2023年军队文职人员（数学1）考前模考试卷（四）附详解

2023年军队文职人员(数学1)考前模考试五套卷之(四)附

详解

一、单选题

1.

,

设随机变量X的E(X)=",D(X)≈σ,则由切比步夫不等式可M

P(∣X"≤3ɑ}()

A、≤1∕4

B、≤8∕9

C、≤80∕81

D、≥8∕9

答案：D

解析：

"2Q

由切比雷夫定理，得P{∣X-M∣≤3°}>ι-∕τ7=V.

(3σ)9

2.设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N(0,1),Y的概率分

布为P{Y=0}=P{Y=1}=1∕2记FZ(z)为随机变量Z=XY的分布函数，则函数

FZ(z)的间断点个数为Oo

A、0

B、1

C、2

D、3

答案：B

解析：FZ(z)=P{Z≤z}=P{XY≤z}=P{XY≤z,Y=O}+P{XY≤z,Y=1}=P{X

YWZlY=O}P{Y=O}+P{XYWz∣Y=1}P{Y=1}当ZVo时,P{XYWz∣Y=O}=P{XO

≤z}=P{7}=0,FZ(z)=P{X≤z∣Y=1}•(1/2)=P{X≤z}∕2=Φ(z)/2；

当z≥0时，P{XY≤z∣Y=O}=P{X-0≤z}=P(Ω)=1,FZ(z)=1×1∕2+P(X

①(Z)

------z<0λ

E(z)=1f.2

口+φ(z)]Z≥O

Wz}∙1∕2=[1+①(z)]/2。即-故FZ(Z)

只有一个间断点Z=Oo

若IimM口-⑶]=2,则向]至ɪ=()β

3.1.vI)V

A、In3

B、In2

C、1

D、2

答案:D

1Π

因Iiin0+∙{3J=2，即I皿In「1+/(x)]=O，根据等价无

Ir*

穷小可知，U—。时，In(l+u)~u,故

1.hι[l+∕(-v)]/(X)

解析：—ɪ7V

设Q=∣x∣0≤x≤2㈠JχW<Y≤l}1=卜则否表示为（）。

4.-

<工3W=IjXIw;

A、I4-JI2.

B、

C、卜卜TUM<γ

IXIO≤Λ<g;u«χ[<χ≤l

答案：C

本题利用画数轴的方法，求交集_r1]，，、

H=JXx≤-,>U[x∣Λ>l]

所以—r1ɪ

.∙1B=Jx-≤x≤-U-XKY-

解析：I42

5.设A,B为n阶矩阵，考虑以下命题：①若A,B为等价矩阵，则A,B的行向

量组等价②若行列式.IB[则A,B为等价矩阵③若

Ax—Q^Bx--0都只有零解，则A,B为等价矩阵

④若A,B为相似矩阵,则AN=O^Bx—0的解空

间的维数相同以上命题中正确的是().

A、①③

Bx②④

Cv②③

D、③④

答案：D

工福谀集沙具汽

:若行列KHl-E*o∙砌a・/1为罅W瓯口若.4-∣Λ∣=Q∙埠自d.Ir不房g则不

统/证两名等价•拿电湿,

3者.∙U=0巧曲=Oina有零*,Ul£14,1=JtlbLn,因为<一Λ—•上敌

.4∙再为舞价.H-哂

i⅞.4.此KUI-用E)・4、-OWKR一∙乃看空同K谖屹力别为

〃一期<)<看怩号,印上俏：

解析：

6.设函数f(x)处处可导，且有f'(O)=1,并对任何实数X和h,恒有f(x

+h)=f(x)÷f(h)÷2h×,则f'(x)=Oo

A、x/2+1

B、X^2+1

C、2x

D、2x+1

答案：D

解析：f(×+h)=f(x)÷f(h)÷2h×,令x=h=0时，f(0)=O0则有

/(x+〃卜/(X)

r(χ)=⅛

shIcIIJ

=Iim"'"-/⑼+lim2x=∕(0)+2x=1+2x

JfTCh%—o

7.设aiH0(i=1,2,∙∙∙,n),bj≠0(j=1,2,∙∙∙,m),则矩阵

a`.bm

°^'的秩r(A)=。。

Avm

B、1

Cvn

D、2

答案：B

解析：因为矩阵A的任意两行都成比例，且每行元素均不为0,故r(A)=1o

8.

