5.1.4用样本估计总体（原卷版）

5.1.4用样本估计总体TOC\o"13"\h\z\u题型1用样本的数字特征估计总体的数字特征 2◆类型1用样本估计总体人数 2◆类型2用样本方差估计总体方差 5◆类型3分位数 7题型2用样本的分布估计总体的分布 10题型3雷达图问题 13知识点一.用样本估计总体用样本估计总体：前提：样本的容量恰当，抽样方法合理.（2）必要性：①在容许一定误差存在的前提下，可以用样本估计总体，这样能节省人力和物力等.②有时候总体的数字特征不可能获得，只能用样本估计总体.（3）误差：估计一般是有误差的．但是，大数定律可以保证，当样本的容量越来越大时，估计的误差很小的可能性将越来越大.注意：特别地，样本平均数（也称为样本均值）、方差（也称为样本方差）与总体对应的值相差不会太大。当总体的数字特征不可能获得时，只能用样本的数字特征去估计总体的数字特征。估计一般是有误差的。但是，大数定律可以保证，当样本的容量越来越大时，估计的误差很小的可能性将越来越大。一般来说，在估计总体的数字特征时，只需直接算出样本对应的数字特征即可。2.用样本的数字特征来估计总体的数字特征（1）一般来说，在估计总体的数字特征时，只需直接算出样本对应的数字特征即可.（2）样本是用分层抽样得到的，由每一层的数字特征估计总体的数字特征．以分两层抽样的情况为例.条件假设第一层有m个数，分别为x1，x2，…，xm，平均数为x，方差为s2；第二层有n个数，分别为y1，y2，…，yn，平均数为y，方差为t2.结论如果记样本均值为a，样本方差为b2，则a=知识点二.用样本的分布来估计总体的分布一般情况下，如果样本的容量恰当，抽样方法又合理的话，样本的分布与总体分布会差不多．特别地，每一组的频率与总体对应的频率相差不会太大.注意：如果总体在每一个分组的频率记为π1，π2，…，πm，样本在每一组对应的频率记为p1，P2，…，Pm，一般来说，1ni=1n注意：一般是利用样本在某一范围内的频率近似地估计总体在所求范围内的频率。所以，首先样本抽取要合理科学，其次频率分布表（直方图）要正确绘制，或者找出题目所给频率分布表（直方图）中的相关信息，最后由样本分布估计出总体分布情况。知识点三.“大数据”简介凡是可以被“数据化”的信息载体都可以看成数据．信息载体包括的数据量达到一定的规模或者达到一定的复杂程度，都可以被认为是"大数据".题型1用样本的数字特征估计总体的数字特征◆类型1用样本估计总体人数【例题11】（·湖北·高考真题（文））为了了解某学校学生的身体发育情况，抽查了该校100名高中男生的体重情况，根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示．根据此图，估计该校2000名高中男生中体重大于70.5公斤的人数为（

）A．300 B．360 C．420 D．450【变式11】1．（2023下·吉林长春·高一长春吉大附中实验学校校考期末）某校1500名学生参加交通安全知识竞赛，随机抽取了100名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（

）A．频率分布直方图中a的值为0.0045B．估计这100名学生竞赛成绩的中位数为73C．估计这100名学生竞赛成绩的众数为80D．估计总体中成绩落在70,80内的学生人数为525【变式11】2．（2022·全国·益阳平高学校高一期末）2021年是中国共产党建党100周年，为全面贯彻党的教育方针，提高学生的审美水平和人文素养，促进学生全面发展．某学校高一年级举办了班级合唱活动．现从全校学生中随机抽取部分学生，并邀请他们为此次活动评分（单位：分，满分100分），对评分进行整理，得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（

）A．aB．学生评分的中位数的估计值为85C．学生评分的众数的估计值为85D．若该学校有3000名学生参与了评分，则估计评分超过80分的学生人数为1200【变式11】3．（2023下·湖南长沙·高一长郡中学校考期末）对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图．分组频数频率10,15100.2515,2024n20,25mp25,3020.05合计M1

