福建省厦门市湖里中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷

2023-2024学年福建省厦门市湖里中学九年级（上）期中数学试

卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

1.（4分）。。的半径为5cm,点A到圆心。的距离04=3。”，则点A与。。的位置关系

为（）

A.点A在。。上B.点A在。。内C.点A在。。外D.无法确定

2.（4分）在平面直角坐标系中，点（3,-2）关于原点对称的点是（）

A.（-3,2）B.（-3,-2）C.（3,-2）D.（3,2）

3.（4分）垃圾分类不仅有利于提升全社会的文明程度，还可以减少不同垃圾的相互污染，

有利于废旧物质的回收利用，而且有利于对生态垃圾和非生态垃圾的分离.下列垃圾分

类标识图片既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

4.（4分）抛物线y=3（x-2）2+1的顶点坐标是（）

A.（2,1）B.（-2,1）C.（-2,-1）D.（1,2）

5.（4分）抛物线y=3）向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（）

A.y=3（x-1）2-2B.y=3（x+1）2-2

C.y=3（x+1）2+2D.y=3（x-1）2+2

6.（4分）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、

支干和小分支的总数是43,设每个支干长出x个小分支，则下列方程中正确的是（）

A.1+7=43B.l+x+/=43C.》+f=43D.（1+x）2—43

7.（4分）为培养学生动手实践能力，学校七年级生物兴趣小组在项目化学习”制作微型生

态圈”过程中，设置了一个圆形展厅.如图，在其圆形边缘上的点P处安装了一台监视

器，它的监控角度是72°,为了观察到展厅的每个位置，最少需在圆形边缘上共安装这

样的监视器（）

72°

A.5台B.4台C.3台D.2台

8.（4分）某电脑公司销售部为了定制下个月的销售计划，对20位销售员本月的销售量进

行了统计，绘制成如图所示的统计图，则这20位销售人员本月销售量的平均数、中位数、

众数分别是（）

A.19,20,14B.19,20,20

C.18.4,20,20D.18.4,25,20

9.（4分）如图，已知OP与坐标轴交于点A,O,B,点C在。尸上，且NACO=60°,若

点8的坐标为（0,3）,则劣弧04的长为（）

C.V3KD.2V3兀

10.（4分）如图所示，等边AABC边长为6,点E是中线4。上的一个动点，连接EC,将

线段EC绕点C按逆时针方向旋转60°得到FC,连接DF.当在点E运动过程中，DF

取最小值时，△8F的面积等于（）

A--1V3B.c--^V3D.-|V3

二、填空题（每小题4分，共24分）

11.（4分）方程：

①/=］的解是；

②/+3x=0的解是.

12.（4分）如图，C,。在圆上，A8是直径，若N£>=64°,则N84C=

13.（4分）已知扇形的圆心角为120°,面积为12n,则扇形的半径是.

1

14.（4分）若X=2+V3是方程x-x+k=0的一个解，则方程的另一个解

是.

15.（4分）一面墙上有一个矩形门洞，其中宽为1.5米，高为2米，现要将其改造成圆弧型

门洞（如图），则改造后圆弧型门洞的最大高度是.

16.（4分）如图，已知。。的半径为2,品所对的圆心角/AO8=60°,点C为标的中点,

点D为半径OB上一动点（D不与B重合）.将△CD8沿CD翻折得到若点E

落在半径OA、OB、源围成的封闭图形的边界上，则C£>的长为.

三.解答题（共86分）

18.（8分）先化简，再求值：.（&；）2其中@=«+2.

19.（8分）如图，在团ABCO中，AC是对角线，点E、尸分别在8C、AD上，4c与E尸相

交于点。，且AO=CO.求证：BE=DF.

B

20.（6分）如图，已知二次函数图象的顶点为P,与y轴交于点4

（1）在图中再确定该函数图象上的一个点5并画出；

（2）若P（1,3）,A（0,2）,求该函数的解析式.

.P

------------->

Ox

21.（8分）如图，四边形ABC。内接于。。，分别延长8C,AD,使它们相交于点E,AB

=8,S.DC=DE.