设1是秩为〃T的〃阶矩阵，扇与之是方程组d±=d的两个不

同的解向量，则X，=6的通解必定是：

TT

Aa1÷α2

Bkai

TT

C⅛(a1+α,)

D⅛(αl-a2)

A、A

B、B

C、C

D、D

答案：D

解析:

解：是一个齐次方程组。由于题目中说(O="T,所

以"-「=〃-(〃T)=1,说明=6的基础解系中只含一个向量。

有的同学做到这儿，直接把选项(A)>(C)>(D)都排除了,

这是完全错误的。比如说设扇=电扇，那么(C)选项就变

为了收，这不就是一个向量嘛，所以不能把(A)、(C).(D)

都排除了。但是(A)选项却是可以刚读完题就排除的,因

为题目的问题是“通解”，肯定要乘以任意常数七所以(A)

选项可以首先排除。我们从(B),(C).(D)中选择答案。

(B)选项错误。因为如果G是零向量的话，则G不能作为

基础解系(单个零向量是线性相关的而不是线性无关的)。

(O选项错误。因为当I=-N时,%工品,即G+项是零

向量。

(D)选项正确。因为题目中说了.5、五不同，所以小五不

可能是零向量.而单个非零向量是线性无关的。又因为

可以看成是国+月幻其中勺f7。由本章核心考点5的

“第三句话”可知，ZY是齐次方程组xf=6的解.所以房々

可以作为齐次方程组心力的基础解系,所以齐次方程组

.江=6的通解可以表示为血々)。

9.设为3阶矩阵，将的第2列加到第1列得矩阵，再交换的第2行与第3行得单

A.R修

....B.pΓ'p2

/1OO\/1OO\

Pl=IloP2=OO1C.尸2尸I

∖DU1/∖U1U，_pp—1

位矩阵，记，',则A=()D∙A%

A、A

B、B

C、C

D、D

答案：D

由于将A的第2列加到第1列得矩阵B,故

rI00、

ZllO=B,

、00Iy

即ZM=B,A=BP；\

由于交换B的第2行和第3行得单位矩阵，故

’100、

001B=E,

W10>

解析.即£5=其故B=gτ=外.因此，Z=舄耳1,故选(D).

10.

设/(工加3⑶在(-8,+00)上有定义，〃Z)为连续函数，且∕Q)B0,8(Mw间断点，则

AH∕(ar)历有间断点.

B[W(切2必有间断点.

C/L⑵,有间断点.

D

A、A

BxB

C、C

D、D

答案：D

,因为/(x)连续且不为零,所以在P(X)的间断点.及其领域内，/(x)→A,

更独~幽.所以，竺1必有间断点.存于A,WX)的间断点X。不一定在/(X)的值

/(x)A/(X)

,ɔχ>()

域范围内.对于B,以。(x)=<'为例，P(X)有间断点，[p(x)r没有•对于c,以

[-2,X≤0

B中的U(X)为例，如果/(2)=/(-2),则/[dx)]无间断点.

解析：

如果/Cr)=e-H,则[小史也等于：

11.Jɪ

ɪ]

A=+。B.』+cC.-Inr÷cD.lnx÷c

AvA

B、B

C、C

D、D

答案：B

解析：

提示:用凑微分法把式子写成ʃ/等改=J/(lnɪ)dlnɪ≈ʃ(lnr)÷c,再把Inr

代人/(z)=er,得"㈤=”=*1'=3得到答案B.