(1)写出表中M、p及图中a的值（不需过程）；(2)若该校高三年级学生有240人，试估计该校高三年级学生参加社区服务的次数在区间10,15上的人数；(3)估计该校高三年级学生参加社区服务次数的中位数．（结果精确到0.01）【变式11】4．（2023·高一课时练习）某校240名学生参加某次数学选择题测验（共10题每题1分），随机调查了20个学生的成绩如下：成绩1分2分3分4分5分6分7分8分9分10分人数6002423210(1)求样本的均值；(2)请问估计有多少学生可达7分（包括7分）以上？◆类型2用样本方差估计总体方差【方法总结】在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究其偏离平均值的离散程度（即方差或标准差）.方差大说明取值离散程度大，方差小说明取值离散程度小或者取值集中、稳定.）【例题12】（2022下·广东肇庆·高一统考期末）一所初级中学为了估计全体学生的平均身高和方差，通过抽样的方法从初一年级随机抽取了30人，计算得这30人的平均身高为154cm，方差为30；从初二年级随机抽取了40人，计算得这40人的平均身高为167cm，方差为20；从初三年级随机抽取了30人，计算得这30人的平均身高为170cm，方差为10．依据以上数据，若用样本的方差估计全校学生身高的方差，则全校学生身高方差的估计值为．【变式12】1．（多选）（2023下·四川自贡·高一统考期末）为响应自己城市倡导的低碳出行，小李上班可以选择公交车、自行车两种交通工具，他分别记录了100次坐公交车和骑车所用时间（单位：分钟），得到下列两个频率分布直方图：基于以上统计信息，则（

）A．骑车时间的中位数的估计值22分钟B．坐公交车时间的40%分位数的估计值是19分钟C．坐公交车时间的平均数的估计值小于骑车时间的平均数的估计值D．坐公交车时间的方差的估计值大于骑车时间的方差的估计值【变式12】2．（2022·山东淄博·高一期末）某校有高一学生1000人，其中男女生比例为3:2，为获得该校高一学生的身高（单位：cm）信息，采用随机抽样方法抽取了样本量为50的样本，其中男女生样本量均为25，计算得到男生样本的均值为172，标准差为3，女生样本的均值为162，标准差为4．(1)计算总样本均值，并估计该校高一全体学生的平均身高；(2)计算总样本方差．【变式12】3．（2023上·辽宁沈阳·高一辽宁实验中学校考阶段练习）某次考试后，年级组抽取了100名同学的数学考试成绩，绘制了如下图所示的频率分布直方图．(1)根据图中数据计算参数a的值，并估算这100名同学成绩的平均数和中位数，结果保留至百分位；(2)已知这100名同学中，成绩位于80,90内的同学成绩方差为12，成绩位于90,100内的同学成绩方差为10，为了分析学优生的成绩分布情况，请估算成绩在80分及以上的同学的成绩的平均数和方差．【变式12】4.（2023下·广西·高一期末）某中学400名学生参加全市高中数学竞赛，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：20,30，30,40，…，80,90，并整理得到如下频率分布直方图：(1)由频率直方图求样本中分数的中位数；(2)已知样本中分数在40,50的学生有5人，试估计总体中分数小于40的人数；(3)已知样本中男生与女生的比例是3:1，男生样本的均值为70，方差为10，女生样本的均值为80，方差为12，请计算出总体的方差．◆类型3分位数【例题13】（2023下·广西·高一统考期末）某市为了了解该市的“全民健身运动”的开展情况，从全体市民中随机调查了100位市民每天的健身运动时间（健身运动时间是考查“全民健身运动”情况的重要指标），所得数据都在区间5,40（单位：分钟）中，其频率直方图如图所示，估计市民健身运动时间的样本数据的70百分位数是（

）A．29分钟 B．27分钟 C．29.5分钟 D．30.5分钟【变式13】1．（2022·河北唐山·高一期末）通过简单随机抽样，得到50户居民的月用水量数据（单位：t），这50户居民平均用水量是8t，方差是36.其中用水量最少的5户用水量为2t，3t，4t，5t，6t.用水量最多的5户用水量为15t，16t，20t，23t，26t.(1)求50个样本数据的7%和96%分位数；(2)估计其它40户居民的月用水量的平均数和方差.【变式13】2．（2023下·天津和平·高一统考期末）为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党､知史爱国的热情，某校举办了“学党史､育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的为（

