江苏省南通市如皋市2023-2024学年高一年级上册12月月考数学试题（解析版）

江苏省南通市如皋市2023-2024学年高一上学期12月

月考数学试题

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分，在每小题给出的四个选项中,

只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.）

1.已知集合人={—2,e』3},fi={x||x-l|<2},则AB=（）

A-{-2,3}B.C.D.{3}

【答案】C

［解析］由题意A={—2,eTn3}=1_2,；1,

B={x（x—<2j={x|-2<x-l<2}={x|-l<x<3）,所以AcB=.

故选：c.

2.若角e终点上一点P（—3,a）,且sina=g，则a=（）

A.-4B.-3C.4D.±4

【答案】C

【解析】由题意得：点P（—3,a）在角a的终边上，且sina=g,

,a4

所以：sina=.=—,解得：〃=4,〃=T（舍），故C项正确.

V9+a25

故选：c.

3.已知a=log20.3,b=*3,c=sin2,则Q,b,c的大小关系为（）

A.a<b<cB.b<c<a

C.c<a<bD.a<c<b

【答案】D

【解析】因为。=log20.3vlog21=。，b=20,3>2°=B

兀

而一<2<兀,所以0vsin2vl,所以avcvb.

2

故选：D.

"2

4.已知函数/(%)=sin%尤e［0,兀］,则的最大值为（

l2

1

A.2B.一C.OD.显

44

【答案】B

【解析】/(x)=sinx1+cosx+—=sinx(l-sinx)=sinx-sin2x,

_I2人

令方=sinx,由x£[0,兀],故即"了)=~5

当"工时，/（%）=-,故其最大值为L

244

故选：B.

5.将〉=5由［2彳-］］图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到

y=g（x）的图象，则g（x）的一个对称中心为（）

【答案】A

【解析】＞=sin图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍得至小

g（x）=sin［x-；J,令=（左eZ）,解得x=?+bi,

所以g（x）的对称中心为g+械0）（左eZ）,

对于A：令:+也=苧，解得左=1,所以11，°］是8⑴的一个对称中心，A正确;

对于B：令：7+rEl=ig,解得左1,B错误；

488

对于C：令;+E=—解得上=—，，C错误；

442

TYTT5

对于D：令—Ffar=---,解得左=----,D错误.

41616

故选：A.

6.已知函数〃力=为2-以+4在(1,2)上有且只有一个零点，则实数。的取值范围是(

A.[8,10)B.(8,10)C.[4,5)D,(4,5)

【答案】D

【解析】①当/⑴〃2)<0时在(1,2)上有且只有一个零点，

此时(5-4)(8-2")<0,解得4<a<5；

②当/(1)=0时解得a=5,此时函数两个零点为1和4均不在区间(1,2)内，矛盾；

③当/(2)=0时解得a=4,此时函数只有一个零点为2不在区间(L2)内，矛盾，

综上可知4<a<5.

故选：D.

7.己知/(x)=2sin[0x+5](0〉O)在上单调递增，则0的取值范围是()

A.(0,4]BJ。，；CI。'1D.(0,1]

【答案】B

(2兀、71(7127171)

【解析】因为无£[0,力->69>0,所以④X++§J,

要使得了(X)在[o,g]上单调递增，则+解得

又由题意可知。>0,所以

4

故选：B.

8.己知定义在(0,+")上的函数/(%),满足/'(盯)+l=/(x)+/(y)，且/'bo,则

A.1B.10C.11D.1024

【答案】C

【解析】根据题中的条件，令x=y=l,

则/(1)+1=/(1)+/(1),所以=

令则dJ+i=/（x）+/1

又=所以/（x）=/["|]+l'

则/（2'=〃29）+1="28）+2--=/（2）+9=Al）+10=ll.

故选：C.

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分，在每小题给出的四个选项中,

至少有两个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.）

9.下列代数式的值为1的是（）

A"X9-2B.log62+log369

.25兀（4兀、J1+2sin20。sin70。

C.sin---+cos----D.---------,=

6V3Jsin20o+Vl-sin2160o

【答案】BD

/3111Q

【解析】对于选项A：V43xr2=42x—=23x—=8x—=—,故不选A；

81818181

,2

对于选项B：Iog62+log369=log62+log623=log62+-log63,

=log62+log63=log6（2x3）=log66=1,故B正确；

,3..25K/4兀、.（.兀）（,2兀）

对于选项C：sin———FcosI——I—sinI471+—I+cosI—2兀H——I,

.兀2兀1兀11c与丁3一

=sin—+cos——=——cos—=----=0,故不选C；

632322—

工…HJ1+2sin20°sin70°Vsin220°+cos220°+2sin20°cos20°

对于选项D：-------/=----------------,-------,---------,

sin20°+Vl-sin2160°sin20°+|cosl60°|

=J(sin200+cos200『sin20°+cos20°…故口正确.

sin20°+cos20°sin20°+cos20°

故选：BD.

