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文档简介
专题13旋转中的全等模型(解析版)
类型一对角互补模型
(1)正方形中的半角模型
(2021春•平阴县期末)如图,在正方形ABCD中,E、F是对角线8。上两点,且∕EAF=45°,将4
AoF绕点A顺时针旋转90°后,得到AABQ,连接EQ.
(1)求证:∆AEβ^∆AEF;
(2)求证:EF2DF2+BE2;
(3)当尸是8。的中点时,判断四边形。的形状,并说明理由.
思路引领:(1)由旋转的特征可得AQ=A凡ZBAQ=ZDAF,由正方形的性质可得NBAO=90°,还
有已知条件∕EAF=45°,于是可证明NEAQ=/E4F,可证明AAEQ也Z∖AEF;
(2)由旋转的特征可得∕ABQ=∕AOF=45°,BQ=DF,可证明∕E8Q=90°,由44EQgZ∖AE/得
EQ=EF,在Rt∆BEβ中用勾股定理可证得结论:
(3)当F是B。的中点时,四边形AFEQ是正方形,可由(1)和(2)的结论先证明四边形AFEQ有三
个角是直角,则四边形AFEQ是矩形,再由AQ=AF得,四边形AFEQ是正方形.
(I)证明:如图1,∙;四边形ABC。是正方形,
/.ZBAD=90°,
由旋转得,AQ=AF,ZQAB^ZFAD,
尸=45°,
:.ZBAE+ZFAD=W3-45°=45°,
:.ZEAQ=ZBAE+ZQAB=ZBAE+ZFAD^45°,
.∙.∕E4Q=NEAF=45°,
在AAEQ和AAE尸中,
AQ=AF
乙EAQ=Z-EAFy
AE=AE
.,.∆AEQ^∆AEF(SAS).
(2)证明:如图1,':AB^=AD,N8AO=90°,
.∙.NABE=/AOF=45°,
由旋转得,/48。=/ACF=45°,BQ=DF,
NE8Q=N48E+/ABQ=90°,
LEQ2=BgBE2,
由(1)得,∆AEβ^∆AEF,
;.EQ=EF,
:.EF2^DF2+BE2.
(3)四边形A尸E。是正方形,理由如下:如图2,
当点F是B。的中点时,则BF=DF,
.∖AF±BD,/3AF=NZMF=*∕2AZ)=45°,
;NEA尸=45°,
:.NEAF=NBAF,
.∙.AE与AB重合,点E与点B重合,
ΛZAEF=ZABD=45a,NA尸E=NAFB=90°,
由旋转得,NAEQ=∕AOF=45°,N。=/AFZ)=90°,
ΛZFEρ=90",
四边形AFEQ是矩形,
':AQ=AF,
.∙.四边形AFEQ是正方形.
总结提升:此题重点考查正方形的性质与判定、旋转的特征、全等三角形的判定以及勾股定理等知识与
方法,此题难度不大,但综合性较强,是很好的习题.
(2)等腰三角形中的半角模型
2.(2021秋•东坡区期末)如图,AABC是边长为6的等边三角形,BD=CD,NBDC=I20°,以点。为
顶点作一个60°角,使其两边分别交AB于点M,交AC于点N,连结MN,则AAMN的周长是.
思路引领:要求的周长,根据题目已知条件无法求出三条边的长,只能把三条边长用其它已知边
长来表示,所以需要作辅助线,延长AB至F,使BF=CN,连接QF,通过证明aBQF丝Z∖CNQ,g
DMN学ADMF,从而得出MN=MF,AAMN的周长等于A8+AC的长.