（1）求证：ZA=ZAEB.

（2）若/E£>C=90°,点C为8E的中点，求。。的半径.

22.（10分）如图，在△4BC中，AB=AC,/BAC=a,点F为8c的中点，点O在线段

BF上,以点A为中心，将线段AD逆时针旋转a得到线段AE,连接CE、DE.

（I）补全图形；

（2）用等式表示线段8尸、DF、CE的数量关系，并证明.

23.（12分）如图①，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线/的方向行驶，为绿化带浇水.喷

水口“离地竖直高度为/?（单位：〃?），如图②，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象

为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形DEFG,其水

平宽度OE=3m竖直高度为EF的长.下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到

的，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2/，高出喷水口0.5/,灌溉车到/

的距离0。为d(单位：m).若当/i=1.5m,EF=0.5〃?时，解答下列问题.

(1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；

(2)求出上、下边缘两个抛物线高度差的最大值;

(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范

围_______________________

24.(12分)在等腰三角形ABC中，AB=AC,△£>£(7是由△ABC绕点C按顺时针方向旋

转a角(0<a<180°)得到，且点A的对应点。恰好落在直线上，如图1.

(1)判断直线CE与直线AB的位置关系，并证明;

(2)当/AOC=2/BAC时，求/84C的大小;

(3)如图2,点F为线段A。的中点,点G在线段AB上且AG=AF,当点E在线段A。

上时，求证：AB^AE+2BG.

2023-2024学年福建省厦门市湖里中学九年级（上）期中数学试

卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

1.（4分）。。的半径为5cm,点A到圆心O的距离0A=3cro,则点A与。。的位置关系

为（）

A.点A在。。上B.点A在。。内C.点A在。。外D.无法确定

【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断.

【解答】解：：OO的半径为5cm,点A到圆心O的距离为3cm,

即点A到圆心O的距离小于圆的半径，

.•.点A在。。内.

故选：B.

【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设。。的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,

则有点P在圆外点P在圆上=4=r；点尸在圆内

2.（4分）在平面直角坐标系中，点（3,-2）关于原点对称的点是（）

A.（-3,2）B.（-3,-2）C.（3,-2）D.（3,2）

【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答.

【解答】解：点（3,-2）关于原点对称的点的坐标是（-3,2）,

故选:A.

【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记关于原点对称的点的横坐标与纵坐

标都互为相反数是解题的关键.

3.（4分）垃圾分类不仅有利于提升全社会的文明程度，还可以减少不同垃圾的相互污染，

有利于废旧物质的回收利用，而且有利于对生态垃圾和非生态垃圾的分离.下列垃圾分

类标识图片既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

\/A

Az\BGQ

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，

直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把

一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个

图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可.

【解答】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A选项符合题意：

8、既不是轴对称图形又不是中心对称图形，故B选项符不合题意；

C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意；

。、是轴对称图形，不是中心对称图形，故。选项不合题意.

故选：A.

【点评】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴

对称图形和中心对称图形的定义.

4.(4分)抛物线y=3(x-2)2+1的顶点坐标是()

A.(2,1)B.(-2,1)C.(-2,-1)D.(1,2)

【分析】直接由抛物线解析式可求得答案.

【解答】解：；y=3(x-2)2+1,

•••抛物线顶点坐标为(2,1),

故选：A.

【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y

=a2+Z中，顶点坐标为(h,k),对称轴为x=6.

5.(4分)抛物线y=3/向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是()

A.y=3(x-1)2-2B.y=3(x+1)2-2

C.y=3(x+1)2+2D.y=3(x-1)2+2

【分析】根据图象向下平移减，向右平移减，可得答案.

【解答】解：抛物线y=3/向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线

是y=3(x-1)2-2,

故选：A.

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直

接代入函数解析式求得平移后的函数解析式.

6.（4分）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、

支干和小分支的总数是43,设每个支干长出x个小分支，则下列方程中正确的是（）

A.l+f=43B.l+x+/=43C.x+/=43D.（1+x）2=43

【分析】由题意设每个支干长出x个小分支，因为主干长出x个（同样数目）支干，则

又长出，个小分支，则共有7+x+l个分支，即可列方程.