10.下列命题正确的有()

A.存在正实数使得log2(M+N)=log2M+log2N

B.对任意的角a,都有cos(兀+c)=cosa

C.tan。=tan乃是a与尸终边在同一条直线上的充要条件

D.函数”X)为奇函数是函数/(2x)为奇函数的充要条件

【答案】AD

【解析】对于A：因为log2“+log2N=log2〃N,

所以要使得log?(M+N)=log2M+log2N,则log?(M+N)=log2MN,

'M+N=MN

所以《般〉0,当M=2,N=2时满足，

N〉0

所以存在正实数M,N使得log2(Af+N)=log2M+log2N,A正确；

对于B：由诱导公式可知cos(7i+a)=—cosa,而-cose=cosa不恒成立，B错误;

对于C：当tantz=tan，时，=tz+E,此时a与力终边在同一条直线上，

所以是充分条件，当&与万终边在同一条直线上时，

7?TT

若a=—,0=—,此时tan1与tan力不存在，

22

所以tana=tan,不成立，所以不是必要条件，所以c错误；

对于D：若了(尤)是奇函数，设了(X)定义域为区间

则/(-x)=-/(%)且M关于原点对称，

以2x替代x可得〃-2x)=_〃2x),此时定义域为{x|2xeM},关于原点对称，

所以/(2x)是奇函数，所以是充分条件，

当〃2力是奇函数时，设y(2x)定义域为N,则〃-2x)=-/(2x)且N关于原点对称,

以x替代2x可得/(f)=-/(x),此时定义域为｛2尤,6阴，关于原点对称，

所以/(X)是奇函数，所以是必要条件，D正确.

故选：AD.

11.已知实数a,b满足a>尸+1，则下列不等关系一定正确的是()

A.a>2bB.a>2Z?+1

C.a>b-lD.2a>b2-Z?+l

【答案】ACD

【解析】对于A：因Z72+1-2ZJ=(Z?-1)2>0,所以Z?2+G2"

又a>/+i，所以a>2Z?,A正确；

对于B：因为廿+1一国+1)=后一2>，当Z?e(O,2)时/一26<0，

此时〃+I<26+1，所以不能得到a>2Z?+l,

例如当。=31=1时满足口>尸+1，此时不满足a>2Z?+l,B错误；

对于C：b2+\-(b-\)=b1-b+2=[b-^+:

所以匕2+1>匕一1，

又a>/+l，所以—C正确;

力271

对于D：2a>b2+a>---------------b—,

222

b2

而*1(b1]6一2bli+|>。，所以/

而6+1-----------+—=—+-I

2222-2222

A2h1

又a>/+i，^a>---+-,即2a>~+l，D正确.

故选：ACD.

■\/l—X+'y/l+x,-1<X<1,

12.己知/(x)=则下列结论正确的是(

/(x-2),x>l,

A./(12)=2B./(x)的最大值为2

C.的增区间为［2左一1,2对(左eN)D.7•(/•(2I))=2/eN)

【答案】ABC

【解析】A选项，当了>1时，/(x)=/(x-2),即周期为2,

故/(12)=/(0)=#^+7175=2,A正确；

B选项，当-LWxWl时，

/2(%)=1-x+l+x+2。1-尤,J1+*W2+(l-X+1+*)=4,

当且仅当l+x=l—x,即x=0时，等号成立，故/(x)W2,

结合函数的周期为2,故/(X)W2在R上恒成立，故B正确;

