数值分析实验五-非线性方程的求根2

数值分析实验五非线性方程的求根组号班级学号姓名分数一：实验目的用MATLAB软件对非线性方程组求根，并对结果作初步分析。用两种不同的求根方法求解，比拟哪种方法最简便。二：实验内容及根本知识介绍简单迭代法：解非线性方程组的迭代法和非线性方程一样，首先需要将F〔x〕=0转化为等价方程组：简记为。其中，由此构造迭代公式：这种方法称为简单迭代法，或称为不动点迭代法。仍成为迭代函数，用不同的迭代方法可构造不同的迭代函数可得到不同的迭代法。给定初始向量，由迭代公式可产生向量序列。假设存在，那么称为收敛序列，其中是方程组的解，又称为方程组的不动点。牛顿迭代法的原理：单个方程的牛顿迭代法可以推广到方程组的情形，它也是简单迭代法的特殊情形。牛顿法的原理是用线性函数近似非线性函数，逐次用线性方程组的解近似非线性方程组的解。线性化方法：对于方程组，设具有对的二阶偏导数。又设方程组有近似解。将在点作多元函数Taylor展开，并取其线性局部。令上式右端为零，得到线性方程组，〔2-33〕其中为x处的各个一阶偏导数矩阵，称为的雅可比矩阵。由〔2-33〕得到牛顿迭代公式：〔2-34〕牛顿迭代过程：记，那么由方程组〔2-33〕得到。当时，解出，那么有。对于近似解，再重复上面计算，这就是牛顿迭代过程，迭代公式为牛顿法的计算过程：步骤一：准备，选定初始近似值，计算步骤二：迭代，按公式迭代一次，得到新的近似值，计算步骤三：控制，如果满足或，那么终止迭代，以作为所求的根；否那么转步骤四，此处是允许误差，而其中c是取绝对误差或相对误差的控制常数，一般可取c=1。步骤四：修改，如果迭代次数到达预先制定的次数N，或者那么方法失败；否那么以代替转步骤二继续迭代。牛顿法的收敛性：设函数在解向量附近具有二阶连续偏导数，Jacobi矩阵在为非奇异矩阵，那么对附近的初始向量，牛顿迭代过程收敛〔具有平方收敛的〕。三：实验问题及方法、步骤分别用简单迭代法和牛顿法求下面方程组在附近的解。简单迭代法：编程如下：先构建M-file：名为iterates.mfunction[xstar,index,it]=iterates(G,x,ep,it_max)ifnargin<4it_max=100;endifnargin<3ep=1e-5;endindex=0;k=1;whilek<=it_maxx1=x;x=feval(G,x)ifnorm(x-x1)<=epindex=1;break;endk=k+1;endxstar=x;it=k;%G〔x〕为需要求解的函数；%x为初始向量〔列向量〕；%ep为精度，缺省值为1e-5，%当时，终止计算；%it_max为最大迭代次数，缺省值为100；%xstar为当迭代成功时，输出方程的根，%xstar为迭代失败时，输出最后的迭代值，%index为指标变量，%当index=1时，说明迭代成功，%index=0说明迭代次数>=it_max,失败，%it为迭代次数。在构建M-file：名为G.mfunctionf=G(x)f=[0.7*sin(x(1))+0.2*cos(x(2));0.7*cos(x(1))-0.2*sin(x(2))]调用简单迭代函数iterates.m求方程组的解：iterates(@G,[0.50.5]')得到方程组的解为：f=x=f=x=0.51110.51110.51610.51610.51840.51840.51140.5114f=x=f=x=0.51990.51990.52220.52220.51090.51090.50970.5097f=x=f=x=0.52370.52370.52470.52470.50910.50910.50870.5087f=x=f=x=0.52540.52540.52580.52580.50840.50840.50820.5082f=x=f=x=0.52600.52600.52620.52620.50810.50810.50810.5081f=x=f=x=0.52630.52630.52640.52640.50800.50800.50800.5080f=x=f=x=0.52650.52650.52650.52650.50790.50790.50790.5079f=x=f=x=0.52650.52650.52650.52650.50790.50790.50790.5079ans=0.52650.5079此简单迭代法共迭代计算了十七次，最终得出结果。牛顿法：编程如下：先构建M文件，名为Newtons.mfunction[xstar,index,it]=Newtons(funs,x,ep,it_max)ifnargin<4it_max=100;endifnargin<3ep=1e-5;endindex=0;k=1;whilek<=it_maxx1=x;[f,J]=feval(funs,x);ifabs(det(J))<epbreak;endx=x-J\f;ifnorm(x-x1)<=epindex=1;break;endk=k+1;endxstar=x;it=k;%funs为需要求解的函数，%funs的第一个因变量是函数向量，%funs的第二个因变量是Jacobi矩阵；%x为初始向量〔列向量〕；%ep为精度，缺省值为1e-5，%当时，终止计算；%it_max为最大迭代次数，缺省值为100；%xstar为当迭代成功时，输出方程的根，%xstar为迭代失败时，输出最后的迭代值，%index为指标变量，%当index=1时，说明迭代成功，%index=0说明迭代次数>=it_max,失败，%it为迭代次数。调用牛顿法函数求非线性方程组的解：options=optimset('Display','iter');[x,fval]=fsolve(@funs,[0.50.5],options)其结果为：NormofFirst-orderTrust-regionIterationFunc-countf(x)stepoptimalityradius030.0004629250.02271166.34836e-0080.02799590.0002671291.01786e-0150.0003161253.35e-0081Optimizationterminated:first-orderoptimalityislessthanoptions.TolFun.x=0.52650.5079fval=1.0e-007*0.16800.2712该牛顿法共迭代计算了三次就得出了结果。四计算结果分析对于非线性方程求根实验，输出的结果如上所述，用两种不同的方法解同一个非线性方程组的根，简单迭代法与牛顿法相比拟，两种方法的计算结果一样，但牛顿法相比拟而言简单些，只迭代计算三次，而简单迭代法却迭代计算十七次。从而可以看出简单迭代法比牛顿法繁琐、复杂。

五思考与提高非线性现象广泛存在于物质世界与社会生活中，在工程和科学计算中，如电路和电力系统计算、非线性力学、非线性微分和积分方程、非线性规划等众多领域中，常涉及非线性方程或非线性方程组的求解问题。非线性方程组的解法和理论是当今数值分析研究的重要课题之一，也是科学计算经常遇到的，这里只是用到了简单迭代法和牛顿法。牛顿法是最常用的迭代方法，它是