：1X>0

/W=]0X=Oɪ

5-1V.0F(I)=i∕(Qdz,

12.设∙，L,则。。

AvF(×)在X=O点不连续

B、F(×)在(-8,+∞)内连续，在χ=o点不可导

C、F(×)在(-8,+∞)内可导，且满足■(x)=f(x)

D、F(x)在(-8,+∞)内可导，但不一定满足*(χ)=f(χ)

答案：B

1x>0

由."K)=，OX=O可知,

1-1x<0

Xeo时，

F(X)=/(，业=「(T业=-X

x>0时，

尸(X)=[；/(‘四=£”=》

r/、-XX<O

F(O)=O,则尸(χ)=4。

''XX≥Q

因

ɪimF(x)=IimF(.r)=0=F(O)

x→0-x→(Γ

故F(X)在X=飒连续。

由导数定义可得

・小1-尸(X)-F(O)1∙-X-O1

F.(01=Iim——-----------=Iim---------=-1

X→O'Xχ→o∙X

Fj(O)=Iiin-=I

解析：故F(X)在X=侬:不可导°

13.设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布，则随机变量(=X+Y与η=XT不相

AE(X)=E(Y).

BE(X2)∙[E(X)]2=E(Y2)=[E(Y)]2.

CE(X2)=E(Y2).

2222

DE(X)+[E(X)]=E(Y)+[E(Y)].

关的充分必要条件为

A、A

B、B

C、C

D、D

答案：B

解析:

C与η不相关的充分必要条件是它们的相关系数PXY=O而PXY=所以只要考查CoVk

Cov(e,v)=Cov(X÷y,X-Y)=Cov(X,X)+Cov(Y,X)-Cov(X,Y)-Co

=Cov(X,X)-Cov(Y,Y)=DX-DY=0.

14.已知f（x）是微分方程∙IL∕∣T满足f（1）=o的特解，则

UAg=。。

A、π/4

Bv—π/4

C、-π∕8

D、π∕8

答案：C

由于

∫θ∕(.r)dr=.√∙(x)∣ŋ-^xf'(x^x=∕(l)-∫*-√,(.τ)dv

又因为y∣x∣-/(Xl=√Ξf及f(D=0,将其代入上式得

£/(X也=-J[/(X)+√iv-x2]dr

即

2

2∫o7(.r>=-ʃɔʌ/l-(-r-l)&=一；・“・「=一；

15.一弹簧压缩xcm需力4x牛顿,将它从原长压缩5cm外力所作的功为（）焦耳。

A、5

B、2

C、0.5

D、0.2

答案：C

Q±uIr=f54Λdv=501牛顿厘米)=0.5件顿•米)=0.5(焦耳I

斛析：.

16.以下命题正确的是().A.若事件A,B,C两两独立,则三个事件一定相互独立B.

设P(A)>0,P(B)>0,若A,B独立,则A,B一定互斥C.设P(A)>O,P

A、>0,若A,B互斥,则A,B一定独立

BvBB既互斥又相互独立,则P

C、=0或P

D、二O

答案：D

解析：当P(A)>0,P(B)>0时，事件A,B独立与互斥是不相容的，即若A,B独

立，贝IJP(AB)=P(A)P(B)>0,则A,B不互斥；若A,B互斥，贝∣]P(AB)=OWP(A)P

(B),即A,B不独立，又三个事件两两独立不一定相互独立，选(D).

17.

*2χ÷3v+1

'f(f)dt=F(X,y),L为从原点到点(1,1)的

J0''

任意简单光滑曲线，则积分Jj(2x+3y+l)(2dΛ∙+3dj∙)=()。

A、f(6)-f⑴

B、F(1,1)-F(0,0)

Gf(1)-f(0)

DvF(6,6)-F(1,1)

答案：B

f/(2x+3v+l)(2fl⅛+3<⅛')=|r/(2x+3X-+1W(2x+3X-+1)

-Ldrey(M=Ld尸厂(Ll)-WOP)

解析：…∙°"(°⑼

jjʤ)也由=4,时，T/G‰>)dy

18.使『一』<1成立的情况为()。

A、f(―x,y)=—f(×,y)

Bxf(—x,y)=f(×,y)

Cxf(—x,—y)=f(×,y)

D、f(—x,y)=f(×,y)且f(x,—y)=f(×,y)

