2009年考研数学试题答案及评分参考

未知驱动探索，专注成就专业年考研数学试题答案及评分参考绪论2009年考研数学试题是对考生数学综合应用能力的综合考察，试题主要涉及代数、数学分析和概率统计三个方面的知识。本文将给出2009年考研数学试题的完整答案，并提供评分参考，以便考生更好地检验自己的学习成果。第一部分：代数题目一题目描述已知函数$f(x)=\\frac{{ax+b}}{{cx+d}}$，其中a,b,c,d为常数，c,答案及评分参考首先，将f(f(x))=x代入f(x)=y的方程中，得到f(y将f(x)=x代入函数$f(x)=\\frac{{ax+b}}{{cx+d}}$根据题目中给出的条件c,d不同时为0，所以可以将$x=\\frac{{ax+b}}{{cx+d}}$两边通分，得到由此可以得到cx2+根据等式的对称性，可以得到ac=cd和所以，$\\frac{a^2c^2+b^2d^2}{b^2c^2+d^2a^2}=\\frac{a^2c^2+d^2a^2}{b^2c^2+d^2a^2}=\\frac{a^2c^2}{d^2c^2+a^2b^2}=\\frac{a^2}{d^2+a^2\\cdot(\\frac{d}{a})^2}=\\frac{a^2}{d^2+a^2}=\\frac{1}{1+(\\frac{d}{a})^2}=\\frac{1}{2}$。综上所述，$\\frac{a^2c^2+b^2d^2}{b^2c^2+d^2a^2}=\\frac{1}{2}$。题目二题目描述设n为正整数，矩阵$$A=\\left[\\begin{matrix}1&2n&3\\\\0&1&n\\\\0&0&1\\\\\\end{matrix}\\right]$$定义为$$A^n=B_n=\\left[\\begin{matrix}1&2nC_1^n&3C_2^n&\\cdots&nC_1^n\\\\0&1&nC_1^n&\\cdots&nC_2^n\\\\0&0&1&\\cdots&nC_3^n\\\\\\vdots&\\vdots&\\vdots&\\ddots&\\vdots\\\\0&0&0&\\cdots&1\\\\\\end{matrix}\\right]$$其中Cij表示组合数。求Bn答案及评分参考根据矩阵的定义，可以知道Bn是一个上三角矩阵，且对角线上的元素都为1。所以|根据组合数的性质，2nC1n=2n，$3C_2^n=3\\cdot2=n(n-1)$所以，$|B_n|=1\\cdot1\\cdot2n\\cdot3\\cdotn\\cdotn\\cdot(n-1)\\cdotn\\cdot(n-1)\\cdot(n-2)\\cdotsn\\cdot3\\cdot2\\cdot1=1^n\\cdot2^n\\cdot3^n\\cdotn!=(n!)^3$。综上所述，|B第二部分：数学分析题目三题目描述设函数f(x)在x=0处二阶可导，且满足f答案及评分参考曲线y=f(x)曲线y=f(x)在x=0处的法线方程与切线方程的斜率之积为−综上所述，曲线y=f(x)在x题目四题目描述设函数f(x)在区间(a,b)上连续，对(a,b)内的任意x答案及评分参考首先，对于任意x1，x设h(x)由于f(a)=f(b)=0，所以(a,b假设存在x=x1+x2，使得h(x)对于x0″的最小值，必然存在一个x′，使得h(x根据最小值的性质，有$h(x_0'')≤h(\\frac{{x'}}{2})$。结合以上不等式，我们得到$h(x_0'')<\\frac{{h(x_0'')+h(x')}}{2}$，继而得到h(x0所以，不存在使得h(x)不等于0的x，即对(a,综上所述，对(a,b)内的任意第三部分：概率统计题目五题目描述设事件A与B相互独立，已知$P(A\\cupB)=\\frac{3}{4}$，$P(A\\capB)=\\frac{1}{4}$。求P(答案及评分参考根据事件的独立性，我们有$P(A\\capB)=P(A)P(B)$。已知$P(A\\capB)=\\frac{1}{4}$，所以$P(A)P(B)=\\frac{1}{4}$。又根据事件的互斥性，我们有$P(A\\cupB)=P(A)+P(B)$。已知$P(A\\cupB)=\\frac{3}{4}$，P(B)=1综上所述，$P(A)=\\frac{1}{4}$。题目六题目描述某地每天的天气情况有三种：晴天、多云和阴天，这些天气之间相互转变的概率如下表所示：当前天气\未来天气晴天多云阴天晴天多云阴天已知某地今天为晴天，求在未来两天中至少有一天为阴天的概率。答案及评分参考设事件A表示未来两天中至少有一天为阴天。根据题目给出的转变概率表格，可以计算出未来两天中全为晴天的概率为$P(\\text{晴天}\\rightarrow\\text{晴天})=0.6\\cdot0.6=0.36$，全为多云的概率为$P(\\text{多云}\\rightarrow\\text{多云})=0.4\\cdot0.4=0.16$，全为阴天的概率为$P(\\text{阴天}\\rightarrow\\text{阴天})=0.5\\cdot0.5=0.25$。所以未来两天中至少有一天为阴天的概率为$P(A)=1-P(\\text{晴天}\\rightarrow\\text{晴天})-P(\\text{多云}\\rightarrow\\text{多云})=1-0.36-0.16=0.4