山东省枣庄市滕州市2022-2023学年高二上学期期末考试数学试卷

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高二年级质量检测

数学试题

2023.02

注意事项：

L答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写

在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知α=(2,5,8)1=(—3,4,T),则α+0=()

A.(5,l,4)B.(3,9,12)C.(-l,l,4)D.(-l,9,4)

22

2.双曲线3_一匕=1的焦距为()

54

A.lB.2C.3D.6

3.过点A(2,3)且与直线/:2x—4y+7=0平行的直线方程是()

A.x-2y+4=0B.2x+y-7=0

C.2x—y—1=0D.x+2y—8=0

4.在等比数列｛4,,｝中，ai+a2=2,a5+ab=4,则09+αω=()

A.2B.4C.6D.8

5.如果圆/+了2+瓜+份+尸=0(£>2+£2—4尸>0)关于直线丁=%对称，则()

A.D+E=。BD=ECD=FD.E=F

6.如图，在四棱锥P-ABC。中，底面ABcD是边长为1的正方形，侧棱w的长为1,且∕¾

与AB,A。的夹角都等于60,若〃是PC的中点，则IBMI=()

A∙TB4C∙TD7

7.已知数列｛a,J满足4,M-4=2〃-11,且4=1(),则α“的最小值是()

A.-15B.-14C.-HD.-6

22

8.已知椭圆=1（。＞方＞0）的左、右焦点分别为耳，鸟，经过式的直线交椭圆于

靛+F

A,B,8的内切圆的圆心为/,若3∕B+4Z4+5∕E=0,则该椭圆的离心率为（）

A正B.-C.立D.-

5342

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选

项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的

得0分.

9.下列说法中，正确的有（）

人.直线丁=4%+2）+3（”用必过定点（2,3）

B.直线y=2x-1在y轴上的截距为1

C.直线J5x—y+2=（）的倾斜角为60

D.点（1,3）到直线丁一2=0的距离为1

10.等差数列｛α,,｝的前〃项和为5“，若q＞（）,公差d≠0,则（）

A.若S5=S9,则必有Si4=0

B.若S5=S9,则必有S1是Sn中最大的项

C若$6＞5,则必有跖＞Sg

D若Ei＞$7,则必有原〉生

11.在四棱锥P—ABC。中，底面ABCo是边长为2的正方形，B4_L平面ABCr>,且

PA=2∙若点及EG分别为棱AB,AD,PC的中点，则()

A.AGJ"平面PBD

B.直线FG和直线AB所成的角为一

4

C.当点T在平面PBO内，且Z4+7G=2时,，点T的轨迹为一个椭圆

D.过点E£G的平面与四棱锥P-ABcD表面交线的周长为2√Σ+

12.已知抛物线=2PX(P〉0)与圆。：/+、2=5交于4,8两点，且IABl=4,直线/

过抛物线C的焦点尸，且与抛物线C交于",N两点，则()

A.若直线/的斜率为丰，则IMNl=8

B.∖MF∖+2∖NF∖的最小值为3+2血

C.若以M尸为直径的圆与y轴的公共点为(0,乎］,则点M的横坐标为I

D.若点G(2,2),则GRW周长的最小值为3+石

三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.等差数列｛%｝中g=2,%=8,则数列｛α,,｝的前5项和S5=.

14.若空间向量a=(lJl),0=(l,0,l),c=(l,2,∕n)共面，则实数加=.

15.与两圆(x—1)2+)?=1,尤2+,2一］(比+6,+18=0均相切的一条直线的方程为

16.椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是一个圆，这个圆称为该椭圆的“蒙日圆”,

22

圆心是椭圆的中心.已知长方形ABcO的四条边均与椭圆C:土+E=1相切，则椭圆C的

63

蒙日圆方程为:长方形43C。的面积的最大值为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分10分)

设圆。的方程为f+y2-4x-5=0.

(I)求该圆的圆心坐标及半径；

(2)若此圆的一条弦AB的中点为P(3,l),求直线AB的方程.

18.（本小题满分12分）

设Sn为数列｛4｝的前〃项和，己知见〉O,且α,,,Sn,a：成等差数列.

（1）求数列｛4｝的通项公式；

a“,〃为奇数，

（2）设?=<1"为偶数求数列出｝的前2。项和心。・

aa

nn+2'

19.（本小题满分12分）

在三棱柱ABe-ABICl中，AAlj■.平面A8C,AB_LAC,AB=AC=AA1=1,Λ/为线段

AG上一点.

（1）求证：BM1ABi.

TT

（2）若直线ABl与平面BCM所成角为一，求点A到平面BCM的距离.

4

20.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P—ABCD中，COL平面~4。，PAo为等边三角形，

AD//BC,AD=CD=2BC-2,E,F分别为棱PD,PB的中点.

（1）求平面AEF与平面24。所成锐二面角的余弦值；

（2）在棱PC上是否存在点G,使得。G〃平面AEE?若存在，确定点G的位置；若不

存在，说明理由.

21.（本小题满分12分）

已知公比大于1的等比数列｛4｝满足%+%=20,%=8.

（1）求｛4｝的通项公式;

（2）记篇为｛4｝在区间（O,m］（m∈N*）中的项的个数，求数列仇｝的前50项和S50.