解:•.•△8〃。是等腰三角形,且/8/乂;=120°,
:.ZBCD=ZDBC=3Q°,
VΛABC是边长为4的等边三角形,
二/ABC=NB-BCA=60°,
.".ZDBA=ZDCA=90°,
延长AB至尸,使BF=CM连接。F,
在ABDF和ACND中,
BF=CN
LFBD=/.DCN,
DB=DC
.∖ΛBDF^∕∖CND(SAS),
:.NBDF=aCDN,DF=DN,
,:ZMDN=60a,
:.NBDM+/CDN=W,
ΛZBDM+ZBDF=60a,
在AOMN和aOMF中,
MD=MD
乙FDM=&MDN,
DF=DN
:,ADMNW4DMF(SAS),
:.MN=MF,
:.LAMN的周长是:AM+AN+MN^AM+MB+BF+AN=AB+AC^6+6=12.
故答案为:12.
总结提升:此题考查了全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质;主要利用等边三角形和等腰三角形
的性质来证明三角形全等,构造另一个三角形是解题的关键.
3.(绍兴中考)如图2,等腰直角三角形ABC中,NBAC=90°,AB=AC,点M,N在边BC上,且
ZMAN=45°,若BM=1,CN=3,求MN的长.
思路引领:(1)证△4£>G丝AABE,∆ME^∆MG,根据全等三角形的性质求出即可;
(2)过点C作CELBC,垂足为点C,截取CE,使CE=BM.连接AE、EN.通过证明44BM岭CE
(SAS)推知全等三角形的对应边AM=AE、对应角/BAM=NCAE;然后由等腰直角三角形的性质和/
MAN=45°得到∕MAN=NEAN=45°,所以N(S45),故全等三角形的对应边MN=EN;
最后由勾股定理得到EN2=EC2+NC2即MN2=BM2+NC2.
(1)证明:在正方形ABeQ中,
ZABE^ZADG,AD^AB,
在AABE和AADG中,
AD=AB
乙ABE=∆ADG
DG=BE
ΛΛABΛADG(SAS),
,NBAE=∕DAG,AE=AGf
ΛZEAG=90o,
在AFAE和AEAG中,
(AE=AG
∖∆EAF=∆FAG=45°,
MF=AF
Λ∆ME^∆MG(SAS),
IEF=FG;
(2)解:如图,过点C作CELLBG垂足为点C,截取CE,使CE=8M.连接AE、EN.
VAB=AC,NBAC=90°,
:.ZB=ZACB=45°.
,:CELBC1
:.ZACE=ZB=45o.
在AABW和aACE中,
AB=AC
Z.B=Z-ACE
BM=CE
:.∕∖AACE(SAS).
:.AM=AEfNBAM=NCAE.
∙.∙N8AC=90°,NMAN=45°,
.'.ZBAM+ZCAN=45o.
于是,由/BAM=NCAE,得NMAN=NEAN=45°.
在AMAN和4E4N中,
AM=AE
乙MAN=乙EAN
AN=AN
Λ∆MA∕V^∆EA∕V(SAS).
IMN=EN.
在RtAENC中,由勾股定理,得EN2=EC2+NCL
.∖MN2^BM2+NC2.
•:BM=1,CN=3,
ΛM∕V2=l2+32,
:.MN=√10
总结提升:本题主要考查正方形的性质,全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定
理的综合应用.
类型二对角互补且一组邻边相等的半角模型
4.(2022春•简阳市期中)如图,等边三角形ABC的边长为4,点。是aABC的中心,ZFOG=120",
绕点。旋转NFOG,分别交线段AB、BC于。、E两点,连接给出下列四个结论:①OD=OE;②
SAODE=SABDE;③四边形0E>8E的面积始终等于1√3;④ZSBCE周长的最小值为6.上述结论中正确的
有(写出序号).
思路引领:连接OB、OC,如图,利用等边三角形的性质得NAB。=NoBC=NOCB=30°,再证明/
BOD=ZCOE,于是可判断aBOO之ACOE,所以BQ=CE,OD=OE,则可对①进行判断;利用SABoD
=SACOE得到四边形ODBE的面积=聂MBC=誓,则可对③进行判断;作OHLDE,如图,则DH=EH,
计算出SAODE=亨0E2,利用SAODE随OE的变化而变化和四边形ODBE的面积为定值可对②进行判断;
由于aBQE的周长=BC+OE=4+QE=4+√5OE,根据垂线段最短,当OE_LBC时,OE最小,Z∖BQE的
周长最小,计算出此时OE的长则可对④进行判断.
