旋转中的全等模型-中考数学复习题练习（教师版）

专题13旋转中的全等模型(解析版)

类型一对角互补模型

(1)正方形中的半角模型

(2021春•平阴县期末)如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线8。上两点，且∕EAF=45°,将4

AoF绕点A顺时针旋转90°后，得到AABQ,连接EQ.

(1)求证：∆AEβ^∆AEF;

(2)求证：EF2DF2+BE2；

(3)当尸是8。的中点时，判断四边形。的形状，并说明理由.

思路引领：(1)由旋转的特征可得AQ=A凡ZBAQ=ZDAF,由正方形的性质可得NBAO=90°,还

有已知条件∕EAF=45°,于是可证明NEAQ=/E4F,可证明AAEQ也Z∖AEF;

(2)由旋转的特征可得∕ABQ=∕AOF=45°,BQ=DF,可证明∕E8Q=90°,由44EQgZ∖AE/得

EQ=EF,在Rt∆BEβ中用勾股定理可证得结论：

(3)当F是B。的中点时，四边形AFEQ是正方形，可由(1)和(2)的结论先证明四边形AFEQ有三

个角是直角，则四边形AFEQ是矩形，再由AQ=AF得，四边形AFEQ是正方形.

(I)证明：如图1,∙；四边形ABC。是正方形，

/.ZBAD=90°,

由旋转得，AQ=AF,ZQAB^ZFAD,

尸=45°,

：.ZBAE+ZFAD=W3-45°=45°,

：.ZEAQ=ZBAE+ZQAB=ZBAE+ZFAD^45°,

.∙.∕E4Q=NEAF=45°,

在AAEQ和AAE尸中，

AQ=AF

乙EAQ=Z-EAFy

AE=AE

.,.∆AEQ^∆AEF(SAS).

(2)证明：如图1,'：AB^=AD,N8AO=90°,

.∙.NABE=/AOF=45°,

由旋转得，/48。=/ACF=45°,BQ=DF,

NE8Q=N48E+/ABQ=90°,

LEQ2=BgBE2,

由(1)得，∆AEβ^∆AEF,

；.EQ=EF,

：.EF2^DF2+BE2.

(3)四边形A尸E。是正方形，理由如下：如图2,

当点F是B。的中点时，则BF=DF,

.∖AF±BD,/3AF=NZMF=*∕2AZ)=45°,

；NEA尸=45°,

：.NEAF=NBAF,

.∙.AE与AB重合，点E与点B重合，

ΛZAEF=ZABD=45a,NA尸E=NAFB=90°,

由旋转得，NAEQ=∕AOF=45°,N。=/AFZ)=90°,

ΛZFEρ=90",

四边形AFEQ是矩形，

'：AQ=AF,

.∙.四边形AFEQ是正方形.

总结提升：此题重点考查正方形的性质与判定、旋转的特征、全等三角形的判定以及勾股定理等知识与

方法，此题难度不大，但综合性较强，是很好的习题.

（2）等腰三角形中的半角模型

2.（2021秋•东坡区期末）如图，AABC是边长为6的等边三角形，BD=CD,NBDC=I20°,以点。为

顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M,交AC于点N,连结MN,则AAMN的周长是.

思路引领：要求的周长，根据题目已知条件无法求出三条边的长，只能把三条边长用其它已知边

长来表示，所以需要作辅助线，延长AB至F,使BF=CN,连接QF,通过证明aBQF丝Z∖CNQ,g

DMN学ADMF,从而得出MN=MF,AAMN的周长等于A8+AC的长.

解：•.•△8〃。是等腰三角形，且/8/乂;=120°,

：.ZBCD=ZDBC=3Q°,

VΛABC是边长为4的等边三角形，

二/ABC=NB-BCA=60°,

.".ZDBA=ZDCA=90°,

延长AB至尸，使BF=CM连接。F,

在ABDF和ACND中,

BF=CN

LFBD=/.DCN,

DB=DC

.∖ΛBDF^∕∖CND（SAS）,

：.NBDF=aCDN,DF=DN,

,：ZMDN=60a,

：.NBDM+/CDN=W,

ΛZBDM+ZBDF=60a,

在AOMN和aOMF中，

MD=MD

乙FDM=&MDN,

DF=DN

:,ADMNW4DMF(SAS),

：.MN=MF,

：.LAMN的周长是：AM+AN+MN^AM+MB+BF+AN=AB+AC^6+6=12.

故答案为：12.