答案：D

解析：由于积分区域关于X轴对称，也关于y轴对称，则要使

r

∫∫/(x,y)dxφ∙=4∫ι^dx∫^/(x,>∙)dv

'成立，则被积函数必须是关于

y和X均为偶函数，即f(—x,y)=f(×,y)且f(χ,—y)=f(×,V)O

∫J∕+2膏M=

19.Σ为平面x∕2+y∕3+z∕4=1在第一卦限的部分，则二ɔ

fχ∖

A∙击产

B.容O•

c.噌：产dj∙

D.±^f⅜⅛v

OO3J。

A、A

B、B

C、C

D、D

答案：C

解析：积分曲面方程x∕2+y∕3+z∕4=1,两边同乘4得2x+4y∕3+z=4,因Z

=4—2χ-4y∕3,则

z+2.τ+?JdS=(J4dS=4∣∣+zɪ+z.*dτch∙

J/4V(4A

Jl÷22+-drdr'ISz=4-2x——y

VU√k3)

二4痛I"ɪdτD：f+1≤Lχ≥0.y≥0

3JoJoz(23jJ

设有向里组CIl=(1>-192,4)f。2=5,1,2),θɜ=(3,0,7,

4),α=(1，-2,2,0),(2,1,5,10)则该向里组的极大无关组为

4Q5=，

()。

A.aɪ,。2，a3

B.aɪ,02>。4

C.aɪ,C4，。5

20.D.aɪ,C2,CI4，a5

AvA

BsB

CvC

D、D

答案：D

由

故Cl，α2,C4,。5线性无关，若再加一个向里必线性相关，故。1，。2,

解析：cψ。5是此向里组的极大线性无关组。

21.设a=[1,1,1},B={1,2,0},则下列结论中哪一个正确?Qo

A、CI与B平行

B、a∙B=3

C、a与B垂直

Dxa×β={2,-1,-1)

答案：B

解析：显然两向量不平行，a∙β=1-1+1•2+1-0=3。

cos∙r+zsinɪ

HVO

设/(z)=«ɪ

z

22.设.χ÷1①>0,则X=O是f(X)的:

A、可去间断点

B、跳跃间断点

C、振荡间断点

D、连续点

答案：D

解析：提示：求χτθ+'XTO-时函数的极限值，利用可去间断点、跳跃间断点、

振荡间断点、连续点定义判定，计算如下：

Iim(CoSX+;CSinɪ≈1+0=1,Iimd+l)=1,/(O)UI

χ→∙0-'工/h∙θ+

故Iimf(H)=IimfCT)=/(0),在H=O处连续。

J→θ+Λ**0~

23.

设参数方程「一'ω一,确定了》是工的函数，尸(力存在且不为零，则g

∖y≈tf{t)-f(t)

的值是：

A

∙-T⅛a□⅛yc∙~σ⅛D∙J⅛

A、A

B、B

C、C

D、D

答案：D

解析：

提示:利用参数方程求导公式求出把；求二阶导数时，先对t求导后，再乘t对工

的导数.计算如下:

I

ʤʤ-

-d-z

dɪ

dɪ一

di

22

T——yV=Z

曲线在原点处的法平面方程为:

24.y-χ

Ax×-y=0

B、y-z=O

Cxx+y=O

Dxx+z=0

答案：C

解析：提示：曲线的参数方程为：x=x,V=x,Z=O。求出在原点处切线的方向向

量，作为法平面的法线向量，Q=S=Uj,0），写出法平面方程。

25.

设均为%阶方阵，X=（XI…,x*y,fixrAx=xrBx,当（）时，A=B

A株A=秩B

BH=/

CBr=B

D=

A、A

B、B

C、C

D、D

答案：D

26.

设4.6均为四阶矩阵.且「（4）=4,「（3）=3,4和8的伴陵矩阵为A•和8',则，（A，IT

等于（）

A、1

B、2

C、3

D、4

答案：A

27.要使E[Y-(aX+b)]2达到最小,则常数a=Oob=Oo

A、a=Cov(X,Y)/D(X)b=E(Y)-[E(X)Cov(X,Y)/D(X)D(Y)]

B、a=Cov(X,Y)/D(X)；b=E(Y)-[E(X)Cov(X,Y)/D(X)]

C、a=Cov(X,Y)；b=E(Y)-[E(X)Cov(X,Y)/D(X)]

D、a=Cov(X,Y)b=E(Y)-[E(X)Cov(X,Y)/D(X)D(Y)]