C选项，当—1＜%＜1时，/(%)=J1-尤+Jl+x，

又/(-%)=J1+X+\jl-x=/(%),

故/(司=+Mi在-L1］上为偶函数，

当-LWxWO时，任取石,当G［T。］且王＜工2，

故/(%)一/(工2)=也-X[+J1+%-yjl-x2-sjl+x2

-工2)+(1+%)-(1+%)_尤2U|%2-%

Jl-%+J1-々Jl+%+Jl+%2J】-％+J-X2J1+9+Jl+%2

因为药＜%2，所以/(%)—/(々)=(々一再)<0,

故/(X)在［—1,0］单调递增,

结合函数的周期可知，/(%)的增区间为12左一1,2对(左eN),C正确;

D选项,当一1〈无＜1时，/(九)=J1-尤+J1+%,

当1<XV3时，—l<x—2<1,

故/（x）二/（x-2）=J1-x+2+J1+%-2=，3-x+y/x—1,

其中后，f（l）=母,而/"）=’3-&+，/屋1W2,

故/'（小。左—1））=2（左eN）错误，D错误.

故选：ABC.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.）

13.已知扇形的面积为4,半径为2,则扇形的圆心角为弧度.

【答案】2

1,

【解析】设扇形的圆心角为a,由题意得，一ax2-=4,解得a=2,

2

所以扇形的圆心角为2弧度.

故答案为：2.

14.己知幕函数〃尤）=--2，”-3（其中，加仁％）为偶函数，且“X）在（0,+功上单调递

减，则，〃的值为.

【答案】1

【解析】因为函数募函数/（X）在（0,+。）上单调递减，

所以加2—2m—3<0，解得一1〈根<3,

又meZ,所以加=0或1或2,

当机=0或2时，/（%）=婷=±定义域为国尤#0},

且〃-x)==—7=—/（x）,此时函数/（X）为奇函数，不符合题意;

Ji

当机=1时，/(%)=—=1定义域为{x\xwO},

且=—I=i=/（%），此时函数为偶函数,

符合题意;

综上所述，m-\.

故答案为：1.

15.希罗平均数（Heroniammean）是两个非负实数的一种平均，若a,b是两个非负实数,

则它们的希罗平均数8="巫记人=*，G=J法，则A,G,H从小到大的

32

关系为.（用连接）

【答案】G<H<A

【解析】由。之0,b>0,

HA="M+ba+b：（G间则我少,

326

*仃=。+瓢+忆痴咽2则〃之G,

33

故GWHWA.

故答案为：G<H<A.

16.已知sina+cosa=避°，贝Usin,a+cos,a=

,若。6（一兀,0）,贝ijtantz=

5

41

【答案】

503

【解析】由题意:sina+costz=-得：sin2tz+cos2«+2sin«cos«=-

55

.3

所以:sinacosa=-----,

10

29241

所以:si.n44a+cos4a=/{sm•2a+cos2aI-2sinacosa=l-2x

50

因为:ae(-71,0),所以：sincr<0,

J］。

又因为：sina+cosa=-----，得：cosa>0

5

所以：(sina-cosa『二sin2tz+cos2tz-2sin6zcosa=§,得：sina-cosa=

v755

3710

又因为：sina+cosa=，所以：sina=-----cosa=------

51010

TIP

~,sinain1

所以：tanct=-------=—T=-

COS6Z3A/103

10

故答案为：—

四、解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说

明、证明过程或演算步骤.）

17.某同学在研究函数〃x）=sin（（yx+。）。＞0,0＜。＜_|的图象与性质时，采用“五点

法”画简图列表如下:

71兀

X

~~6I%%3

兀3兀

a)x+(p0兀2兀

2T

/(x)010-i0

（1）根据上表中数据，求出。，。及石,马,%的值;

（2）求函数/（%）的单调递减区间.

71

解：（1）由表格数据知：“X）的最小正周期T=2x=兀，.•.啰=a=2,

6T

sinl-1+^ko,J~^+(p=kn[kGZ),解得：(p=kn+^^keZ),

DC兀兀

又0＜夕＜5，(p=—

令2呜.，解得:*靖

人/＞兀3兀,.77r

令2%—=—，斛倚：%=—

3212

7T5兀

令—=2兀,解得：X-J——

36

(2)由(1)知：/(x)=sin2x+1

冗

人兀〜兀，3兀JT7

令一+2kn<2x+—<----F2E(左eZ),解得:\-hi<x<----\-hi(kGZ),

23212------------12-------v7

JT7九

\/(X)的单调递减区间为—+far,—+fat(keZ).

18.已知函数/(x)为定义在R上的偶函数，当时，/(x)=4t-3x2x+1.

(1)求/(力的解析式；

(2)求方程〃x)=-8的解集.