解:连接。8、OC,如图,
:△ABC为等边三角形,
ΛZΛBC=ZACβ=60o,
:点。是A48C的中心,
.,.OB=OC,OB、OC分别平分NA8C和NACB,
.∖ZABO=ZOBC=ZOCB=30o,
・・・N30C=120°,即N3OE+NCOE=120°,
而NQoE=I20°,即N3OE+N3OQ=120°,
/.ZBOD=ZCOEf
在ABOD和aCOE中
ZBOD=∆COE
BO=CO
ZoBD=∆OCE
:・XBODQXCOE(ASA),
:.BD=CE,OD=OE,所以①正确;
:∙SABOD=SACOE,
,四边形ODBE的面积=SAOBC=^5ΔΛBC=∣××42=所以③正确;
作O”J_DE,如图,则DH=EH,
VZDOE=120°,
;・NODE=NOEH=30°,
/.OH=∣(9E,HE=aOH=噂OE,
:.DE=虚OE,
JSAODE=∣∙⅛f∙√30E=坐0炉,
即SΛODE随OE的变化而变化,
而四边形ODBE的面积为定值,
.∙.SM)DE≠SABDE;所以②错误;
YBD=CE,
:./XBDE的周长=Bo+BE+。E=CE+8E+OE=BC+OE=4+QE=4+√5OE,
当。EJ_BC时,OE最小,ZXBOE的周长最小,此时OE=苧,
.♦.△8DE周长的最小值=4+2=6,所以④正确.
故答案为①③④.
总结提升:本题考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角
等于旋转角;旋转前、后的图形全等.也考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质.
5.(2022秋•西城区校级期中)(1)问题背景.
如图1,在四边形ABCO中,AB=AD,ZB+ZD=180°,E、尸分别是线段BC、线段CD上的点.若
NBAD=2NEAF,试探究线段BE、EF、FZ)之间的数量关系.
小明同学探究此问题的方法是,延长FD到点G.使。G=BE.连接AG,先证明AABE也Z∖AZ)G.再证
明AAE尸丝ZSAGF,可得出结论,他的结论应是.
(2)猜想论证.
如图2,在四边形A8CZ)中,AB=AO,ZB+ZADC=180o,E在线段BC上、下在线段CD延长线上.若
NBAo=2NEAF,上述结论是否依然成立?若成立说明理由;若不成立,试写出相应的结论并给出你的
证明.
(3)拓展应用.
如图3,在四边形ABC。中,NBDC=45°,连接8C、AD,AB∙.AC:BC=3:4:5,AD=4,S.ZABD+
ZCfiD=180°.则的面积为.
思路引领:(1)延长FQ到点G.使DG=BE.连接AG,即可证明aABE也△A。G(SAS),可得AE
=AG,再证明4AEF0Z∖AGF(SAS),可得EF=FG,即可解题;
(2)在BE上截取BG,使BG=Z)凡连接AG.根据(1)的证法,我们可得出。F=8G,GE=EF,那
么EF=GE=BE-BG=BE-DF.
(3)如图3中,如图3中,过点。作。HIAB交AB的延长线于"OK_L4C交AC的延长线于K,DJ
LBC于■/.证明四边形A7/QK是正方形即可解决问题.