答案：B

解析：E[Y-(aX÷b)]2=E[Y2-2aXY-2bY+a2X2+2abX÷b2]=E(Y2)-2a

E(XY)-2bE(Y)÷a2E(X2)+2abE(X)+b2记上式为f,则f为a,b的多

元函数，根据多元函数求极值的方法，则令fa'=-2E(XY)÷2aE(X2)÷2b

E(X)=0fb,=-2E(Y)+2aE(X)+2b=0解得a=[E(XY)-E(X)E(Y)]

/D(X)=Cov(X,Y)/D(X)b=E(Y)-aE(X)=E(Y)-E(X)Cov(X,Y)

/D(X)

设Z=U4rw,而U=MX,y),D="(y)均为可导函数，贝I］才是(

Zɔu∙I1nv÷2u•一ɪ

AxV

21

r26In"U•—

2uφ..Inv+U1•-∙ψl

C、fV

2uψw.一∙φ'

DvrVr

答案：C

l

­=2ιιφΛnυ+u^—ψ0

解析：廿U

已知/(χ)~oχ=:,g(x)=ex+1,!吧/[g(x)]=()。

29.I-'-1x>：

A、e^2-1

B、e^2+1

C、e^2

D、不存在

答案：D

[l+g(x)g(x)<2

/[g(X)]=,Og(x)=2

[g(x)-lg(x)>2

l+ex+le1+l<2

=<Oeγ+1=2

ex+l-lex+l>2

ex+2X<O

="OX=O

,∙-eτX>Oɪɪ.

解ft7析c：I其中

Iim/Ig(ɪ)I=Iim(e1+2)=3Iim/「g(X)I=Iimex=1

x→0-l,jXTO-',x→0-L'，」χ→0-

故国/[g(B

一不存在。

30.点(1,1,D到平面2x+y+2z+5=0的距离d=()o

A、10/3

B、3/10

C、3

Dv10

答案：A

d_∣2x1+1+2xl+5I_10.

解析：材+r+2’ɔ

31.

假设总体X~N(∣1,1),关于总体X的数学期望W有两个假设：⅛iIl=O,H：：μ=k设X：,

先，…，Xm是来自总体X的简单随机样本，又是样本均值，以UP表示标准正态分布水平P

双侧分位数；则在Ho的4个水平α=0.05的否定域中，第二类错误概率最小的否定域是

C)。

八仲之侬

A、4

ΓS=[3p≤‰s}

B、

%=PF≥‰)}

C、

匕仲≤%j

D、

答案：C

解析:

首先注意到4个否定域中，第一类错误概率都等于0.05.

解该题首先要靠直现“判断力”：因为统计量

ɪ-z/ɔ_.Y-O_-

L^WW

反映数学期望U与HK)的差异，当统计量U=3了的值大到一定程度时，否定氏：H=O,接受H：：

μ-=ι.因此应选择C.

其实，如果计算各否定域的第二类错误概率，则可以得到同样结论。事实上，由于在氐：H=I成立

的条件下U=3X~.V(3,1'∣，可见否定域V式k=l,2,3,4)的第二类错误概率为

t1

凤=*㈤,f-3

=i⅛ke2dt

利用正态分布函数数值表，可得：6I=O.14917,β;=0.999441,B产0.0877,β；=0.999998.

可见以近={3X>u0.10}为否定域的检验的第二类错误概率最小.

32.设有齐次线性方程组AX=O和Bx=O,其中A,B均为矩阵，现有4个命题：①若

AX=O的解均是BX=O的解，则秩(A)秩(B)；②若秩(A)秩(B),则AX=O的解均是B

x=0的解；③若AX=O与BX=O同解，则秩(A)=秩(B)；④若秩(A)二秩(B),则AX=

0与Bx=O同解

A、①②

B、①③

C、②④

D、③④

答案:B

解析：

本题也可找反例用排除法进行分析，但①②两个命题的反例比较复

杂一些，关键是抓住③与④，迅速排除不正确的选项.