解：⑴因为函数/(x)为定义在R上的偶函数，则〃力寸廿x),

当x»0时，f(x)=4x-3x2x+1,

则当x<0时，—x>0,f(-x)=4-x-3x2-x+1=f(x),

SPf(x)=4-x-3x2-x+1,

4T-3x2e\x<0

所以/(%)=<

4A-3x2x+1,%>0

(2)当x<0时，/(x)=4^-3x2-x+1=-8,

令2一工=加(加＞1),则4r=m2,

即m2—6m=—8，解得机=2或m=4,

则2r=2或2r=4，即m一1或x=—2,

当xNO时，/(x)=4r-3x2x+'=-8,

令则4工=〃2,

即-6〃=一8，解得“=2或〃=4,

则2*=2或2、=4，即x=l或x=2,

综上所述，方程〃x)=-8的解集为{—2,-1,1,2}.

19.已知函数/（%）二由一2（其中meR）,且"3）=0.

（1）判断函数/（X）在（0,+e）上的单调性，并用函数单调性的定义证明；

⑵解不等式：/（a2+l）+/（-|a|-l）＜0.

解：⑴结合题意：因为函数〃x）=x'"—2（其中加eR）,且"3）=0,

oo

所以〃3)=3"'__=0,解得：m=l,故〃x)=x—‘，

3x

“X）在（0,+8）上单调递增，证明如下:

任取七,占e（0,+co）,且石＜X2,

99

/(玉)一/(%)=再X2=(再

石IX2J

因为石,％24°，+8），且玉＜X2，所以占一％2＜0，易得：指丁+1＞0,

（9、

所以/（%）—1（%）=（%一％2）---+1＜。，即/（%）＜/（当）,

XX

\127

所以“X）在（0，+"）上单调递增.

（2）因为/（x）=x—2的定义域为{%K00},定义域关于原点对称，

9/9、Q

所以=r+—=TX；=-/（x）,所以为奇函数，

%I犬/X

因为+1）+/（一同—1）＜0,所以+1）＜_/（-问-1）=/（问+1）,

因为〃2+1＞0,同+1＞0,

结合（1）知，函数/（x）=x—2在（0,+“）上单调递增，

X-

-2

所以片+1＜向+1,整理可得：a2（a2-l）＜0,即，

11v7p-l＜0

解得：ae（-l,0）o（0,1）.

20.已知函数/(6)=(1311夕+1)852夕

1

(1)证明:cos290------------

1+tan20

⑵当0,外时，求函数/⑻的最大值.

解：(1)证明：因为tanen，1一,

cos3

1_1]

=cos20

所以1+tai?。—sir?。cos26^+sin26^

1+—丁

cos20cos20

]

故cos20-

1+tan20

(2)由/(。)=(tan8+l)cos2。=+1|cos20=sin^cos^+cos20

cos。)

=-sin26)+-cos26)+-=—sin|26)+-|+-,

2222I2

因为。€，鼻，得2。+台二爷，

jrjrTT

所以，当。=—时，即2。+—=—,

842

/⑻有最大值，部圣心＞』.怨,

故当时，函数/(e)的最大值为叵已.

21.如图，点A,B,C在函数/(X)=Asin(o>x+0),(A>0,&>>0<。<0兀)图象

(1)若«，,一2),,0j,求函数/(%)的解析式；

⑵若兀,—2),C(O,1),且其中求/的值.

解：(1)由已知函数过点A1|&—2),A>0,可知A=2,

又函数过点⑶[—1,。],则~一[―1)=3兀，即7=4兀，

2兀_2兀_1

又0>0,所以外二

T-47i-2

所以/(x)=2sin[gx+°],代入点A(|&-2

口C.68兀JT

即2sml—•—+=-2,解得"=—+2kn,keZ,

6

TT

又0<。<兀，所以。=:,

6

所以/(x)=2sin[gx+《

(2、23

(2)由函数过点AI—71,—2I,A＞0,则A=2,且-^-G+0=工~+2左]兀，k、eZ,

又函数过点C(o,l),则/(o)=2sin(®-o+^)=2sin^=l,

,71

结合图形可得°=—+2而，keZ,

6

71

又。＜夕＜兀，所以左=0,(p=—,

6

2兀TT3兀

所以一«＞+—=一+2k]兀,k[£Z,即0=2+3%,占eZ,

36