人教A版高中数学必修2学案第1章空间几何体章末综合提升

[巩固层·知识整合][提升层·题型探究]空间几何体的结构特征【例1】(1)设有四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长都相等的直四棱柱是正方体；③侧棱垂直于底面两条边的平行六面体是直平行六面体；④对角线相等的平行六面体是直平行六面体.其中真命题的个数是()A．1B．2C．3D．4(2)在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有()A．1个B．2个C．3个D．4个(1)A(2)D[(1)①若侧棱不垂直于底面，则底面是矩形的平行六面体不是长方体，错误；②若底面是菱形，则棱长都相等的直四棱柱不是正方体，错误；③若侧棱垂直于底面两条平行边，则侧棱不一定垂直于底面，故侧棱垂直于底面两条边的平行六面体不一定是直平行六面体，错误；④若平行六面体对角线相等，则对角面皆是矩形，于是可得侧棱垂直于底面，因此对角线相等的平行六面体是直平行六面体，正确．(2)如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，取四棱锥A1­ABCD，与空间几何体结构特征有关问题的解答技巧(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．(2)通过举反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可．eq\a\vs4\al([跟进训练])1．棱台上、下底面面积分别为16，81，有一平行于底面的截面，其面积为36，则截面截得两棱台高的比为()A．1∶1B．1∶2C．2∶3D．3∶4C[将棱台还原为棱锥，如图所示，设顶端小棱锥的高为h，两棱台的高分别为x1，x2，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,h＋x1)))eq\s\up10(2)＝eq\f(16,36)，解得x1＝eq\f(h,2)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,h＋x1＋x2)))eq\s\up10(2)＝eq\f(16,81)，解得x2＝eq\f(3,4)h.故eq\f(x1,x2)＝eq\f(2,3).]空间几何体的表面积与体积【例2】(1)在梯形ABCD中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为()A．4π B．(4＋eq\r(2))πC．6π D．(5＋eq\r(2))π(2)如图，已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1­BB1D1D(1)D(2)eq\f(1,3)[(1)∵在梯形ABCD中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，∴将梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为AB＝1，高为BC＝2的圆柱减去一个底面半径为AB＝1，高为BC－AD＝2－1＝1的圆锥的组合体，∴几何体的表面积S＝π×12＋2π×1×2＋eq\f(1,2)×2π×1×eq\r(12＋12)＝(5＋eq\r(2))π.(2)∵正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1∴矩形BB1D1D的长和宽分别为1，eq\r(2).∵四棱锥A1­BB1D1D的高是正方形A1B1C1D1对角线长的一半，即为eq\f(\r(2),2)，∴V四棱锥A1­BB1D1D＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×(1×eq\r(2))×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,3).]空间几何体的表面积与体积的求法：(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．(3)求复杂几何体的体积常用割补法、等积法求解．eq\a\vs4\al([跟进训练])2．如图所示，已知三棱柱ABC­A′B′C′，侧面B′BCC′的面积是S，点A′到侧面B′BCC′的距离是a，求三棱柱ABC­A′B′C′的体积．[解]连接A′B，A′C，如图所示，这样就把三棱柱分割成了两个棱锥．设所求体积为V，显然三棱锥A′­ABC的体积是eq\f(1,3)V.而四棱锥A′­BCC′B′的体积为eq\f(1,3)Sa，故有eq\f(1,3)V＋eq\f(1,3)Sa＝V，即V＝eq\f(1,2)Sa.与球有关的切、接问题【例3】(1)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为6，底面边长为4，则该球的表面积为()A．eq\f(44,3)πB．eq\f(484,9)πC．eq\f(81,4)πD．16π(2)一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，如果这个球的体积是eq\f(32,3)π，那么这个三棱柱的体积是()A．96eq\r(3)B．16eq\r(3)C．24eq\r(3)D．48eq\r(3)(1)B(2)D[(1)如图，设PE为正四棱锥P­ABCD的高，则正四棱锥P­ABCD的外接球的球心O必在其高PE所在的直线上，延长PE交球面于一点F，连接AE，AF.由球的性质可知△PAF为直角三角形且AE⊥PF，又底面边长为4,所以AE＝2eq\r(2)，PE＝6,所以侧棱长PA＝eq\r(PE2＋AE2)＝eq\r(62＋（2\r(2)）2)＝eq\r(44)＝2eq\r(11).设球的半径为R,则PF＝2R.由三角形相似得PA2＝PF·PE，即44＝2R×6，解得R＝eq\f(11,3)，所以S＝4πR2＝4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,3)))eq\s\up10(2)＝eq\f(484π,9)，故选B.(2)由球的体积公式可求得球的半径R＝2.设球的外切正三棱柱的底面边长为a，高即侧棱长，为h，则h＝2R＝4.在底面正三角形中，由正三棱柱的内切球特征，有eq\f(a,2)×eq\f(\r(3),3)＝R＝2，解得a＝4eq\r(3).故此三棱柱的体积V＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)×(4eq\r(3))2×4＝48eq\r(3).]与球相关问题的解题策略：(1)作适当的截面(如轴截面等)时，对于球内接长方体、正方体，则截面一要过球心，二要过长方体或正方体的两条体对角线，才有利于解题．(2)对于“内切”和“外接”等问题，首先要弄清几何体之间的相互关系，主要是指特殊的点、线、面之间的关系，然后把相关的元素放到这些关系中来解决．eq\a\vs4\al([跟进训练])3．已知三棱锥P­ABC中，△ABC为等边三角形，PA＝PB＝PC＝3，PA⊥PB，则三棱锥P­ABC的外接球的体积为________．eq\f(27\r(3),2)π[∵三棱锥P­ABC中，△ABC为等边三角形，PA＝PB＝PC＝3，∴△PAB≌△PBC≌△PAC.∵PA⊥PB，∴PA⊥PC，PC⊥PB.以PA，PB，PC为过同一顶点的三条棱作正方体(如图所示)，则正方体的外接球同时也是三棱锥P­ABC的外接球．∵正方体的体对角线长为eq