新疆昌吉第九中学高三上学期期中考试数学试题

昌吉市第九中学20202021学年第一学期期中考试高三年级数学试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设常数a∈R,集合A＝{x|(x－1)(x－a)≥0},B＝{x|x≥a－1},若A∪B＝R,则a的取值范围为()A．(－∞,2)B．(－∞,2]C．(2,＋∞)D．[2,＋∞)2.已知函数（）,,则（）A．B．C．D．3.已知锐角满足,则等于（）A.B.C.D.4.若命题“使得”为假命题,则实数的取值范围是（）ABCD5.已知函数（）,,则（）A．B．C．D．6.若函数在上单调递减,则的值可能是A.B.C.D.7.已知,若点满足,,（）,则（）A.B.C.D.8.已知等比数列{an}的公比为q,记bn＝am(n－1)＋1＋am(n－1)＋2＋…＋am(n－1)＋m,cn＝am(n－1)＋1·am(n－1)＋2·…·am(n－1)＋m(m,n∈N*),则以下结论一定正确的是()A．数列{bn}为等差数列,公差为qmB．数列{bn}为等比数列,公比为q2mC．数列{cn}为等比数列,公比为qm2D．数列{cn}为等比数列,公比为qmm9.已知为正实数,则的最小值为（）A．B．C．D．310.已知四边形中，，，在将沿着翻折成三棱锥的过程中，直线与平面所成角的角均小于直线与平面所成的角，设二面角，的大小分别为，则（）A．B．C．存在D．的大小关系无法确定11.坐标平面内有相异两点,经过两点的直线的的倾斜角的取值范围是().A．B．C．D．12.若存在正实数m，使得关于x的方程有两个不同的根，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.在△ABC中，设a，b，c分别为角A，B，C的对边，若a＝5，A＝eq\f(π,4)，cosB＝eq\f(3,5)，c＝________.14.已知平面向量a＝(2，1)，a·b＝10，若|a＋b|＝5eq\r(2)，则|b|的值是________．15.数列{an}为等比数列，且a1＋1，a3＋4，a5＋7成等差数列，则公差d＝________.16.在平面直角坐标系xOy中，已知过点M(1,1)的直线l与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝5相切，且与直线ax＋y－1＝0垂直，则实数a＝________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.在中，内角，，所对的边分别为，，，且.（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若，求面积的最大值.18.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取个零件,并测量其尺寸（单位：）．根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布．（1）假设生产状态正常,记表示一天内抽取的个零件中其尺寸在之外的零件数,求及的数学期望；（2）一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得,,其中为抽取的第个零件的尺寸,．用样本平均数作为的估计值,用样本标准差作为的估计值,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据,用剩下的数据估计和（精确到）．附：若随机变量服从正态分布,则,,．19.已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率e=,过点A（0,b）和B（a,0）的直线与坐标原点距离为.（1）求椭圆的方程；（2）已知定点E（1,0）,若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆相交于C、D两点,试判断是否存在k值,使以CD为直径的圆过定点E？若存在求出这个k值,若不存在说明理由.20.如图1，已知菱形的对角线交于点，点为线段的中点，，，将三角形沿线段折起到的位置，，如图2所示．（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）求三棱锥的体积．21.已知函数（Ⅰ）判断函数的单调区间；（Ⅱ）若对任意的,都有,求实数的最小值.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修44：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），已知点，点是曲线上任意一点，点为的中点，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求点的轨迹的极坐标方程；（2）已知直线与曲线交于，两点，若，求的值．23．[选修45：不等式选讲]（10分）已知函数的最大值为3，其中.