）A．a的值为0.005B．估计这组数据的众数为75C．估计这组数据的第85百分位数为86D．估计成绩低于60分的有25人【变式13】3．（2022·安徽·涡阳县第九中学高一期末）某县在创文明县城期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”.为了解市民的学习成果，该县从某社区随机抽取了160名市民作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分为100分，将数据收集，并整理得到频率分布直方图，如图所示：(1)求a的值；(2)估计此样本中的160名市民成绩的平均数x和第75百分位数.【变式13】4．（2023下·江苏连云港·高一统考期末）为激发中学生对天文学的兴趣，某校举办了“2022～2023学年中学生天文知识竞赛”，并随机抽取了200名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是（

）A．直方图中x的值为0.035B．估计全校学生的平均成绩不低于80分C．估计全校学生成绩的样本数据的60百分位数约为60分D．在被抽取的学生中，成绩在区间60,70的学生数为10题型2用样本的分布估计总体的分布【例题2】（2022·陕西·西安市第七十五中学高一阶段练习）某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况，从该年级的1120名学生中随机抽取了100名学生的数学成绩，发现都在[80,150]内现将这100名学生的成绩按照[80,90),[90,100),[100,110),[110,120)，[120,130),[130,140),[140,150]分组后，得到的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（

）A．频率分布直方图中a的值为0.040 B．样本数据低于130分的频率为0.3C．总体的中位数（保留1位小数）估计为123 D．总体分布在[90,100)的频数一定与总体分布在[100,110)的频数相等【变式21】1．（2022·全国·高一课时练习）某校为了解学校学生作业完成情况，对学生每天完成作业时间抽样调查，观察随机抽取的100人每天完成作业时间的累计数（单位：小时），在各区间内的频数记录如下表所示．完成作业时间分布区间频数0,0.520.5,181,1.5151.5,2192,2.5222.5,3173,3.5123.5,45(1)我们研究的总体是什么？样本是什么？总体的分布是什么？(2)试估计该学校学生的每天完成作业时间大于等于3.5小时人数的占比．【变式21】2.（2022·北京市陈经纶中学高一期中）2022年2月8日，中国选手谷爱凌在北京冬奥会女子大跳台项目决赛中以之前从未有人在正式比赛中完成的“左转1620”动作一举夺得冠军，为中国代表团揽入一枚里程碑式的金牌．受奥运精神的鼓舞，某滑雪俱乐部组织100名滑雪爱好者进行了一系列的大跳台测试，并记录他们的动作得分（单位：分），将所得数据整理得到如图所示的频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中a的值；(2)估计该100名射击爱好者的射击平均得分（求平均值时同一组数据用该组区间的中点值作代表）；(3)该俱乐部计划招募成绩位列前10%的滑雪爱好者组成集训队备战明年的滑雪俱乐部联盟赛，请根据图中信息，估计集训队入围成绩（记为k）．【变式21】3.（2023下·湖南益阳·高一统考期末）某校有高一学生1000人，其中男生600人，女生400人，为了解该校全体高一学生的身高信息，甲与乙分别进行了调查.(1)甲采用调查问卷的形式收集了所有高一学生的身高分布情况并整理绘制了频率分布直方图，请估计高一年级学生身高的下四分位数；(2)乙采用分层抽样的方法选取了20位男生，30位女生进行观测，并计算得到男生的样本均值为175cm，方差为19；女生的样本均值为160cm，方差为34.①试用上述数据计算出总样本的均值和方差；②将乙的数据作为总体的均值与方差估计合适吗?为什么?【变式21】4.（2023下·高一课时练习）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：20,30，30,40，⋯，80,90，并整理得到如下频率分布直方图：(1)已知样本中分数在40,50的学生有5人，试估计总体中分数小于40的人数；(2)试估计测评成绩的第三四分位数；(3)已知样本中男生与女生的比例是3：1，男生样本的均值为70，方差为10，女生样本的均值为80，方差为12，请计算出总体的方差.题型3雷达图问题【例题3】（2021·全国·）2021年开始，某省将试行“3+1+2”的普通高考新模式，即除物理语文、数学、外语3门必选科目外，考生再从物理、历史中选1门，从化学、生物、地理、政治中选2门作为选考科目．为了帮助政治学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩放成5分制，绘制成雷达图．甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定不正确的是（

）A．甲的物理成绩领先年级平均分最多B．甲有2个科目的成绩低于年级平均分C．甲的成绩从高到低的前3个科目依次是地理、化学、历史D．对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果【变式31】1．（2022下·山西朔州·高一校考阶段练习）某综艺节目为比较甲、乙两名选手的各项能力（每项能力的指