【解答】解：设每个支干长出x个小分支，

根据题意列方程得：/+x+l=43.

故选:B.

【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，要根据题意分别表示主干、支干、

小分支的数目，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键.

7.（4分）为培养学生动手实践能力，学校七年级生物兴趣小组在项目化学习“制作微型生

态圈”过程中，设置了一个圆形展厅.如图，在其圆形边缘上的点P处安装了一台监视

器，它的监控角度是72°,为了观察到展厅的每个位置，最少需在圆形边缘上共安装这

样的监视器（）

A.5台B.4台C.3台D.2台

【分析】根据监控角度可推出该角对应的弧的度数，而圆的度数是360度，由此可求出

最少需要多少台这样的监视器.

【解答】解：由题意可知，一台监视器所对应的弧的角度为：72X2=144°,

；360・144=2.5,

•••至少需要3台.

故选：C.

【点评】本题主要考查圆的圆周角和圆心角的性质，利用监控角度得到该弧所对的角是

解题的关键.

8.（4分）某电脑公司销售部为了定制下个月的销售计划，对20位销售员本月的销售量进

行了统计，绘制成如图所示的统计图，则这20位销售人员本月销售量的平均数、中位数、

众数分别是（）

/\15%/I2A

\40%"口/

V25%/

A.19,20,14B.19,20,20

C.18.4,20,20D.18.4,25,20

【分析】根据扇形统计图给出的数据，先求出销售各台的人数，再根据平均数、中位数

和众数的定义分别进行求解即可.

【解答】解：根据题意得：

销售20台的人数是：20X40%=8（人），

销售30台的人数是：20XI5%=3（人），

销售12台的人数是：20义20%=4（人），

销售14台的人数是：20X25%=5（人），

则这20位销售人员本月销售量的平均数是20.8+30X3+12X4+14X5="三（台）；

20

把这些数从小到大排列，最中间的数是第10、11个数的平均数，

则中位数是空毁=20（台）：

2

；销售20台的人数最多，

,这组数据的众数是20.

故选：C.

【点评】此题考查了平均数、中位数和众数，用到的知识点：一组数据中出现次数最多

的数据叫做这组数据的众数.将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如

果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个

数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.平均数是指在一组数据中

所有数据之和再除以数据的个数.

9.（4分）如图，已知0P与坐标轴交于点A,0,8,点C在0P上，且/ACO=60°,若

点8的坐标为（0,3）,则劣弧0A的长为（)

y,

C

A.2TtB.3TTC.禽兀D.2V5兀

【分析】作辅助线，先根据圆周角定理可知：AB为OP的直径，由圆心角和圆周角的关

系可得：N。必=120°,求得AB=6,根据弧长公式可得结论.

【解答】解：连接A3、OP,

,：ZAOB=90°,

.".AB为。P的直径，

VZACO=60°,

：.ZAPO^\20°,/ABO=60°,

AZBAO=30°,

"：OB=3,

：.AB=2OB=6,

.母的长1207TX&=2TT,

【点评】本题考查了圆周角定理，弧长公式，坐标与图形的性质，根据弧长公式确定其

对应的圆心角和半径是关键.

10.（4分）如图所示，等边△4BC边长为6,点E是中线AZ）上的一个动点，连接EC,将

线段EC绕点C按逆时针方向旋转60°得到FC,连接DF.当在点E运动过程中，DF

取最小值时，△（7£＞尸的面积等于（）

【分析】取AC的中点G,连接EG,根据等边三角形的性质可得CD=CG,再求出NOCF

=4GCE,根据旋转的性质可得CE=CT,然后利用“边角边”证明和aGCE全

等，再根据全等三角形对应边相等可得DF=EG,然后根据垂线段最短可得EG±AD时

最短，再根据NC4Q=30°求解即可.