总结提升：此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质；主要利用等边三角形和等腰三角形

的性质来证明三角形全等，构造另一个三角形是解题的关键.

3.(绍兴中考)如图2,等腰直角三角形ABC中，NBAC=90°,AB=AC,点M,N在边BC上，且

ZMAN=45°，若BM=1,CN=3,求MN的长.

思路引领：(1)证△4£>G丝AABE,∆ME^∆MG,根据全等三角形的性质求出即可；

(2)过点C作CELBC,垂足为点C,截取CE,使CE=BM.连接AE、EN.通过证明44BM岭CE

(SAS)推知全等三角形的对应边AM=AE、对应角/BAM=NCAE;然后由等腰直角三角形的性质和/

MAN=45°得到∕MAN=NEAN=45°,所以N(S45),故全等三角形的对应边MN=EN；

最后由勾股定理得到EN2=EC2+NC2即MN2=BM2+NC2.

(1)证明：在正方形ABeQ中，

ZABE^ZADG,AD^AB,

在AABE和AADG中，

AD=AB

乙ABE=∆ADG

DG=BE

ΛΛABΛADG(SAS),

，NBAE=∕DAG,AE=AGf

ΛZEAG=90o,

在AFAE和AEAG中，

(AE=AG

∖∆EAF=∆FAG=45°,

MF=AF

Λ∆ME^∆MG(SAS),

IEF=FG;

(2)解：如图，过点C作CELLBG垂足为点C,截取CE,使CE=8M.连接AE、EN.

VAB=AC,NBAC=90°,

：.ZB=ZACB=45°.

,：CELBC1

：.ZACE=ZB=45o.

在AABW和aACE中，

AB=AC

Z.B=Z-ACE

BM=CE

：.∕∖AACE(SAS).

：.AM=AEfNBAM=NCAE.

∙.∙N8AC=90°,NMAN=45°,

.'.ZBAM+ZCAN=45o.

于是，由/BAM=NCAE,得NMAN=NEAN=45°.

在AMAN和4E4N中，

AM=AE

乙MAN=乙EAN

AN=AN

Λ∆MA∕V^∆EA∕V(SAS).

IMN=EN.

在RtAENC中，由勾股定理，得EN2=EC2+NCL

.∖MN2^BM2+NC2.

•：BM=1,CN=3,

ΛM∕V2=l2+32,

：.MN=√10

总结提升：本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定

理的综合应用.

类型二对角互补且一组邻边相等的半角模型

4.（2022春•简阳市期中）如图，等边三角形ABC的边长为4,点。是aABC的中心，ZFOG=120",

绕点。旋转NFOG,分别交线段AB、BC于。、E两点,连接给出下列四个结论：①OD=OE;②

SAODE=SABDE;③四边形0E>8E的面积始终等于1√3;④ZSBCE周长的最小值为6.上述结论中正确的

有（写出序号）.

思路引领：连接OB、OC,如图，利用等边三角形的性质得NAB。=NoBC=NOCB=30°,再证明/

BOD=ZCOE,于是可判断aBOO之ACOE,所以BQ=CE,OD=OE,则可对①进行判断；利用SABoD

=SACOE得到四边形ODBE的面积=聂MBC=誓，则可对③进行判断；作OHLDE,如图，则DH=EH,

计算出SAODE=亨0E2,利用SAODE随OE的变化而变化和四边形ODBE的面积为定值可对②进行判断；

由于aBQE的周长=BC+OE=4+QE=4+√5OE,根据垂线段最短，当OE_LBC时，OE最小，Z∖BQE的

周长最小，计算出此时OE的长则可对④进行判断.

解：连接。8、OC,如图，

:△ABC为等边三角形，

ΛZΛBC=ZACβ=60o,

:点。是A48C的中心，

.,.OB=OC,OB、OC分别平分NA8C和NACB,

.∖ZABO=ZOBC=ZOCB=30o,

・・・N30C=120°,即N3OE+NCOE=120°,

而NQoE=I20°,即N3OE+N3OQ=120°,

/.ZBOD=ZCOEf

在ABOD和aCOE中

ZBOD=∆COE

BO=CO

ZoBD=∆OCE

：・XBODQXCOE(ASA),

：.BD=CE,OD=OE,所以①正确；

:∙SABOD=SACOE,

，四边形ODBE的面积=SAOBC=^5ΔΛBC=∣××42=所以③正确;

作O”J_DE,如图，则DH=EH,

VZDOE=120°,

；・NODE=NOEH=30°,

/.OH=∣(9E,HE=aOH=噂OE,

：.DE=虚OE,

JSAODE=∣∙⅛f∙√30E=坐0炉，

即SΛODE随OE的变化而变化，

而四边形ODBE的面积为定值，

.∙.SM)DE≠SABDE;所以②错误；

YBD=CE,

：./XBDE的周长=Bo+BE+。E=CE+8E+OE=BC+OE=4+QE=4+√5OE,

当。EJ_BC时，OE最小，ZXBOE的周长最小，此时OE=苧，

.♦.△8DE周长的最小值=4+2=6,所以④正确.

