云南省下关重点中学2023-2024学年高一年级上册段考二数学试题（含答案）

下关重点中学2023~2024学年高一年级上学期段考（二）

数学试卷

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第2页，第n卷第3

页至第4页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.

第I卷（选择题，共60分）

注意事项：

1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写

清楚.

2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项符合题目要求）

1.若集合4={知<%<2},3={%|V—4x+320},则A&5）=（）

A.{x|x<l}B.{x[l<x<3}C.{x|x>3}D.{x|l<x<2}

2.设a=log12,Zj=logj

32

A.a<b<cB.b<c<aC.a<c<bD.b<a<c

3.已知函数/(x+1)的定义域是[—2,3],则函数/(2x—1)的定义域为()

A.[-1,4]B.[-7,3]C.[-3,7]D.0,1

4.设函数/(x)=log2X+2*-3,则函数/(x)的零点所在的区间为()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

2%+1

5.函数y=sinx------的部分图象大致为()

2-1

1

6.素数也叫质数，部分素数可写成“2"-1”的形式（"是素数），法国数学家马丁・梅森就是研究素数的数学

家中成就很高的一位，因此后人将"2"-1”形式（w是素数）的素数称为梅森素数.2018年底发现的第51

个梅森素数是々51）=2389933—1,它是目前最大的梅森素数.已知第8个梅森素数为P=231-1,第9个梅森素

数为Q=261-1,则*约等于（参考：在2P很大的条件下冷雪_；1g2ao.3）（

)

A.7B.8C.9D.10

7.函数y=logo5k2—%—2|的单调递增区间为()

A.(―co,—1)B.(2,+oo)C.("oo,—1)和[5,2]D.和(2,+00)

8.已知函数/'(%)='—+aIn(J巨行+力+l(awR),则/(2023)+/(—2023)=(

2X+1\)

A.-2a+2023B.2a+2C.4D.2

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是

符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9.已知集合4={1,2,3},3={々+。|。8©4},则()

A.集合A有8个子集B.集合B中有6个元素

C.AB={1,2,3,4,5,6}D.AoB

10.已知不等式依2+bx+c<0的解集为{xlx«—3或无24},贝U（）

A.c<0

B.a-b+c>0

C.不等式皿二£>o的解集为{xji<x<2}

x—2

D.不等式bx1+2ax-c-3b<Q的解集为{引—3<x<5}

11.下列结论中，正确的结论有（）

9

A.如果0<%<1,那么x（4-3x）取得最大值时x的值为-

B.如果x>0,y>0,x+3丁+个=9,那么x+3y的最小值为6

了2+5

C.函数/（%）=义工的最小值为2

+4

D.如果a>0力>0,且」一+—匚=1,那么。+2/?的最小值为6+工

2a+bb+12

12.若函数/(x)=log2(4'+l)—2x4ij(

2

A./(x)>0B.f(x)^f(-x)-2x

C./(x)在[0,+co)上是增函数D./(x)+x为偶函数

第n卷(非选择题，共加分)

注意事项：

第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

,、-esina-4cosa

13.已知tan(乃+o)=—2,贝U------------=.

sina+cosa

14.已知函数/。)=4=2工+2_1,行[0,2],则其值域为.

15.已知关于x的方程2sin12x-7卜m=0在xe0,|上有两个不同的实数解，则实数

的取值范围为

16.已知函数/(x+1)为R上的偶函数，且对VX],X,e[1,+■)的％W%都有‘)

<0恒成立，则

玉一龙2

使/(x-l)>/(2x+l)成立的X的取值范围为.

四、解答题(共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)

设全集U=R,已知集合4={刀|一l+a<x<l+a},5=]x1±3〉o1.

(I)若a=3,求AB；

(H)若AB=0,求实数a的取值范围.

18.(本小题满分12分)

已知函数/(x)=a*T(a>0,且awl).

(I)若函数/(x)的图象过点(3,4),求实数。的值；

(II)若。=3当X以2,+8)时，求函数/(x)的取值范围；

(III)求关于x的不等式/(x)〉/的解集.

19.(本小题满分12分)

已知函数/(x)=log〃(x—1)+2(a>0,且awl)的图象过点(3,3).

(I)求实数。的值；

(II)解关于尤的不等式/(2、—3)</(12—29).

3

20.(本小题满分12分)

中共中央政治局会议中明确提出支持新能源汽车加快发展.发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的

必由之路，是推动绿色发展的战略举措.2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年

需投入固定成本2500万元，每生产无(百辆)，需另投入成本/(x)(万元)，且

10x2+100x,0<x<40,

/(%)=10000由市场调研知，若每辆车售价5万元，且当年内生产的车辆能在当年

501X+-------4800,x240,

全部销售完.