【解答】解：如图，取AC的中点G,连接EG,

•••旋转角为60°,

AZ£CD+ZDCF=60°,

又,/ZECD+ZGCE=NACB=60°,

：.ZDCF^ZGCE,

'：AD是等边AABC的对称轴，

：.CD=1BC=3,AD=^CD=3M，

2

：.CD=CG,

又：CE旋转到CF,

：.CE=CF,

在△OCF和△GCE中，

'CE=CF

<NDCF=/GCE，

CD=CG

：./\DCF^/\GCE(SAS),

；・DF=EG,S&DCF=S&GCE，

根据垂线段最短，EGJ_A。时，EG最短，即Ob最短,

此时NC4Z)=上义60°=30°,AG=』AC=2X6=3,

222

.•.EG=LG=2X3=旦，A

222

：.DE=AD-AE=3愿-宜巨=老巨，

22_

：.S„GCE=^EG'DE=1-X2XW3,=Wl,

22228

：.S&DCF=^-，

8

【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线

段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点.

二、填空题（每小题4分，共24分）

11.（4分）方程：

①？=］的解是X|=l,X2=-1；

②/+3x=0的解是xi=0,万2=-3.

【分析】①利用直接开平方法解出方程；

②利用因式分解法解出方程.

【解答】解：①）=1,

则x=±l,

♦・明=1,X2=~1»

故答案为：Xl=l,X2=-1；

②/+3尸0,

则x（x+3）=0,

.•.x=0或x+3=0,

•**xi—0,X2=-3,

故答案为：xi—0,X2—~3.

【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步

骤是解题的关键.

12.（4分）如图，C,。在圆上，AB是直径，若N£>=64°,则NBAC=26°.

c

D

【分析】连接BC,根据圆周角定理得出NACB=90°,再求出答案即可.

【解答】解：连接8C,

VZD=64°,

:.NB=ND=W,

：AB是。。的直径，

，N4CB=90°,

：.ZBAC=90°-ZB=90°-64°=26°,

故答案为：26°.

【点评】本题考查了圆周角定理，能熟记圆周角定理是解此题的关键，同弧或等弧所对

的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角.

13.（4分）已知扇形的圆心角为120°,面积为12n,则扇形的半径是6.

【分析】根据扇形的面积公式S=包晅，得/?=、陛

360Vn冗

【解答】解：根据扇形的面积公式，得

R_/360S_/360XI2n_

『KF120兀-6,

故答案为6.

【点评】本题考查了扇形面积的计算，属于基础题，解答本题的关键是能够灵活运用扇

形的面积公式.

14.（4分）若x=2+«是方程x2-x+k=O的一个解，则方程的另一个解是A=-1-Vg.

【分析】设方程的另一根为.，根据根与系数的关系得2+V3+X1=1,然后解一次方程

即可.

【解答】解：设方程的另一根为为，根据题意得2+a+用=1,

所以-1-Vs.

故答案为：X--1-A/3.

【点评】本题考查了一元二次方程—+^+0=0（4#0）的根与系数的关系：若方程的两

根为XI，X2,则Xl+X2=-电，X\'X2—--

aa

15.（4分）一面墙上有一个矩形门洞，其中宽为1.5米，高为2米，现要将其改造成圆弧型

门洞（如图），则改造后圆弧型门洞的最大高度是2.25米.

【分析】根据矩形的性质可推出线段AB为圆的直径，然后根据勾股定理可求出A8的长,

再根据垂径定理求出点。为BE的中点，利用中位线即可求出0。的长，即可求出最大

高度.

【解答】解：如图所示，连接矩形门洞的对角线交于点O,过点。作ODLBE于点。，

二点O为线段AB的中点，ZACB=90°,

：.AB为圆0的直径，

:宽BE为1.5米，高AE为2米，

1.AB=>^.~52+22=2.5（米），

...圆的半径=[A8=1.25（米），

2

'：OD±BE,

...点。为BE的中点，

又•点。为线段A8的中点，

二。。是△BCE的中位线，

：.OD=1.BC^\（米），

2

则改造后门洞的最大高度=1.25+1=2.25（米）；

故答案为：2.25米.

【点评】本题考查的是垂径定理的应用，解题关键是求出直径和线段0。的长.