故答案为①③④.

总结提升：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角

等于旋转角；旋转前、后的图形全等.也考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质.

5.（2022秋•西城区校级期中）（1）问题背景.

如图1,在四边形ABCO中，AB=AD,ZB+ZD=180°,E、尸分别是线段BC、线段CD上的点.若

NBAD=2NEAF,试探究线段BE、EF、FZ）之间的数量关系.

小明同学探究此问题的方法是，延长FD到点G.使。G=BE.连接AG,先证明AABE也Z∖AZ）G.再证

明AAE尸丝ZSAGF,可得出结论，他的结论应是.

（2）猜想论证.

如图2,在四边形A8CZ）中，AB=AO,ZB+ZADC=180o,E在线段BC上、下在线段CD延长线上.若

NBAo=2NEAF,上述结论是否依然成立？若成立说明理由；若不成立，试写出相应的结论并给出你的

证明.

(3)拓展应用.

如图3,在四边形ABC。中，NBDC=45°,连接8C、AD,AB∙.AC：BC=3：4：5,AD=4,S.ZABD+

ZCfiD=180°.则的面积为.

思路引领：（1）延长FQ到点G.使DG=BE.连接AG,即可证明aABE也△A。G（SAS）,可得AE

=AG,再证明4AEF0Z∖AGF（SAS）,可得EF=FG,即可解题；

（2）在BE上截取BG,使BG=Z）凡连接AG.根据（1）的证法，我们可得出。F=8G,GE=EF,那

么EF=GE=BE-BG=BE-DF.

(3)如图3中，如图3中，过点。作。HIAB交AB的延长线于"OK_L4C交AC的延长线于K,DJ

LBC于■/.证明四边形A7/QK是正方形即可解决问题.

解：延长F。到点G.使Z)G=BE,连接AG,

图1

VZB+ZΛDF=180o,ZΛDF+ZADG=180°,

ZADG=ZB,

在aABE和AADG中，

BE=DG

乙B=Z.ADG»

AB=AD

：.∕∖ABE^ΛADG(SAS),

：.AE=AG.NBAE=NDAG,

•：/BAD=2/EAF,

：.ZGAF=ZDAG+ZDAF=ZBAE+ZDAF=ZBAD-NEAF=AEAF,

：.AEAF=AGAF,

在/和AAGb中，

AE=4G

∆EAF=∆GAF,

AF=AF

Λ∆ΛEF^∆AGF(SAS),

IEF=FG,

∖'FG=DG-^DF=BE+DFt

：.EF=BE+DF；

故答案为：EF=BE+DF.

(2)结论EF=8E+FO不成立，结论：EF=BE-FD.

理由如下：证明：如图2中，在BE上截取BG,使BG=O'连接AG.

VZB+ZADC=180o,ZADF+ZADC=∖S0o,

：.ZB=ZADF.

Y在AABG与aAO尸中，

AB=AD

∆ABG=∆ADF

BG=DF

：.∕∖ABG^∕∖ADF(SAS).

：.ZBAG=ZDAFfAG=AF.

：.NBAD=ZBAG+ZGAD=ZDAF+ZGAD=ZGAF.

'：ZBAD=2ZEAFf

：.AGAF=IZEAFi

：.ZGAE=ZEΛF.

*：AE=AE,

：.∆ΛEG^∆AEF(SAS).

：.EG=EF

YEG=BE-BG

：.EF=BE-FD.

(3)如图3中，如图3中，过点。作。LAB交A8的延长线于"QK_LAC交AC的延长线于K,DJ

_L8C于J.

