上海市闵行区2023-2024学年高三年级上册学业质量调研试题数学试卷含答案

2023学年第一学期高三年级学业质量调研

数学试卷

考生注意：

1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.

2.作答前，考生在答题纸正面填写学校'姓名'考生号，粘贴考生本人条形码.

3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在草稿纸、试

卷上作答一律不得分.

4.用2B铅笔作答选择题，用黑色笔迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.

一'填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

考生应在答题纸相应位置直接填写结果.

1.已知集合加={0,l,a+l},若—leM,则实数。=.

2.若sina=；,贝Usin（乃-a）=.

3.若xy=l（x、yeR）,贝!!/+4y2的最小值为.

4

4.已知（x-1），=a0+。］%+。2%2+。3丁+a4x,则a2=.

5.已知圆锥的底面周长为4乃，母线长为3,则该圆锥的侧面积为.

22

6.若双曲线2=1（。〉0/〉0）的离心率为后，则该双曲线的渐近线方程为.

b

71

7.若将函数y=sin（2x+0）（0<0<》）的图像向右平移彳个单位，得到的图像所对应的函

数为奇函数，则0=.

8.已知/（x）=x2—8x+10,xwR,数列{%}是公差为1的等差数列，若

/（£?1）+/（a2）+/（a3）的值最小，则.

9.今年中秋和国庆共有连续8天小长假，某单位安排甲、乙、丙三名员工值班，每天都需

要有人值班.任选两名员工各值3天班，剩下的一名员工值2天班，且每名员工值班的日期

都是连续的，则不同的安排方法数为.

10.若平面上的三个单位向量a、b、c满足b则的所有可能的值

组成的集合为.

+00+8

ii.已知数列｛%｝为无穷等比数列，若w>=-2,则的取值范围为

Z=1Z=1

12.已知点P在正方体A3CD-4片。1。的表面上，P到三个

平面ABC。、AD2A、耳4中的两个平面的距离相等，

且P到剩下一个平面的距离与P到此正方体的中心的距离相

等，则满足条件的点P的个数为.

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）

每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂

K|71

till■

13.已知a、/?eR,a>b,则下列不等式中不一定成立的是（）

（A）a+2>b+2（B）2a>2b（C）a2>b2（D）2a>2b

14.某校读书节期间，共120名同学获奖（分金、银、铜三个等级），从中随机抽取24名同

学参加交流会，若按高一、高二、高三分层随机抽样，则高一年级需抽取6人；若按获奖

等级分层随机抽样，则金奖获得者需抽取4人.下列说法正确的是（）

（A）高二和高三年级获奖同学共80人（B）获奖同学中金奖所占比例一定最低

（C）获奖同学中金奖所占比例可能最高（D）获金奖的同学可能都在高一年级

15.已知复数为、z?在复平面内对应的点分别为尸、Q,|OP|=5（O为坐标原点），且

22

Z1-z1Z2-sin^+z2=0,则对任意。eR,下列选项中为定值的是（）

（A）|OQ|（B）\PQ\（C）△OPQ的周长（D）△OPQ的面积

16.已知函数y=/（%）的导函数为y=/，（x）,xeR,且y=/（x）在R上为严格增函数，关

于下列两个命题的判断，说法正确的是（）

①“王〉々”是“/（玉+1）+/（々）>/（XJ+/（々+1）”的充要条件；

②“对任意％<0,都有/（x）</（0）”是“y=/（x）在R上为严格增函数”的充要条件.

（A）①真命题；②假命题（B）①假命题；②真命题

（C）①真命题；②真命题（D）①假命题；②假命题

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题，必须在答题纸的相应位置写

出必要的步骤.

17.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)

如图，在四棱锥P-A5CD中，底面ABCD是边长为。的正方形，侧面上4。，底面

历

ABC。,且PA=PD=设£、厂分别为PC、80的中点.

2

(1)证明:直线所〃平面PAD；

(2)求直线PB与平面A5CD所成的角的正切值.

18.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)

在△ABC中，角AB、C所对边的边长分别为a、b、c,且a-2ccos5=c.

(1)若cosB=g,c=3,求Z?的值；

(2)若5c为锐角三角形，求sinC的取值范围.

19.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)

2023年9月23日至10月8日，第19届亚运会在杭州成功举办，杭州亚运会的志愿者

被称为“小青荷”.某运动场馆内共有小青荷36名，其中男生12名，女生24名，这些小青

荷中会说日语和会说韩语的人数统计如下：

男生小青荷女生小青荷

会说日语812

会说韩语mn

其中〃?、〃均为正整数,6WmW8.

(1)从这36名小青荷中随机抽取两名作为某活动主持人，求抽取的两名小青荷中至少

有一名会说日语的概率；

(2)从这些小青荷中随机抽取一名去接待外宾，用A表示事件“抽到的小青荷是男

生”，用8表示事件“抽到的小青荷会说韩语”.试给出一组相、〃的值，使得事件A与5相

互独立，并说明理由.

20.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)

已知0<p<4,曲线I；、匕的方程分别为V=2p%

(0<x<8,y>0)flx2=2py(0<y<8,x>0),「与在

第一象限内相交于点K(xK,yK).

(1)若|OK|=4衣，求夕的值；

(2)若p=2,定点T的坐标为(4,0),动点M在直线

y=x1.,动点"(/,%)(°<心<4)在曲线r\上，求

刀的最小值；

(3)已知点4a,%)(0〈4)、3(%2，%)(%<%248)在曲线「]上，点A、8关于

直线y=x的对称点分别为C、D,设|AC|的最大值为小，|3。|的最大值为/,若

m1

ye[1,2],求实数p的取值范围.