解:延长F。到点G.使Z)G=BE,连接AG,
图1
VZB+ZΛDF=180o,ZΛDF+ZADG=180°,
ZADG=ZB,
在aABE和AADG中,
BE=DG
乙B=Z.ADG»
AB=AD
:.∕∖ABE^ΛADG(SAS),
:.AE=AG.NBAE=NDAG,
•:/BAD=2/EAF,
:.ZGAF=ZDAG+ZDAF=ZBAE+ZDAF=ZBAD-NEAF=AEAF,
:.AEAF=AGAF,
在/和AAGb中,
AE=4G
∆EAF=∆GAF,
AF=AF
Λ∆ΛEF^∆AGF(SAS),
IEF=FG,
∖'FG=DG-^DF=BE+DFt
:.EF=BE+DF;
故答案为:EF=BE+DF.
(2)结论EF=8E+FO不成立,结论:EF=BE-FD.
理由如下:证明:如图2中,在BE上截取BG,使BG=O'连接AG.
VZB+ZADC=180o,ZADF+ZADC=∖S0o,
:.ZB=ZADF.
Y在AABG与aAO尸中,
AB=AD
∆ABG=∆ADF
BG=DF
:.∕∖ABG^∕∖ADF(SAS).
:.ZBAG=ZDAFfAG=AF.
:.NBAD=ZBAG+ZGAD=ZDAF+ZGAD=ZGAF.
':ZBAD=2ZEAFf
:.AGAF=IZEAFi
:.ZGAE=ZEΛF.
*:AE=AE,
:.∆ΛEG^∆AEF(SAS).
:.EG=EF
YEG=BE-BG
:.EF=BE-FD.
(3)如图3中,如图3中,过点。作。LAB交A8的延长线于"QK_LAC交AC的延长线于K,DJ
_L8C于J.
A
图3
VΛB:AC:BC=3:4:5,
・•・可以假设A5=3匕AC=4k,BC=5k,
222
.∖AB+AC=BC1
ΛZBAC=90o,
YN"=NK=90°,
・•・四边形A"QK是矩形,
.∖ZHDK=90o,
VZBDC=45o,
:・NBDH+∕CDK=45°,
VZABD+ZCBD=∖S0a,NABD+/DBH=180°,
:./DBH=NDBC,
•:∕H=∕DJB=90°,DB=DB,
:・ABDH乌ABDJ(AAS),
IDH=DJ,ZBDH=ZBDJfBH=BJ,
VZBDJ+ZCD√=45o,ZBHH^ZCDK=ZBDJ+ZCDK=45°,
:・NCDJ=/CDK,
a
*:ZK=ZDJC=90,CD=CDf
,4CDK<4CDJ(AAS),
IDJ=DK,CJ=CK,
:.DH=DKf
・・・四边形44。K是正方形,
,BH+CK=BJ+CJ=5k,
.∖AH+AK=∖2kf
LAK=KD=Sk,
∖'AD=4,
:∙AK=DK=2>[i=6k,
..42
∙'k=τ,
.4√2
•∙AC^~ɜ~~,
114√2L8
..SMCD=^,AC∙DK=2,~^~×2√2=ɜ.
故答案为*
总结提升:本题考查了四边形综合题,三角形全等的判定和性质;本题中通过全等三角形来实现线段的
转换是解题的关键,没有明确的全等三角形时,要通过辅助线来构建与已知和所求条件相关联全等三角
形.
6.(2020秋•海淀区期中)已知四边形ABCD中,AB±AD,BCLCD,AB=BC,NABC=I20°,NMBN
=60°,NMBN绕B点旋转,它的两边分别交AO,DC(或它们的延长线)于E,F.
(1)当NMBN绕B点旋转到AE=CF时(如图1),试猜想线段AE,CF、EF之间存在的数量关系
为.(不需要证明);
(2)当NMBN绕8点旋转到AEWCF时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立?若成立,
请给予证明;若不成立,线段AE、CF.EF又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明.
思路引领:(1)延长。C至点K,使CK=AE,连接BK,分别证明△%!£;丝Z∖BCK'AKBFZAEBF,
根据全等三角形的性质、结合图形证明结论;
(2)延长OC至G,使CG=AE,仿照(1)的证明方法解答.