A

图3

VΛB:AC：BC=3：4：5,

・•・可以假设A5=3匕AC=4k,BC=5k,

222

.∖AB+AC=BC1

ΛZBAC=90o,

YN"=NK=90°,

・•・四边形A"QK是矩形，

.∖ZHDK=90o,

VZBDC=45o,

：・NBDH+∕CDK=45°,

VZABD+ZCBD=∖S0a,NABD+/DBH=180°,

：./DBH=NDBC,

•：∕H=∕DJB=90°,DB=DB,

：・ABDH乌ABDJ(AAS),

IDH=DJ,ZBDH=ZBDJfBH=BJ,

VZBDJ+ZCD√=45o,ZBHH^ZCDK=ZBDJ+ZCDK=45°,

：・NCDJ=/CDK,

a

*：ZK=ZDJC=90,CD=CDf

，4CDK<4CDJ(AAS),

IDJ=DK,CJ=CK,

：.DH=DKf

・・・四边形44。K是正方形，

,BH+CK=BJ+CJ=5k,

.∖AH+AK=∖2kf

LAK=KD=Sk,

∖'AD=4,

:∙AK=DK=2>[i=6k,

..42

∙'k=τ,

.4√2

•∙AC­^~ɜ~~,

114√2L8

..SMCD=^,AC∙DK=2,~^~×2√2=ɜ.

故答案为*

总结提升：本题考查了四边形综合题，三角形全等的判定和性质；本题中通过全等三角形来实现线段的

转换是解题的关键，没有明确的全等三角形时，要通过辅助线来构建与已知和所求条件相关联全等三角

形.

6.（2020秋•海淀区期中）已知四边形ABCD中，AB±AD,BCLCD,AB=BC,NABC=I20°,NMBN

=60°,NMBN绕B点旋转,它的两边分别交AO,DC（或它们的延长线）于E,F.

（1）当NMBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1）,试猜想线段AE,CF、EF之间存在的数量关系

为.（不需要证明）；

（2）当NMBN绕8点旋转到AEWCF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，

请给予证明；若不成立，线段AE、CF.EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.

思路引领：（1）延长。C至点K,使CK=AE,连接BK,分别证明△%!£；丝Z∖BCK'AKBFZAEBF,

根据全等三角形的性质、结合图形证明结论；

(2)延长OC至G,使CG=AE,仿照(1)的证明方法解答.

解：(1)AE+CF=EF,

理由如下：延长Z)C至点K,使CK=AE,连接BK,

图2

在aAAE与ABCK中，

BA=BC

∆BAE=NBCK,

.AE=CK

：.ABAEmABCK(SAS),

：.BE=BK,NABE=NKBC,

:NFBE=6Q°,/ABC=120°,

：.AFBC+AABE=GQta,

NFBC+NKBC=60°,

：.NKBF=NFBE=60°,

在AKBF与AEBF中,

BK=BE

Z.KBF=AEBF,

.BF=BF

：.AKBF-EBF(SAS),

：.KF=EF,

：.AE+CF=KC+CF=KF=EFi

(2)解：AE-CF^EF,

理由如下：延长。C至G,使CG=AE,

G-D

图3\

由(1)可知，∆BΛE^∆BCG(SAS),

：.BE=BG,ZABE=ZGBC,

NGBF=NGBC-NFBC=NABE-NFBC=I20°+ZFBC-GOQ-NFBC=60°,

：.NGBF=NEBF,

YBG=BE,ZGBF=ZEBF,BF=BF,

Λ∆GBF^ΔfBF,

：.EF=GF,

：.AE-CF=CG-CF=GF=EF.

总结提升：本题几何变换综合题，考查的是全等三角形的判定和性质，正确作出辅助性、掌握全等三角

形的判定定理和性质定理是解题的关键.

类型三手拉手模型一一旋转全等

7.(2022•沈阳)【特例感知】

(1)如图1,AAOB和ACOZ)是等腰直角三角形，∕AOB=NCOO=90°,点C在。A上，点。在80

的延长线上，连接A。，BC,线段AD与BC的数量关系是；

【类比迁移】

(2)如图2,将图1中的ACOO绕着点。顺时针旋转α(0o<a<90o),那么第(1)问的结论是否

仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，说明理由.

思路引领：(1)证明AAOQ丝Z∖BOC(SAS),即可得出结论;

(2)利用旋转性质可证得NBOC=NAOO,再证明AAOD畛aBOC(SAS),即可得出结论;

解：(1)AD=BC.理由如下：

如图1,YZXAOB和aCOD是等腰直角三角形，NAoB=NCoO=90°,

：.OA=OB,OD=OC,

在AAOO和aBOC中，

OA=OB

∆A0D=ZBOC=90°.

OD=OC

.".ΛAOD^∕∖BOC(SAS),

：.AD=BC,

故答案为：AD—BC；

(2)AD=BC仍然成立.