21.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)

已知aeR,f(x)=(a-2)x3-x2+5x+(1-«)Inx.

(1)若1为函数y=/(x)的驻点，求实数。的值；

(2)若a=O,试问曲线丁=/(x)是否存在切线与直线x—y—1=0互相垂直？说明理

由；

(3)若a=2,是否存在等差数列七,％2，工3(°<%<%<%3)，使得曲线y=/(X)在点

(%,/(%))处的切线与过两点(％,/&))、(%3，/(七))的直线互相平行？若存在，求出所

有满足条件的等差数列；若不存在，说明理由.

参考答案与评分标准

填空题1.—2；2.1；3.4；

4.6;5.6不；6.y=±x',

7T；8.3；9.18；10.

11.［2,+oo)；12.6.

二.选择题13.C；14.D；15.A；16.C.

三.解答题

17.⑴［证明］连接AC,ABCD为正方形且P为的中点,

二歹为AC的中点，又E为PC中点，

：.EF//PA.........................2分

又EF不在平面"40上,E4u平面上4Z),

.♦.EF〃平面PAD.......................................................................6分

⑵解PA=PD=^a,AD=a..,PA±PD,

△B4O为等腰直角三角形，

取AD中点由等腰三角形性质可知LAD,.................................................8分

又「平面平面ABCD,平面PAD平面4BCD=A£),

r.PM，平面ABCD,......................................................................10分

连接BM，则NP8M为直线PB与平面ABCD所成的角......................12分

由=2。,氏0=@。，RWLMB可得tan/PBM=好，

225

•••直线网与平面ABCD所成的角的正切值为£...........................14分

18.［解］(1)将《^3=:，0=3带入条件中可得。=5......................2分

由余弦定理〃=片+/-2〃CCOSB可得b=2«;..................6分

(2)a-2ccosB=c,由正弦定理可得sinA-2sinCcos5=sinC,.....8分

sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,

sinBcosC-sinCcosB=sinC,sin(5-C)=sinC,..............10分

B—Ce(—、,5),。€(0,10，所以5—0=0,即8=20,............12分

又因为△ABC为锐角三角形，.•.Ce(f,f),sinCe(：，¥)...........14分

6422

19"解］(1)从这36名小青荷中随机抽取两名的方法数为CM................2分

抽取的两名都不会说日语的方法数为G；，......................4分

C217

因此，抽取的两名中至少有一名会说日语的概率为1-於二天；.6.分.....

。3621

(抽取的两名小青荷中至少有一名会说日语的方法数为C；o+C；°C：6给2分)

(2)当机=6、〃=12时,事件A与5相互独立..........................8分

理由如下：

从这些小青荷中随机抽取一名，事件A发生的概率P(A)=¥=!,

363

事件3发生的概率尸(8)="U=1，................................................10分

362

事件A与5同时发生的概率P(A］硝=三=」............................12分

36o

P(A)P(B)=ix1=|=P(AlB),

326

因此，事件A与B相互独立...........................14分

17+1477

(其它答案：当机=7、〃=14时，P(A)=-,P(B)=——=—,P(AB)=—;

33o123o

当加=8、〃=16时，P(A)=-,P(B)=^±^=-,P(AS)=—=-.)

3363369

121

(2)［另解］从这些小青荷中随机抽取一名，事件A发生的概率「(㈤=0=G，

363

m+n

事件3发生的概率P(3)=—L，.....................................8分

36

事件A与3同时发生的概率P(AB)=—,.....................................10分

36

33636

整理得〃=2相，....................12分

所以可取加=6、〃=12或加=7、”=14或相=8、n=16........................14分

(学生只需写出三种情况中的一种即可)

y=2px

20.［解］(1)联立《二J,由点K(%K，yQ在第一象限，

x2=2py

得收=2J.....................................2分

JK=2P

由|OK|=40,得26P=4g,所以p=2；……4分

(2)曲线仁和:T2关于直线y=x对称，

取N关于y=x的对称点N',则V在曲线

y1=4x(0<%<4,y>0)±,......................6分

鼠=(|陌V]+|MT|)1ra「

又因为|W|+|VT|习77V],

所以只需求T到V=4x(0<x<4,y>0)上动点V的距离177Vl的最小值，

令N(x,2&)(04x<4),贝U|77V［=J(4—X)2+4X=J%?—4%+16,.....8分

当x=2时，|7N［的最小值为20，+1rfli=26

所以(当M(8—40,8—4后)，N(2挺,2)时)|M2V|+|VT|的最小值为26.…10分

(3)由(1)可得

IAC|=2/XI=V2I%—I,

(0Kx1K2p),

\BD\==@9-|,

2与%I(2/?<x2<8),12分

因此当％=0■时，m=~^~PJ

当％=8时，t=4y/2(2-y［p),14分

由台得白晟)。,

................................16分

解得16—8A/3WpK160—64^/6...............................18分

21.［解］⑴由题意/'。=3(。—2)1—2%+5+匕@,..............2分

X

由1为函数y=/(%)的驻点，得r(l)=3(a—2)+3+(1—，)=。，

因此4=1；...................................4分

(2)当a=O时，/(x)=-2x3-x2+5x+Inx,

1

/'(%)=—619一2%+5+—,.................................6分

x

原问题等价于是否存在%>