解:(1)AE+CF=EF,
理由如下:延长Z)C至点K,使CK=AE,连接BK,
图2
在aAAE与ABCK中,
BA=BC
∆BAE=NBCK,
.AE=CK
:.ABAEmABCK(SAS),
:.BE=BK,NABE=NKBC,
:NFBE=6Q°,/ABC=120°,
:.AFBC+AABE=GQta,
NFBC+NKBC=60°,
:.NKBF=NFBE=60°,
在AKBF与AEBF中,
BK=BE
Z.KBF=AEBF,
.BF=BF
:.AKBF-EBF(SAS),
:.KF=EF,
:.AE+CF=KC+CF=KF=EFi
(2)解:AE-CF^EF,
理由如下:延长。C至G,使CG=AE,
G-D
图3\
由(1)可知,∆BΛE^∆BCG(SAS),
:.BE=BG,ZABE=ZGBC,
NGBF=NGBC-NFBC=NABE-NFBC=I20°+ZFBC-GOQ-NFBC=60°,
:.NGBF=NEBF,
YBG=BE,ZGBF=ZEBF,BF=BF,
Λ∆GBF^ΔfBF,
:.EF=GF,
:.AE-CF=CG-CF=GF=EF.
总结提升:本题几何变换综合题,考查的是全等三角形的判定和性质,正确作出辅助性、掌握全等三角
形的判定定理和性质定理是解题的关键.
类型三手拉手模型一一旋转全等
7.(2022•沈阳)【特例感知】
(1)如图1,AAOB和ACOZ)是等腰直角三角形,∕AOB=NCOO=90°,点C在。A上,点。在80
的延长线上,连接A。,BC,线段AD与BC的数量关系是;
【类比迁移】
(2)如图2,将图1中的ACOO绕着点。顺时针旋转α(0o<a<90o),那么第(1)问的结论是否
仍然成立?如果成立,证明你的结论;如果不成立,说明理由.
思路引领:(1)证明AAOQ丝Z∖BOC(SAS),即可得出结论;
(2)利用旋转性质可证得NBOC=NAOO,再证明AAOD畛aBOC(SAS),即可得出结论;
解:(1)AD=BC.理由如下:
如图1,YZXAOB和aCOD是等腰直角三角形,NAoB=NCoO=90°,
:.OA=OB,OD=OC,
在AAOO和aBOC中,
OA=OB
∆A0D=ZBOC=90°.
OD=OC
.".ΛAOD^∕∖BOC(SAS),
:.AD=BC,
故答案为:AD—BC;
(2)AD=BC仍然成立.
证明:如图2,VZAOB=ZCOD=90o,
.∙.∕AO8+∕4OC=NAOC+∕CW=90°+α,
即NBoC=NA0。,
在AAOO和480C中,
OA=OB
∆AOD=ABOC,°
OD=OC
:.ΛAOD^∆BOC(SAS),
AD=BC-,
总结提升:本题是几何变换综合题,考查了全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,勾股
定理,等腰三角形的性质等知识点,关键是添加恰当辅助线,构造全等三角形或相似三角形解决问题.
8.(2022春•南山区期末)如图1.Z∖ABC是边长为4c,"的等边三角形,边AB在射线OM上,且。4=6。”,
点。从点O出发,沿射线。仞方向以lɑw/s的速度运动,当O不与点A重合时,将线段CO绕点C逆
时针方向旋转60°得到CE,连接。E、BE,设点。运动了rs,
E
(1)点力的运动过程中,线段4。与BE的数量关系是,请以图1情形为例(当点。在线段
OA上时,点。与点4不重合),说明理由,
(2)当6<f<10时,如图2,Z∖BOE周长是否存在最小值?若存在,求出aBOE的最小周长;若不存
在,请说明理由.
(3)当点O在射线OM上运动时,是否存在以。、B、E为顶点的三角形是直角三角形?若存在,直接
写出此时/的值.