16.（4分）如图，已知。。的半径为2,窟所对的圆心角NAOB=60°,点C为第的中点，

点D为半径0B上一动点（D不与B重合）.将△COB沿CD翻折得到△CCE,若点E

落在半径04、0B、源围成的封闭图形的边界上，则C£＞的长为1或2或芯.

【分析】当点E落在半径上，点8与点E关于点CO对称，从而可以得到

由点C为弧AB的中点，乙408=60°,OC=OA=2,可以求得C£＞的长；当E落在第

上时，E与A重合，。与。重合，CD=2,；当点E落在半径0A上，画出相应的图形，

由前面求得的0E的长与此时0E的长相等，可得E的坐标和直线BE的解析式，得/仍。

=45°,NBDE=2NCDB=9Q°,即得。（我-1，0）,C£＞=圾.

【解答】解：当点E落在半径08上时，连接0C,如图：

VZB£>C=ZEDC=90o,/AO8=60°,点C为弧AB的中点，。0的半径为2,

：.ZCOD=30°,OA=OC=2,

.•.C£)=OC・sin30°=2义工=1,

2

・・.OO=OC・cos300=2X圾=百,

2

:.BD=OB-0D=2-圾,

■:DE=DB,

：.OE=OD-DE=M-(2-V3)=2愿-2,

；・CD=2,

当点E落在半径OA上时，以。为原点，08所在直线为x轴，建立直角坐标系，连接

由已知可得，CE=CB=CA,

同E在OB上可知此时。E=2«-2,C（V3-1），

...点E的横坐标为：（2我-2）Xcos60°=a-1,点E的纵坐标为：（2娟-2）Xsin60°

=3-M，

：.E（A/3-3-炳）,

；B(2,0),

...直线BE的解析式为y=-x+2,

；.NEBD=45°,

'：CDLBE,

.•./CO3=45°,

:.NBDE=2NCDB=90°,

■:E（V3-1，3-M）,

：.D（Vs-1，0）,

VC（V3，1）,

:.CD=5

综上所述，CQ的长为1或2或我，

故答案为：1或2或点.

【点评】本题考查扇形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，会寻找特殊位置

解决问题.

三.解答题（共86分）

2

18.（8分）先化简，再求值：^一其中a=«+2

【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把。的值代入进行计算即可.

2

［解答］解：原式=a-2a+l.a+1

ar（a-1）2

=（a-1）2.a+1

a」（a-1）2

=a+1

TT

当。=北+2时，原式=电+2+1=眸3=］+料

V3+2-2V3

【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键.

19.（8分）如图，在121ABe。中，AC是对角线，点E、尸分别在8C、AD上，AC与E尸相

交于点。，且AO=CO.求证：BE=DF.

【分析】利用平行可知两组对应的内错角相等，然后证明△AOF丝△（%>E（A4S）,即可

解决问题.

【解答】证明：在团ABCO中，AD=BC,AD//BC,

：.ZFAO^ZECO,ZAFO^ZCEO,

；AO=CO,

在^斗。尸和△COE中，

rZFA0=ZEC0

<NAF0=NCE0，

OA=CO

:.△AOmXCOE(A4S),

：.AF=CE,

：.DF=BE.

【点评】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形

的性质及判定方法是解题关键.

20.(6分)如图，已知二次函数图象的顶点为P,与y轴交于点A.

(1)在图中再确定该函数图象上的一个点B并画出；

(2)若P(1,3),A(0,2),求该函数的解析式.

叫

.P

Ai<

------------->

O----------------x

【分析】(1)过P点作x轴的垂线得到抛物线的对称轴，然后作点A关于对称轴的对称

点即可：

(2)设顶点式y=a(x-1)2+3,然后把A点坐标代入求出a即可.

【解答】解：(1)如图2,点B即为所求；

%:

--------1----------->

O：x

(2)由二次函数图象顶点为P(1,3),可设解析式为y=a(x-1)2+3,

把A(0,2)代入得a+3=2.

解得a=-1,

所以函数的解析式为y=-(x-1)2+3.

【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数

关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解.一

般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；

当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与X轴

有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解.

21.(8分)如图，四边形ABC。内接于分别延长BC,AD,使它们相交于点E,AB

=8,S.DC=DE.