(I)求出2023年的利润g(x)(万元)关于年产量无(百辆)的函数关系式；

(II)当2023年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.

21.(本小题满分12分)

已知函数/(x)=Asin[ox+q](A〉O,0〉O)的最小值为—2,最小正周期为".

(I)求实数A,。的值；

(II)当xe0,-时，求函数/(%)的值域.

22.(本小题满分12分)

设函数/(%)的定义域是(0,+oo),且对任意的正实数尤,y都有f(xy)=/(%)+/(y)恒成立，当0<%<1时，

/(x)<0.

(I)判断并证明函数/(x)在(0,+oo)上的单调性；

(II)若/(4)=4，求不等式/(x)+l>|/(2x+3)的解集.

数学参考答案

第I卷(选择题，共60分)

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给出的四个选项中，只

有一项符合题目要求)

题号12345678

答案BCDBBCCC

【解析】

4

1.B=|x|x2-4x+3>0|={x|%<1或尤23},则A瓜5)={疝<x<3},故选B.

2.由题得Q=logi2<logil=0,b=logi』〉k)gi工=1,0<0=[工]<[]=1，所以故选C.

335352\2J

3.因为函数/(x+1)的定义域为[—2,3],所以—lVx+144,所以函数/(x)的定义域为[-1,4],所以

-l<2x-l<4,解得所以函数/(2x—1)的定义域为0,1,故选D.

4.根据题意可得了⑴=0+2—3=-1<0,/(2)=1+4—3=2>0,因此函数在区间(1,2)上有零点，易知

/(x)=log2X+2*-3在定义域上是增函数，所以函数/(x)=log2X+2，-3有且仅有一个零点，零点所在的

区间是(1,2),故选B.

2*+1

5.定义域为{RXHO},设/(x)=sinx-,则

2X-1

2一工+11+2”2X+1

/(-%)=sin(-x)-------=-sinx------=sinx------=/(%),故函数为偶函数，图象关于y轴对称，故

2r-11—2”2-1

舍去A,C；当时，sinx〉0,2*+1〉0,2*—1〉0,故y〉0,故B正确，故选B.

6.因为P=23-l,Q=26i—1,P,Q两数远远大于1,所以借■的值约等于声，设交=左，则23°=上,即

lg23°=lgh因此有301g2=lg匕因为lg2ao.3,以1g左。9,即喘约等于9,故选C.

7.对于函数y=log0小2-令,2一%一斗>0,解得xw—1且x/2,所以函数的定义域为

z八/1”\T7N粘I2fX2-%-2,%G(-00,-1)(2,+00),

(-00,-1)(-1,2)底2,+8),又函数丁二、-x-2\=<，所以

—x+x+2,x€(—1,2),

y=,—%—2|在(2,+8),,15上单调递增，在(_*—1)(1,上单调递减，又函数y=logos》在定义

域(0,+oo)上单调递减，根据复合函数的单调性，可知y=log0.5k?-％—4的单调递增区间为(-8,-1)和

[g,2)故选C.

5

12222-2x

(2*+1)(2—工+1)2"+12^+12，+1(2-X+1).2X

2-(1+2、)

=—-----+2=4,/./(2023)+/(—2023)=4,故选C.

1+2”

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是

符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)

题号9101112

答案ACBCDABDABD

【解析】

9.集合A有3个元素，有23=8个子集，A项正确；5={2,3,4,5,6},有5个元素，B项错误；

AB={1,2,3,4,5,6},C项正确；由于IcAJeB,故4口5错误，D项错误，故选AC.

10.因为不等式依2+bx+c<0的解集为{x|x<-3或％24},则a<0,且关于x的方程依？+法+。=。的

hc

两根分别为—3,4,由根与系数的关系可得—3+4=——,—3x4=—,所以b=—a,c=—12a,对于

aa

A,c=—12a>0,A错误；对于B,—l不在不等式ax?+Z?x+cK0的解集内，令％=—1,则有a-b+c>0,B正

确；对于C,四二£>0=取土四>0=五1<0,该不等式的解集为{x|一1<X<2},C正确；对于D,

%—2x—2%—2

不等式+2依一。一3/?«0,即为一改?+2妆+15。<0,化简可得f-2%—15<0,解得一3«%<5,因

此，不等式Zzx?+2依一。一36«0的解集为{尤|一3«%<5},D正确，故选BCD.