思路引领:(1)由旋转的性质得到NDeE=60°,DC=EC,进而证得AACDgABCE,即可得到结论;
(2)当6<f<10时,由旋转的性质得到BE=A。,于是得到C3BE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,根
据等边三角形的性质得到OE=CZ),由垂线段最短得到当COLAB时,ABDE的周长最小,于是得到结
论;
(3)存在,①当点。与点B重合时,D,B,E不能构成三角形,②当0Wf<6时,由旋转的性质得到
ZABE=60°,NBDEV60°,求得NBED=90°,根据等边三角形的性质得到Nz)EC=60°,求得N
CEB=30°,求得。。=OA-D4=6-4=2,于是得到f=2÷1=2s;③当6<f<10s
解:(1)AD=^BE,理由如下:
;将线段CD绕点C逆时针方向旋转60°得到CE,
:.ZDCE=60o,DC=EC,
...△CDE是等边三角形,
:.CD=CE,NDCE=60°,
'∙"∆ABC是等边三角形,
ΛZΛCB=60o=ZDCE,AC=BC,
.∙.ZACD=ZBCE,
在△△CO和ABCE中,
CD=CE
Z-ACD=Z-BCE,
½C=BC
Λ∆ACD^∆BCE(SAS),
.".AD=BE,
故答案为:AO=BE;
(2)存在,当6<f<10时,
由(1)知,BE=AD,
∙*∙C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,
由(1)知,ZkCQE是等边三角形,
:.DE=CDf
,金。BE=CQ+4,
由垂线段最短可知,当CAB时,ABQE的周长最小,
此时,CD=2√5c机,
:ABDE的最小周长=8+4=28+4;
(3)存在,①•・•当点。与点8重合时,D,B,E不能构成三角形,
・・.当点。与点8重合时,不符合题意,
②当OWy6时,由旋转可知,ZABE=60°,NBDEV60°,
INBED=90°,
由(1)可知,ACDE是等边三角形,
:.ZDEC=60o,
JNCEB=30°,
•:NCEB=NCDA,
ΛZCDA=30o,
VZCAB=60o,
/.ZACD=ZADC=30o,
:.DA=CA=4f
.*.OD=OA-DA=6-4=2,
∙1=2÷l=2s;
③当6<f<10s时,不存在直角三角形.
④如图,当r>10s时,由旋转的性质可知,NDBE=60°,
又由(1)知∕CCE=60°,
.∙.ZBDE=ZCDE+ZBDC=60°+ZBDC,
而N3DOO°,
.∖ZBDE>60Q,
,只能NBDE=90°,
从而N8CO=30°,
JBO=BC=4,
,
..OD=∖Acnif
Λ∕=14÷1=14$,
综上所述:当f=2或14s时,以。、E、B为顶点的三角形是直角三角形,
总结提升:本题考查了旋转的性质,等边三角形的判定和性质,三角形周长的计算,直角三角形的判定,
熟练掌握旋转的性质是解题的关键.
类型三中点旋转模型
9.(2019春•双流区期末)已知正方形ABC。中,E为对角线Bo上一点,过E点作E凡LBo交BC于尸,
图①图②
(1)求证:EG=CG;
(2)将图①中ABE尸绕B点逆时针旋转45°,如图②所示,取。尸中点G,连接EG,CG.问(1)中
的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
思路引领:(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半,可得结论
7
(2)延长EG,AO交于。点,连接CECP,可证4EG∕g∕∖OPG,可得EG=GP,DP=EFf则可证
△BE%ADPC,可得aECP是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质可得结论.