若AX=O与BX=O同解，则n-秩(A)=n-秩(B),即秩(A)=秩(B),命题③成

立，可排除(A),(C)：但反过来，若秩(A)=秩(B),则不能推出AX=O与BX=O同

解，如,4=10,5=00,则秩(A)=秩(B)=I,但AX=O与BX=O不同解，

0OJ101

可见命题④不成立，排除(D),故正确选项为(B).

33.方程y'=(sinlnx÷coslnx+a)y的通解为。。

A.InIyI=xcos(Inx)+ax2+C

B.InIyI=xcos(Inx)+ax+C

C.InIyI=xsin(Inx)+ax2÷C

D.InIyI=xsin(Inx)+ax+C

A、A

B、B

CvC

DvD

答案：D

解析：原方程为y'=(sinln×+coslnx+a)y,分离变量并积分得Iny=ax+

ʃ(sinInx+cosInx)d×=ʃxcosInxdInx+ʃsinInxd×=ʃ×d(sinIn×)+ʃs

inInxdx=xsinInx÷Co故原方程的通解为InIyl=XSin(Inx)÷ax÷Co

34.设随机变量X,Y的分布函数分别为F1(x),F2(x),为使得F(x)=aF1(x)+bF2(x)

为某一随机变量的分布函数,则有0.

A、A

B、B

C、C

D、D

答案：D

解析：根据性质F(+8)=1,得正确答案为(D).

35.袋中有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的，现在两个人不放回地依次

从袋中随机各取一球。则第二人取到黄球的概率是()

A、1/5

B、2/5

C、3/5

D、4/5

答案：B

36.设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为4和2,则随机变量3X-2Y

的方差是()。

A、8

B、16

C、28

D、44

答案:D

解析：直接利用相互独立随机变量方差公式进行计算即可。D(3X-2Y)=32D(X)+2

2D(Y)=9X4+4X2=44

向量组7,a2a.线性无关的充分必要条件是0.

AA11A2个f⅛量不成比例

BA11A2A.是两两正交的^零向量组

Ci2A=(A,,A2,∙∙∙,A.),左期AX=O只WW

中向量的个数小于向量的的

DAI,A2A.

37.

A、A

B、B

C、C

D、D

答案：C

解析：

⅛SSa1,a2.......贝!hi,a2.......故(A)T7?;Sa1,a2.......a.

谭向fi½,则aι,a2,...,a,—但a2.....a.线性无关不-⅛W两止交,al,a2.....a,

个数小于向量fi⅛蛾不一(D环对，选(Q∙

38.

设。1。2。3线性无关Pi可由。1,0（2。3线性表示,β2不可由。1,0（2。3线性表示,对任意的常数k有O.

AAi,A2rA3,侬1

BA1,A2,A3,KBι+B2⅛^g^

CA[,A2,A3,B1+KB2线性无关

DA1,A2,A3,B1-KB2辎联

A、A

B、B

C、C

D、D

答案：A

解析：

-

因为瓦可由eq,a2,a3%½≡示，%不PJ由a],a2,0t3线性表示，所以kβ]+β2^≡不可以由向量组5,a2,0t3发性表示

1.a2,a3.kβι+β2⅛⅛æ5ξ,S（A）.