11.对于A,：x(4—3x)=4x—3x?=—3(x—g]+g,且0<x<l,.,.当x=g时，—3(x—g1有最

429-3v

大值一，即x(4—3x)取得最大值时x的值为一，A正确；对于B,x+3y+xy=9,:.x=——且

331+y

x>0,y>0,则0<y<3,；.x+3y=~—+3j+3(1+y)-6>21-^--3(1+y)-6=6,当且仅当

1+y1+y'\l+y

12

——=3(l+y),即y=l,x=3时，等号成立，即x+3y的最小值是6,B正确；对于

1+7

(J/+4)+1-----1-----

C,F(x)=\.——L=V%2+4+.——,令/=，f+4,则，22,由对勾函数性质知

&+4&+4&+4

6

/■«)=。+1在(2,+8)上单调递增，，/(%)=^^£的最小值为』，C错误；对于D,a>03>0,且

t4+42

-^―+-^—=1,

2a+bb+1

.72a+b3b+332cl+b3b+3113133Z?+3

/.a+2b=-----+----------------+------------------1---------———i-----1----------------

222222a+bb+\222Aa+2b

2a+b3、1c及1+2百2a+b2^/3+3抬'口田维口出―

3Z?+3Bn

------------之—FZA—=----,当且仅当------，即a=-------,b=—时等号成乂，即

2b+222V424a+2b2b+263

a+2》最小值为k28,D正确，故选ABD.

2

22.因为/0)=1082(4*+1)—21=1082彳>=1。82(1+2]〉1。821=0恒成立，所以A选项正确；因为

f(-X)=log21^1+=log2(1+1),所以于(X)=/(-%)—2x,B选项正确；则/(%)+%=f(-x)—x,故

/(x)+x为偶函数，D选项正确；对于/(x)=log2(l+H因为y=4*在R上单调递增，故函数r=l+4

在R上单调递减，而y=log2。是单调增函数，所以根据复合函数的单调性可得/(x)在R上是减函数，C选

项错误，故选ABD.

第n卷(非选择题，共加分)

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

题号13141516

答案6

[-5,-1][1,2)卜x<一2或x>g}

【解析】

/、csina-4cos。tana-4-2-4/

13.tan(^-+a)=-2=tana,------------=---------=------=6.

sina+cosatana+1-2+1

14.设2工="则解析式为了⑺=/—4/一1=«-2)2—5,函数/⑺在［1,2］上单调递减，在［2,4］上

单调递增，所以函数的最小值为/(2)=-5,最大值为/(4)=-1,所以函数/(%)的值域是［-5,-1］.

(TTxTYl7T■TT兀5万

15.由题意得：sin2x——=—,因为xc0,-所以2%——=-，-,画出函数图象如下:

l6；2L2.6?6~

7

mrri1）

要想保证有两个不的实数解，则只需丁=,与函数图象有两个交点，显然,解得：me[1,2）.

16.函数/（x+1）为R上的偶函数，故/（x）关于x=l对称，且对VXi，4e[l,+co）的石W马都有

—/（々）<0恒成立,故/（X）在工长。）上单调递减，在（—8,1]上单调递增，要使/（X—1）>/（2%+1）

玉一马

221

成立，需满足|%-1一1|<|2%+1-1|,解得：xv-2或故x的取值范围为{引入<-2或

四、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分10分）

解：（I）因为〃=3,所以A={x|-1+Q<X<1+Q}={X[2<X<4},

Bjx\――>0>={x|%>4或%<1}

所以A.3={x|x>2或x<1}.（5分）

(II)A={}(\-l+a<x<l+a],

若A3=0,

—1+a之1,

所以

1+a<4,

所以2WaW3,

则实数。的取值范围为[2,3].（10分）

18.（本小题满分12分）

解：（I）由题意得a?=4,〃>0,故a=2.（2分）

8

x-l

(II)当a=g时，/(x)=(g]

，当XE[2,+8)时，x-1e[1,+oo),

由指数函数性质可得/（x）在工收）上单调递减，故/（x）efo,1

（6分）

（IID由题意可得不等式优T>/,

当。>1时，由1—1>3得了>4,原不等式的解集为（4,+8）；

当0<。<1时，由x—1<3得x<4,原不等式的解集为（—8,4）.（12分）

19.（本小题满分12分）

解：（I）由题设条件可知，/（3）=logfl（3-l）+2=3,

即log“2=1,解得a=2,

/(x)=log,(x-1)+2.（5分）

(ID/(x)=log2(X—1)+2的定义域为{x|x>l},并在其定义域内单调递增,

3)</(12-2川)=1<2,—3<12-2同，

解得2<x<log25,

•••不等式的解集为何2<x<log25}.（12分）

20.（本小题满分12分）

解：（I）由题意知利润g（九）=收入-总成本，

—10x~+400%—2500,0<x<40,

所以利润g(x)=5xxl00-2500-/(%)=<-x-竺配+23。。,钻4。，

X

故2023年的利润g（x）（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式为

-10%2+400%-2500,0<%<40,

g(x)=