证明：如图2,VZAOB=ZCOD=90o,

.∙.∕AO8+∕4OC=NAOC+∕CW=90°+α,

即NBoC=NA0。，

在AAOO和480C中，

OA=OB

∆AOD=ABOC,°

OD=OC

：.ΛAOD^∆BOC(SAS),

AD=BC-,

总结提升：本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股

定理，等腰三角形的性质等知识点，关键是添加恰当辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题.

8.(2022春•南山区期末)如图1.Z∖ABC是边长为4c，"的等边三角形，边AB在射线OM上，且。4=6。”，

点。从点O出发，沿射线。仞方向以lɑw/s的速度运动，当O不与点A重合时，将线段CO绕点C逆

时针方向旋转60°得到CE,连接。E、BE,设点。运动了rs,

E

(1)点力的运动过程中，线段4。与BE的数量关系是,请以图1情形为例(当点。在线段

OA上时，点。与点4不重合)，说明理由，

(2)当6<f<10时，如图2,Z∖BOE周长是否存在最小值？若存在，求出aBOE的最小周长；若不存

在，请说明理由.

(3)当点O在射线OM上运动时，是否存在以。、B、E为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接

写出此时/的值.

思路引领：(1)由旋转的性质得到NDeE=60°,DC=EC,进而证得AACDgABCE,即可得到结论；

(2)当6<f<10时，由旋转的性质得到BE=A。，于是得到C3BE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,根

据等边三角形的性质得到OE=CZ),由垂线段最短得到当COLAB时，ABDE的周长最小，于是得到结

论；

(3)存在，①当点。与点B重合时，D,B,E不能构成三角形，②当0Wf<6时，由旋转的性质得到

ZABE=60°,NBDEV60°,求得NBED=90°,根据等边三角形的性质得到Nz)EC=60°,求得N

CEB=30°,求得。。=OA-D4=6-4=2,于是得到f=2÷1=2s；③当6<f<10s

解：(1)AD=^BE,理由如下：

；将线段CD绕点C逆时针方向旋转60°得到CE,

：.ZDCE=60o,DC=EC,

...△CDE是等边三角形，

：.CD=CE,NDCE=60°,

'∙"∆ABC是等边三角形，

ΛZΛCB=60o=ZDCE,AC=BC,

.∙.ZACD=ZBCE,

在△△CO和ABCE中，

CD=CE

Z-ACD=Z-BCE,

½C=BC

Λ∆ACD^∆BCE（SAS）,

.".AD=BE,

故答案为：AO=BE;

（2）存在，当6<f<10时，

由（1）知，BE=AD,

∙*∙C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,

由（1）知，ZkCQE是等边三角形，

：.DE=CDf

，金。BE=CQ+4,

由垂线段最短可知，当CAB时，ABQE的周长最小，

此时，CD=2√5c机，

:ABDE的最小周长=8+4=28+4；

（3）存在，①•・•当点。与点8重合时，D,B,E不能构成三角形,

・・.当点。与点8重合时，不符合题意，

②当OWy6时，由旋转可知，ZABE=60°,NBDEV60°,

INBED=90°,

由（1）可知，ACDE是等边三角形,

：.ZDEC=60o,

JNCEB=30°,

•：NCEB=NCDA,

ΛZCDA=30o,

VZCAB=60o,

/.ZACD=ZADC=30o,

：.DA=CA=4f

.*.OD=OA-DA=6-4=2,

∙1=2÷l=2s;

③当6<f<10s时，不存在直角三角形.

④如图，当r>10s时，由旋转的性质可知，NDBE=60°,

又由（1）知∕CCE=60°,

.∙.ZBDE=ZCDE+ZBDC=60°+ZBDC,

而N3DOO°,

.∖ZBDE>60Q,

，只能NBDE=90°,

从而N8CO=30°,

JBO=BC=4,

,

..OD=∖Acnif

Λ∕=14÷1=14$,

综上所述：当f=2或14s时，以。、E、B为顶点的三角形是直角三角形,

总结提升：本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形周长的计算，直角三角形的判定，

熟练掌握旋转的性质是解题的关键.

类型三中点旋转模型

9.（2019春•双流区期末）已知正方形ABC。中，E为对角线Bo上一点，过E点作E凡LBo交BC于尸,

图①图②

（1）求证：EG=CG;

（2）将图①中ABE尸绕B点逆时针旋转45°,如图②所示，取。尸中点G,连接EG,CG.问（1）中

的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.