39.二次型/（4，工2，々）=46+（；1-1）或十（42+1）与，当满足（）时，是正定

二次型。

A、入>0

B、入>7

C、入>1

D、以上选项均不成立

答案：C

解析：提示：二次型f（x1,×2,x3）正定的充分必要条件是它的标准的系数全

为正，即又入>0,入-1>0,入2+1>0,推出入>1。

40.微分方程V[I∩y-∣n×]dx=xdy的通解是()。

Inɪ=Cx+1

AxX

C

y=

答案：A

欧拉方程χ2d2y∕dχ2+4xdy∕dx+2y=0（x>0）的通解为（）。

A.cι∕x-C2∕X3（其中q，C2为任意常数）

B∙Ci∕x+C2∕X2（其中口，C2为任意常数）

3（其中为任意常数）

C.c1∕x+C2∕XQ，C2

41D.q∕x-C2∕χ2（其中q，C2为任意常数）

A、A

B、B

C、C

D、D

答案：B

原方程为2。令则原方程可化为（

χ2dy∕dχ2+4χdy∕dx+2y=0χ=eLDD-

Dy+4Dy+2y=0,gpd2y∕dt2+3dy∕dt+2y=0o其相应的特征方程为R+

3r+2=（r+l）（r+2）=0,解得口=-1，项=-2。故变形后的方程得

通解为1则原方程的通解为。仅其中

Y=eɪe-+c2e^2t,Y=g∕x+22Cl，C2

解析：为任意常数。

微分方程*2/+的。3丫=*3的通解为()。

A.y=cι∕x3+C2×+X3∕12

B.y=cι∕χ3+C2X+∕∕9

C.y=q∕χ3+c2X+N∕6

420∙y=cι∕x3+c2×+^∕3

A、A

B、B

C、C

D、D

答案：A

原微分方程为χ2y"+3xy∙-3y=x3,其欧拉方程形式为D(D-I)y+3Dy-

3γ=e3t,即D2y+2Dy-3y=e3t,即d2y∕dt2+2dy∕dt-3y=e3t。解得其通

的H解为y=qe-3t+C2et+e3t∕i2,即y=cι∕x3+C2X+×3∕12o

ɑl仇C)-

Cli仇Cz

43.设矩阵_。3。3Q_是满秩的，则直线

*一。3ɪ-a

=y-b,=Z-C3rl_y-bx_Z-Ci

Cl--一仇c—C

Qi-a2b∖—b2C2a2—a3b223

Av相交于一点

B、重合

C、平行但不重合

D、异面

答案：A

解析:

bχ

经初等会醺阵的秩不变，由仇—b\.可划≡者的秩W为3厮以

b»—bt

vɪ=(at-a2,b1-b2,eɪ-c2>⅛v2=(a2-a3,b2-b3,c2-c3)^⅛½5ξ,Sitt可丹峰(B).各取一点(a3,b3

(a1,b1rc1),又可βig向Sv-(a3-aι,b3-t>1,c3-c1),JQ≡v,vɪ,v2ft®,则两≡v.v1,v2^¾ffi,贝强

面，为此可用混合积

量螺出V+Vι+V2=0,IfKlSS(A).

【谱1】①≡间解析几何与线性代数哈合题考过几个，这是其中之一.讨论的是秩与两条直空间位置的关至.

②本题有许多考生选了瘦原因是

(D),!Λ∣⅛∣I两觥PF行后，由第点出,b3,c3),第二条点(a-b1

而⑶，b[,c1)≠(a3.b3,c3).,S≡^Λ^t>7∙

已知函数的全微分df(x，y)=(3x2+4xy-y2+1)dx+(2x2-2xy+3y2

-1)dy,则f(x，y)等于《)。

A.χ3+2x4-xy2+,+x-y+C

B.x3-2x2y+xy2-y3+x-y+C

C.x3+2x2y-xy2+y3-x+y+C

44.D.x3+2xy2-xy2+y3+x-y+C

A、A

B、B

C、C

D、D

答案：A

由题意知af∕3x=3χ2+4χy-y2+ι,两边对球积分，贝ι]f=J(∂f∕∂×)

dx=xɜ+2x2y-xy2+x+C(y),9f∕9y=2x2-2xy+C,(y))又因

为用为=女2-矽+3--1,故Cyy)=3y2-l,进而有C(y)=

y3-y+C>f=x3+2×2y-xy2+y3+x-y+Co故应选(A)。

解析:

已知函数人工)在H=I处可导，1Uim-4一3工⑴=2,则广⑴等于:

jr-*JX1

,uA.2B.1CɪD.-ɪ

45.Oɔ

A、A

B、B

C、C

D、D

答案：D

解析：解：可利用函数在一点xθ可导的定义，通过计算得到最后结果。

(匕丝/⑴Gim江世啜3架H⑴X3

LIx-lx-ι3(χ-1)

