"，由题印证e'（l-H）与院-（1+工）的大小.

^g（x）=e＜（l-x）-e-,（l+x）,.，.g/（x）=x（e-,-e,）,....................................................（9分）

当［W0./）时途-'一/40.二8（工）单调递减，

•.•8（0）=0,・\以工）40,即小（1一工）《厂'（1+工）.即有/＜岩.得证................（12分）

［命题意图］该试题考查利用导致证明不等式，是高考必考点•数学能力思维方面主要考查构造思想

和等价变换.

21.解：⑴由已知得一=2”,且（1+名）+/=2（1+专）«...............................（2分）

解得。=2".抛物或C的方程为y'=4..............................................................................（4分）

（2）由（1）如Ei（ar+】过点P的切现方程为\一2=晨工-1）,

_12-2^1

谩两热切线的斜•率分别为的决？