（1）求的值；（2）若，，，求证：.昌吉市第九中学20202021学年第一学期期中考试高三年级数学试卷参考答案1.先得到A＝(－∞,1]∪[a,＋∞),B＝[a－1,＋∞),再根据区间端点的关系求参数范围.2.【分析】先把分离常数,得,根据奇函数性质可得【解析】,令,则为奇函数,,,,故选C.3.A4.【解析】由命题“使得”为假命题,则命题“使得”为真命题．所以．故选C．5.【答案】C【解析】,令,则为奇函数,,,,故选C.6.【答案】C【解析】当时,,不符合；当时,,不符合；当时,,符合；故选7.【答案】D【解析】,故选8.【答案】C【解析】bn＝am(n－1)＋1·(1＋q＋q2＋…＋qm－1),eq\f(bn＋1,bn)＝eq\f(amn＋1,amn＋1－m)＝qm,故数列{bn}为等比数列,公比为qm,选项A,B均错误；cn＝aeq\o\al(m,m（n－1）＋1)·q1＋2＋…＋(m－1),eq\f(cn＋1,cn)＝(qm)m＝qm2,故数列{cn}为等比数列,公比为qm2,D错误,故选C.9.【答案】D【解析】,当且仅当时取等号,故选D.10.【答案】B【解析】如图，在三棱锥中，作平面于，连，则分别为与平面所成的角．∵直线与平面所成角的角均小于直线与平面所成的角，∴．过作，垂足分别为，连，则有，∴分别为二面角，的平面角，∴．在中，，设BD的中点为O，则为边上的中线，由可得点H在CO的左侧（如图所示），∴．又，∴．又为锐角，∴．故选B．11.【答案】C【解析】,且.设直线的倾斜角为,当时,则,所以倾斜角的范围为.当时,则,所以倾斜角的范围为.12.【答案】B【解析】由题意得，令，则，当时，，当时，，所以，所以，而时，，则要满足，解得，故选B.13.【答案】：7【解析】：因为cosB＝eq\f(3,5)，所以B∈(0，eq\f(π,2))，从而sinB＝eq\f(4,5)，所以sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(3,5)＋eq\f(\r(2),2)×eq\f(4,5)＝eq\f(7\r(2),10)，又由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，即eq\f(5,\f(\r(2),2))＝eq\f(c,\f(7\r(2),10))，解得c＝7.14.【答案】5【解析】：因为50＝|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝5＋20＋|b|2，所以|b|＝5.15.【答案】：3【解析】：设数列{an}的公比为q，则(a1＋1)＋(a1q4＋7)＝2(a1q2＋4)，即a1＋a1q4＝2a1q2.因为a1≠0，所以q2＝1，a1＝a3＝a5，故公差d＝3.16.【答案】：eq\f(1,2)思路分析可用过圆上一点的切线方程求解；也可用垂直条件，设切线方程(x－1)－a(y－1)＝0，再令圆心到切线的距离等于半径．因为点M在圆上，所以切线方程为(1＋1)(x＋1)＋(1－2)(y－2)＝5，即2x－y－1＝0.由两直线的法向量(2，－1)与(a,1)垂直，得2a－1＝0，即a＝eq\f(1,2).思想根源以圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点T(x0，y0)为切点的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.17.【解析】（Ⅰ）由已知及正弦定理得：，∵，∴，∵∴，∵∴.（Ⅱ）的面积，由及余弦定理得，又，故，当且仅当时，等号成立.∴面积的最大值为.18.【解析】（1）由题可知尺寸落在之内的概率为,落在之外的概率为．,,由题可知,所以.（2）（i）尺寸落在之外的概率为,由正态分布知尺寸落之外为小概率事件,因此上述监控生产过程的方法合理．（ii）,,,因为,所以需对当天的生产过程检查．因此剔除,剔除数据之后：．.所以.19.【解析】（1）直线AB方程为：bxayab＝0依题意解得∴椭圆方程为（2）假设存在这样的k值,由得∴①设,,,则②而8分要使以CD为直径的圆过点E（1,0）,当且仅当CE⊥DE时,则,即∴③将②式代入③整理解得经验证,,使①成立综上可知,存在,使得以CD为直径的圆过点E..20.【解析】（Ⅰ）折叠前，因为四边形为菱形，所以；所以折叠后，，,又，平面，所以平面因为四边形为菱形，所以．又点为线段的中点，所以．所以四边形为平行四边形．所以．又平面，所以平面．因为平面，所以平面平面．（Ⅱ）图1中，由已知得，，所以图2中，，又所以，所以又平面，所以又，平面，所以平面，所以．所以三棱锥的体积为．21.（Ⅱ）等价于,设函数,对于函数,不妨令.所以,当时,在时,,所以在为增函数,所以,不符合题意；当,在时,,所以在为增函数,所以,不符合题意；当时,在时,,所以在为减函数,所以,即在上成立,符合题意；综上,实数的最小值为.22.解：（1）设，．且点，由点为的中点，所以，整理得．即，化为极坐标方程为．