a

^3lim≡⅛=^≈-3r<l)=2

∕→4,r→∙O∕→C-t

/(l)=-⅜

O

选D。

46.设曲线L是任意不经过y=0的区域D的曲线，为使曲线积分

22α22σ,

ʃ—(x+y)dr-^τ(x+y)φ

r.vʃ'与路径无关，则α=()。

A、-1/2

B、-1/3

C、5/2

D、3/2

答案：A

为使曲线积分与路径无关，则积分需满足ao/ðX=ap/ay，则

∂OIxI->∖βX2/■>2∖αT一

管=-γτ(x+J'2-)-—α(x*+v^)∙2x

/,,α-ι2x+2x'+2ax^

=(∙r÷>∖")----------------∖--------------

∂PX/22∖aX(22∖a-lC

—="FK÷>'^)+-<z(x^+>1^∙2y

cyyy

/，、廿1xf+∏∙2-2aτιj

=(丁+.V----------J———

y

∂QJ∂×=∂P∕∂y,gp2x3+2×y2+2ox3≡x3+xy^-2αxy2,由x¾系数

解析:左右相等可得2+2。=1,故C=-1/2。

47.

设n阶矩阵A的伴随矩阵w0,若备,易,刍,金是非齐次线性方程组/X=力的互

不相等的解，则对应的齐次线性方程组∕x=0的基础解系

A、不存在

Bx仅含一个非零解向量

Cv含有二个线性无关解向量

D、含有三个线性无关解向量

答案：B

'匕萼，χ≠0

设八Q二',则f（X）在X=O时的6阶导数f6（O）是（）。

48.中x=°

Ax不存在

1

B、"6^

C、1/56

D、-豆

答案：D

解析:

由于“、I-COSXX2X4r.所以A、11：14ɪ；,-因为

F(Xj=—,—=i-i+------------+—.../X-------X+-X-------X+...

`X-2!4!6!2!4!6!8!

X

/"(O),，令n=6,由函数展开式的唯一性：/“0)1'所以

,

∕ω=∑一'’”X.------=—

*”!6!8!

∕s1(0)=--=-ɪ°

8156

49.已知n阶可逆矩阵A的特征值为入0,则矩阵(2A)-1的特征值是:

ΛɪB.⅛1

D.2λ0

λo乙2λ0

A、A

B、B

C、C

D、D

答案：C

解析：

提示:A的特征值为;G2A的特征值为2晨(2A)T的特征值为东

50.

设n阶矩阵A的伴腹矩阵4*≠0看&,&,&,&＞非齐次线性方程组4X=b的互不相等的解，则对应的齐次线已

组Ar=(加基讹解系

A、不存在

Bx仅含一个非零解向量

Cv含有两个线性无关的解向量

D、含有三个线性无关的解向量

答案：B

要确定基础解系含向量的个数，实际上只要确定未知数的个数和系数矩阵

的秩.

因为基础解系含向量的个数="-r(A),而且

n,r(Λ)=n,

r(T)=∙Lr(.4)="-L

O.r(A)<n-l.

根据已知条件T=O,于是r(d)等于〃或“-L又Jx=A有互不相等的解,

解析：即解不惟一，故"/)=”-1.从而基础蟀系仅含一个解向量，即选(B).

^120'

A

230

002_

'120'

B

240

002

"1-20^

C

-250

一00-2一

'200"

D

012

025

51.下列矩阵为正定的是

A、A

B、B

C、C

D、D

答案：D

157O

2O36

D=

1234

52.设2222,则人11+人12+人13+人14等于：（其是AIj为元素a1j

G=1,2,3,4）的代数余子式）

A、-1

B、1

CxO

D、-2

答案:C

解析：提示：分别求A11、AI2、AI3、A14计算较麻烦。可仿照上题方法计算，

求A11+A12+A13+A14的值，可把行列式的第一行各列换成1后，利用行列式的运

1111

2O36

O

1234对应元素°

成比例

算性质计算。A11+A12+A13+A14=2222

53二次型Q（X：，X：，x：）=x、+2x：x;+2x；;+4x;x：+4x：：的标准形为（）。

Axy2ι-y22

B、y2ι+y22-*y23

C、y2ι+y22-y23

D、y2ι+y22

答案：D

解析:

用配方法，有：Q(xι>x∑>X；)=xi-÷2xlx∑+2xt∑+4x∑x；+4xi；=(xι+x∑)t+(x∑+2xz)iI:⅛fγ=y'ι+yZ

54.设总体X〜N（U,。”），其中。”