证明:(1):在Rt△£)£尸中,EG是斜边上的中线
/.DF=IEG
・・・在Rt△£)(7/中,CG是斜边上的中线
:.DF=ICG
:.EG=CG
(2)如图2
图②
延长EG,A。交于尸点,连接CE,CP
Y四边形ABCD是正方形
:.BC=CD,AD//BC,NA8C=NAoC=90°,ZABD=45o
9:EFLAB
,NABD=NEFB=45。
.∖EF=BE
'.'ADlAB1EFLAB
:•EF//AD
/.ZDPE=ZPEF9且OG=GR/EGF=DGP
,丛EGF空丛DGP
:.EG=GPfEF=DP
:.BE=DP且BC=CD,/EBC=NPDC=90。
.∖∕∖BEC^∕∖DPC
:.EC=PC,/ECB=NECP
YNECB+NECD=90°
・•・NQCP+NECO=90°
ΛZECP=90°KEC=CP
...△ECP是等腰宜角三角形,且EG=GP
;.CGLEP,CG=EG.
总结提升:本题考查了旋转的性质,等腰直角三角形的判定,全等三角形的性质,添加恰当的辅助线本
题的关键.
类型五通过旋转构造三角形全等
10.(2021春•雨花区期中)如图,点P是正方形ABCO内一点,且点P到点A、B、C的距离分别为2√Σ
思路引领:将AABP绕点B顺时针旋转90得ACBE,连接尸E,过点B作于H,通过勾股定理
逆定理可证NPEC=90°,则/BEC=NAPB=135°,可知点A、P、E三点共线,求出BH,A”的长度,
利用勾股定理即可.
解:将AAB尸绕点B顺时针旋转90得4CBE,连接PE,过点8作2",PE于H,
ΛBP=BE,NPBE=90°,NAPB=NCEB,AP=CE,
...△8PE是等腰直角三角形,
JPE=√PB2+BE2=√2,
,.∙PE2+CE2=(√2)2+(2√2)2=10,
PC2=(√10)2=IO,
.∙.PE2+CE2=PC2,
.∙.∕PEC=90°,
.".ZBEC=ZAPB=135°,
ΛZAPB+^BPE=∖35c,+45°=180°,
.∙.点A、P、E三点共线,
'CPE=√2,
:.PH=BH=冬
C/ɔ
.∖AH=AP+PH=学,
在RtZ∖A3”中,由勾股定理得:
AB1=BH1+AH1=(―)2+(——)2=13,
22
正方形A8CZ)的面积为:13.
故答案为:13.
总结提升:本题主要考查了正方形的性质,旋转的性质,勾股定理的逆定理等知识,证明出NPEC=90°
是解题的关键.
11.(2022春•顺德区校级月考)如图,等边三角形48C内有一点P,分别连结AP、BP、CP,若AP=6,
BP=8,CP=IO.
(1)则线段AP、BP、C尸构成的三角形是三角形(填“钝角、直角、锐角”);
(2)将4B7¾绕点B顺时针旋转60°,画出旋转后的48PIA1,并由此求出/8P14的度数;
(3)求三角形ABC的面积.
(2)先根据旋转的性质画图,再根据旋转的性质得到BP=BPl=8,AιPι=AP=6,NPBPI=60°,则
可判断48PPl为等边三角形,所以NBPP=60°,PPi=BP=S,接着利用勾股定理的逆定理证明aPCPi
是直角三角形,NpPlC=90°,然后计算∕BPI+NPPlC即可;
(3)过C点作CDLBP于。点,如图,先计算出NCPιD=30°,则根据含30度的直角三角形三边的
关系得到CD=3,PD=3√5,再利用勾股定理计算出BCC=IOo+48遮,然后根据等边三角形的面积公
式计算.
解:(1)∙.NP=6,BP=8,CP=I0,
.".AP2+BP2=CP2,
线段AP、BP、CP构成的三角形是直角三角形,
故答案为:直角;
(2)如图,Z∖8Pι4为所作;
:AABC为等边三角形,
二BA=3C,N48C=60°,
V∆B∕¾绕点B顺时针旋转60°得到ABPAi,
.∙.点4与点C重合,BP=BPl=8,41PI=Ap=6,NPBPI=60°,
;.ABPPi为等边三角形,
.".ZBP∖P=60a,PPI=BP=8,
VPPi=8,PC=6,
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