22.（本小题满分12分）

V-2

如图，已知椭圆C:j+y2=i（a>i）,其左、右焦点分别为£,F,,过右焦点工且垂直于X

a

轴的直线交椭圆于第一象限的点P,且sin/尸耳氏=-.

3

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点且斜率为我的动直线/交椭圆于AB两点，在y轴上是否存在定点M,

使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.

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数学参考答案及评分标准

一、单项选择题（每小题5分，共40分）

题号12345678

答案DDADBCAA

二、多项选择题（每小题5分，共20分）

9.CD10.ABC11.ABD12.BCD

三、填空题（每小题5分，共20分）

13.2514.115.y=l或4x-3y-9=0或24x+7y+l=0（答案不唯一）

16.X2+/=9；18

四、解答题（共70分）（注意：答案仅提供一种解法，学生的其他正确解法应

依据本评分标准，酌情赋分.）

17.（本小题满分10分）

解：（1）由圆C的方程为f+y2-4χ-5=0,

则（x-2>+y2=9

所以可知圆心C（2,0）,半径r=3.

1-0

（2）由弦AB的中垂线为CP，则ZCP=晨5=1，

所以可得"B=T∙

故直线AB的方程为：y-l=（-I）（X-3）

即x+y—4=0.

18.（本小题满分12分）

解：（1）由题意得：2S„=a；+an,

2

当〃=1时，2α∣=2S∣=αl+ax,

又。“>0,所以α∣=l.

当〃22且〃eN*时,

2%=2S〃-2Sflτ=a；+an-⅛1-an.l

整理可得：a；—dτ=(%+%)(%一%)=4+%,

因为a“+an_t>0,

所以a“—/T=L

所以数列｛%｝是以1为首项，1为公差的等差数列.

所以见=〃.

（2）由（1）得:

cιnan+2〃(〃+2)2∖nn÷2)

所以40=(4+4++%)+(伪+%++仿0)

=(1+3++19)+

^44^6⅛^⅛)

10×(l+19)

2

=100+9

22

2205

22

19.(本小题满分12分)

解：（1）因为AA1，平面A8C,A5,ACu平面A8C，

所以A41lAB,AAj±AC,

又ABj_AC,

因此建立如图所示的空间直角坐标系.

X

则4(0,0,1),8(1,(),0),4(1,0,1),C(0,1,0).

设M(O,α,D(αe[0,l]),

则BM=(TM,1),A4=(1,0,1).

则8W∙做=-l×l+tz×O+l×l=O,

所以.44.

(2)设平面BCM的法向量为“=(x,y,z),BM=(-lM,l),3C=(T,l,0)

n-BM=0-X+αy+z=0

所以有〈即《

∏BC=O-x+y=0

令X=1,可得〃=(l,l,l-a).

TT

因为直线的与平面BCM所成角为“

AB∙n

所以，1

CoS(A4”HH

√2×√l2+l2+(l-α)22

解得α=g,即〃=[1,1,；).

因为AB=（1,0,-1）,所以点4到平面BCM的距离为:

20.（本小题满分12分）

解：（1）取AO的中点O,连接。P,。氏

因为在四边形ABCD中，AD//BC,AD=IBC,

所以OD〃BC,OD=BC,

所以四边形QBCO是平行四边形,

所以O8〃CD.

因为CD_L平面/%。,

OAoPU平面尸4)

所以CDLOA,CDLOP

所以。8，。AO3_LQP.

又在等边.7¾。中，。是AO的中点，所以OPLQ4.

故以。为原点，Q4,O3,OP的方向分别为X轴，＞轴，Z轴的正方向,

建立空间直角坐标系.

则4（l,0,0）,B（0,2,0）,C（T,2,0）,D（T,0,0）,P（0,0,@.

故E

\

EA=

n-EA=0,

设平面AEF的法向量”=(x,y,z),则

n-EF=0.

3.4=。,

即《22令X=2,〃=（2,-1,26）.

1

-x+y=0.

又平面B4D的法向量加=OC=(0,2,0).

设平面AEb与平面PA。所成的锐二面角为8,所以

即平面AEF与平面PA。所成的锐二面角的余弦值为*.

17

(2)设点G满足PG=TIPC=(—42∕l,-岳),2«0』.

所以G(-42∕1,>Λ-G∕1).

则DG=(-Λ+1,2Λ√3-√3Λ).

因为。G〃平面AEF，

所以OG∙∕ι=2(—4+1)—22+26(6—6)=0.

4

解得∕l=W∙

PG4

即棱PC上存在点G,使得OG〃平面AEF，且不：==.

PC5

21.(本小题满分12分)

解：(1)由于数列｛%｝是公比大于1的等比数列，

设首项为q,公比为q,

*ɔ

aq+aq=20

依题意有《x1∖x1，

*=8

解得：4=2,4=2或4=32,q=g(舍).

所以4=2".

(2)由题意，2"≤m>即2VlogzWJ,

当Zn=I时，b∣=0.

r

当〃蚱[2*,2*+|—1)时，bm=k,keN.

++

则S50=4+(4+4)+(4+优++¼)++(⅛2+⅛⅛)

=0+l×2+2×4+3×8+4×16+5×19

=193.

22.(本小题满分12分)

解：(1)设P(c,%),代入椭圆方程，由/K?+],

解得IPKl=%=L

M1

因为SinNP46=

I呐3

3

所以∣P6∣=∖∙

1Q

^∖PFi∖+∖