思路引领：（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半，可得结论

7

(2)延长EG,AO交于。点，连接CECP,可证4EG∕g∕∖OPG,可得EG=GP,DP=EFf则可证

△BE%ADPC,可得aECP是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得结论.

证明：(1):在Rt△£)£尸中，EG是斜边上的中线

/.DF=IEG

・・・在Rt△£)(7/中，CG是斜边上的中线

：.DF=ICG

：.EG=CG

(2)如图2

图②

延长EG,A。交于尸点，连接CE,CP

Y四边形ABCD是正方形

：.BC=CD,AD//BC,NA8C=NAoC=90°,ZABD=45o

9：EFLAB

，NABD=NEFB=45。

.∖EF=BE

'.'ADlAB1EFLAB

：•EF//AD

/.ZDPE=ZPEF9且OG=GR/EGF=DGP

，丛EGF空丛DGP

：.EG=GPfEF=DP

：.BE=DP且BC=CD,/EBC=NPDC=90。

.∖∕∖BEC^∕∖DPC

：.EC=PC,/ECB=NECP

YNECB+NECD=90°

・•・NQCP+NECO=90°

ΛZECP=90°KEC=CP

...△ECP是等腰宜角三角形，且EG=GP

；.CGLEP,CG=EG.

总结提升：本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定，全等三角形的性质，添加恰当的辅助线本

题的关键.

类型五通过旋转构造三角形全等

10.（2021春•雨花区期中）如图，点P是正方形ABCO内一点，且点P到点A、B、C的距离分别为2√Σ

思路引领：将AABP绕点B顺时针旋转90得ACBE,连接尸E,过点B作于H,通过勾股定理

逆定理可证NPEC=90°,则/BEC=NAPB=135°,可知点A、P、E三点共线，求出BH,A”的长度，

利用勾股定理即可.

解：将AAB尸绕点B顺时针旋转90得4CBE,连接PE,过点8作2"，PE于H,

ΛBP=BE,NPBE=90°,NAPB=NCEB,AP=CE,

...△8PE是等腰直角三角形，

JPE=√PB2+BE2=√2,

,.∙PE2+CE2=(√2)2+(2√2)2=10,

PC2=(√10)2=IO,

.∙.PE2+CE2=PC2,

.∙.∕PEC=90°,

.".ZBEC=ZAPB=135°,

ΛZAPB+^BPE=∖35c,+45°=180°,

.∙.点A、P、E三点共线，

'CPE=√2,

：.PH=BH=冬

C/ɔ

.∖AH=AP+PH=学，

在RtZ∖A3”中，由勾股定理得：

AB1=BH1+AH1=(―)2+(——)2=13,

22

正方形A8CZ)的面积为：13.

故答案为：13.

总结提升：本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理的逆定理等知识，证明出NPEC=90°

是解题的关键.

11.(2022春•顺德区校级月考)如图，等边三角形48C内有一点P,分别连结AP、BP、CP,若AP=6,

BP=8,CP=IO.

(1)则线段AP、BP、C尸构成的三角形是三角形(填“钝角、直角、锐角”)；

(2)将4B7¾绕点B顺时针旋转60°,画出旋转后的48PIA1,并由此求出/8P14的度数；

(3)求三角形ABC的面积.

(2)先根据旋转的性质画图，再根据旋转的性质得到BP=BPl=8,AιPι=AP=6,NPBPI=60°,则

可判断48PPl为等边三角形，所以NBPP=60°,PPi=BP=S,接着利用勾股定理的逆定理证明aPCPi

是直角三角形，NpPlC=90°,然后计算∕BPI+NPPlC即可；

(3)过C点作CDLBP于。点，如图，先计算出NCPιD=30°,则根据含30度的直角三角形三边的

关系得到CD=3,PD=3√5,再利用勾股定理计算出BCC=IOo+48遮，然后根据等边三角形的面积公

式计算.

解：(1)∙.NP=6,BP=8,CP=I0,

.".AP2+BP2=CP2,

线段AP、BP、CP构成的三角形是直角三角形，

故答案为：直角；

(2)如图,Z∖8Pι4为所作；

：AABC为等边三角形，

二BA=3C,N48C=60°,

V∆B∕¾绕点B顺时针旋转60°得到ABPAi,

.∙.点4与点C重合，BP=BPl=8,41PI=Ap=6,NPBPI=60°,

；.ABPPi为等边三角形，

.".ZBP∖P=60a,PPI=BP=8,

VPPi=8,PC=6,