(1)求证：ZA—ZAEB.

(2)若NEOC=90°,点C为BE的中点，求OO的半径.

【分析】(1)根据圆内接四边形的对角互补可得NA+/BCO=180°,再由邻补角互补可

得/3C£>+/£>CE=180°,根据同角的补角相等可得/A=NDCE,再根据等边对等角可

得NE=NDCE,再根据等量代换可得/A=NAEB.

(2)连接AC,根据直角所对的弦是直径得出AC为。。的直径，根据勾股定理求出AC,

即可求解.

【解答】(1)证明：•••四边形ABC。内接于。0,

AZA+ZBCZ)=180°,

VZBCD+ZDCE=180°,

：.ZA=ZDCE,

"：DC=DE

:./E=/DCE,

(2)解：如图，连接AC,

>E

C

B

VZEDC=90°,

・・・AC是O。的直径，

AZABC=90°,

,/ZA=ZAEB

：.AB=BE

VAB=8,

：.BE=S,

・・,点C为BE的中点，

・1

・・BO|BE二4，

在RtAABC中，AC=VAB2+BC2=782+42=4V5，

二。0的半径为K后.

【点评】本题考查圆内接四边形的性质，直角所对的弦是直径，勾股定理，掌握以上知

识是解题关键.

22.（10分）如图，在△4BC中，AB=AC,ZBAC=a,点尸为BC的中点，点。在线段

B/上，以点A为中心，将线段AD逆时针旋转a得到线段AE,连接CE、DE.

（1）补全图形；

（2）用等式表示线段8只DF、CE的数量关系，并证明.

【分析】（1）根据要求画出图形；

（2）结论：BF-DF=EC,再利用全等三角形的性质证明BQ=EC即可.

【解答】解：（1）图形如图所示：

(2)结论：BF-DF=CE.

理由：'：ZBAC=ZDAE=a,

ZBAD=ZCAE,

在△BAD和△CAE中，

'BA=CA

.ZBAD=ZCAE-

DA=EA

：./\BAD^CAE（SAS）,

：.BD=EC,

"：BF-DF=BD,

：.BF-DF=EC.

【点评】本题考查作图-旋转变换，全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，

正确寻找全等三角形解决问题.

23.（12分）如图①，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线/的方向行驶，为绿化带浇水.喷

水口“离地竖直高度为/?（单位：皿），如图②，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象

为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形DEFG,其水

平宽度。E=3m,竖直高度为E尸的长.下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到

的，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2高出喷水口0.5〃?，灌溉车到/

的距离0。为d（单位：〃?）.若当Zi=1.5,“，EF=0.5〃?时，解答下列问题.

（1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程。C；

（2）求出上、下边缘两个抛物线高度差的最大值；

（3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围

2<d<2«--

A

2A

h+0.5,u,

0—d—►JDEC

图①

图②

【分析】（1）由顶点A（2,2）得，设(x-2)2+2,再根据抛物线过点(0,1.5),

可得。的值，从而解决问题；

（2）由对称轴知点（0,1.5）的对称点为（4,1.5）,则下边缘抛物线是由上边缘抛物线

向左平移4根得到的，可得点B的坐标，根据上下边缘抛物线的增减性可得结果；

(3)根据EF=0.5,求出点尸的坐标，利用增减性可得d的最大值为最小值，从而得出

答案.

【解答】解：(1)由题意得A(2,2)是上边缘抛物线的顶点，

设y=aCx-2)2+2,

•.•抛物线过点(0,1.5),

1.5=4</+2,,

8

...上边缘抛物线的函数解析式为y=A(x-2)2+2-

O

当产0时，0=—(X-2)2+2，

O

解得xi=6,X2—-2(舍去)，

二喷出水的最大射程OC为6〃?；

(2)；对称轴为直线x=2,

.•.点(0,1.5)的对称点为(4,1.5),

下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4/n得到的，

.♦.点B的坐标为(2,0),

•.•上边缘抛物线y=A(x-2)2+2在0<》<2时，y随x的增大而增大，

8

下边缘抛物线在0Vx<2时，y